Schröder-Bernstein's Theorem
对任意集合\(A,B\)，若\(f: A \to B\)与\(g: B \to A\)都是单射，那么存在\(A\to B\)的双射。
Context
设\(f: A \to B, g: B \to A\)是单射。假设\(A,B\)都是有限集，那么该结论是显然的，\(f,g\)本身就是这个双射。否则，说明\(|B|>|A|\)而由\(g\)是单射得到\(|A|\geq |B|\)，矛盾。
对于无穷集，这个结论并不显然。例如，我们可以构造\([0,1]\to [0,1)\)的单射\(f(x)=x/2\)，也可以构造\([0,1)\to [0,1]\)的单射\(g(x)=x\)，但\(f,g\)都不是双射。而根据Schröder-Bernstein's Theorem，应当存在一个\([0,1]\to [0,1)\)的双射。事实上，能够和自己的真子集建立双射是无穷集合的一个特征。
Proof
因为\(g\)是单射，因此\(g(B)\subseteq A\)。我们取出\(A\setminus g(B)\)，记为\(C_0\)，那么\(f(C_0)\subseteq B\)，记\(D_0=f(C_0)\)。我们观察到，从集合\(C_0\)通过\(f\)映射到集合\(D_0\)，那么这个映射既是单射又是满射，所以\(C_0\)与\(D_0\)之间存在双射。
于是，我们可以抛开\(C_0,D_0\)，只需证明\(A_1=A\setminus C_0\)到\(B_1=B\setminus D_0\)存在双射（因为如果在两个无交的定义域上有双射，合并起来也是双射）。仿照刚才的方法，令\(C_1=A_1\setminus g(B_1)\)，\(D_1=f(C_1)\)，可以得到\(C_1\)与\(D_1\)之间存在双射。
以上步骤可以无限进行下去。也就是说，我们可以定义\(A_{n+1} = A \setminus \bigcup_{i=0}^{n} C_i\)，\(B_{n+1}=B \setminus \bigcup_{i=0}^{n}D_i\)，然后得到\(C_{n+1}=A_{n+1}\setminus g(B_{n+1})\)与\(D_{n+1}=f(C_{n+1})\)之间存在双射。关键在于，我们可以定义无穷集合序列的并集。根据上面的讨论，对于任何取定的自然数\(n\)，我们都可以直接由\(f\)给出\(\bigcup_{i=0}^{n} C_i\to \bigcup_{i=0}^{n}D_i\)的双射，所以\(f\)可以给出\(\bigcup_{i=0}^{\infty} C_i\to \bigcup_{i=0}^{\infty}D_i\)的双射。
于是接下来，我们只需要找到\(A\setminus \bigcup_{i=0}^{\infty} C_i\to B\setminus\bigcup_{i=0}^{\infty}D_i\)的双射。我们发现，这部分的映射恰好可以由\(g\)给出：下面我们证明\(g\)能给出从\(B \setminus \bigcup_{i=0}^{\infty} D_i\)到\(A \setminus \bigcup_{i=0}^{\infty} C_i\) 的双射。这也就证明了\(g\)是\(A\setminus \bigcup_{i=0}^{\infty} C_i\to B\setminus\bigcup_{i=0}^{\infty}D_i\)的双射。
方便起见，记\(B^\ast=B \setminus \bigcup_{i=0}^{\infty} D_i\)，\(A^\ast=A \setminus \bigcup_{i=0}^{\infty} C_i\)。为了证明\(g\)能给出\(B^\ast\to A^\ast\)的双射，只需证明：
(1) \(\forall b \in B^\ast, \exists a \in A^\ast, g(b) = a\)；
(2) \(\forall a \in A^\ast, \exists b \in B^\ast, g(b) = a\)；
对于(1)，我们已知\(\forall b\in B^\ast,\exists c \in A, g(b) = c\)。那么只需证明\(\forall n\in \N,c \notin C_n\)。假设 \(c \in C_n\)，分类讨论：若\(n = 0\)，那么\(c\in C_0=A\setminus g(B)\)，因此\(c\not\in g(B)\)，与\(g(b)=c\)矛盾；若\(n = m + 1\)，那么\(c \in C_{m+1}\)，其中\(C_{m+1}=A_{m+1}\setminus g(B_{m+1})\)，因此\(c\not\in g(B_{m+1})\)，也即\(g(b)\not\in g(B_{m+1})\)，也即\(b\not\in B_{m+1}\)，也即\(b\in \bigcup_{i=0}^{m}D_i\)。而\(b\in B^\ast\)，矛盾。综上，\(c \in A^\ast\)。因此取\(a=c\)即可。
对于(2)，我们有\(\forall a\in A^\ast,\exists d \in B, g(b) = a\)。否则，\(a\not\in g(B)\)，也即\(a\in A\setminus g(B)=C_0\)，与\(a\in A^\ast\)矛盾。那么只需证明\(d\in B^\ast\)，也即\(\forall n\in \N,d \notin D_n\)。假设 \(d \in D_n\)，也即\(d\not\in B\setminus \bigcup_{i=0}^{n}D_n=B_{n+1}\)，因此\(a=g(d)\not\in g(B_{n+1})\)，而\(a\in A^\ast\)，因此\(a\in A_{n+1}\)，所以\(a \in A_{n+1}\setminus g(B_{n+1})\)，也即\(a \in C_{n+1}\)。这与\(a \in A^\ast\)矛盾。综上，\(d \in B^\ast\)。因此取\(b=d\)即可。
综上所述，我们只需令
\(h(a) := \begin{cases} f(a), & \text{if} \, a \in \bigcup_{i=0}^{\infty} C_i \\ g^{-1}(a), & \text{if} \, a \in A \setminus \bigcup_{i=0}^{\infty} C_i \end{cases}\)
则\(h\)就给出了\(A\)到\(B\)的一个双射。
Observation
所以，Schröder-Bernstein定理的证明思路其实很直观。我们每次从右侧用\(g\)映射一个像集到左侧，抠除像集得到的圆环用\(f\)映射到右侧（也是一个圆环）恰好得到一个双射。那么只需不断重复以上步骤，不断剥去圆环，证明双射。最后我们根据定义再证明余下部分可以由\(g\)形成双射即可。该过程可以用下图清晰地表示：
以上Schröder-Bernstein定理的证明本身就是构造性的。我们可以由此给出一个\([0,1]\to [0,1)\)的双射。其中\(f(x)=x/2,g(x)=x\)。\(C_0=[0,1]\setminus [0,1)=\{1\}\)，\(D_0=f(C_0)=\{1/2\}\)，\(A_1=[0,1),B_1=[0,1)\setminus\{1/2\}\)，\(C_1=\{1/2\}\)，\(D_1=\{1/4\}\)，\(A_2=[0,1)\setminus \{1/2\}\)，\(B_2=[0,1)\setminus\{1/4,1/2\}\)，\(C_2=\{1/4\},D_2=\{1/8\}\)，……以此类推，\(A^\ast = B^\ast = [0,1)\setminus\{1/2,1/4,\cdots,1/2^k,\cdots\}\)，所以\(h\)可以构造如下：
\(h(x) := \begin{cases} x/2, & \text{if} \, \exists k\in\N,x=1/2^k \\ x, & \text{if} \, \forall k\in\N,x \neq 1/2^k \end{cases}\)
这是\([0,1]\to [0,1)\)的双射。
