前言
哎，细想即乱，乱则逃。
题目简述
- 有 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，有 \(m\) 次操作，每次操作，等概率的在非 \(0\) \(a_i\) 中选一个 \(i\)，并将 \(a_i\) 减小 \(1\)
- 求 \(m\) 次操作后，期望有多少个 \(0\)。答案对 \(998244353\) 取模。
- \(n\le 15,m\le 200,a_i\le 200\)
题解
- 嗯，怎么说，这题的概率是不同的，那怎么办呢？\(n\) 很小啊，只有一个数变为 \(0\) 时概率才会改变
- 那就，设 \(dp_{s,i}\) 表示还剩集合 \(s\) 中的 \(a_i\) 已经被删为 \(0\)，此时已经考虑了 \(i\) 次操作的概率系数，以及方案数。
- 诶，这是什么意思，概率系数形如 \(\prod \frac{1}{{p_i}^{c_i}}\) 我们只需要在 \(i+1\) 的转移，考虑累计概率系数即可，但是我们还有方案数，才为期望，方案数的话，不妨拆贡献到 \(s\) 中新加数的时候加上 \(\binom{i-\sum_{j\in s}a_j}{a_i-1}\) 大概率就是这样。
- 额dp完之后，复杂度就是 \(O(2^nmn)\)
- 可是我们还有一些方案数没有统计，虽然 \(m\) 完了之后概率系数已经统计完了。
- 这里相当于多重集计数，也就是一个背包问题，直接背包作 \(O(2^nnm^2)\)
- 我们采取折半搜索的话 \(O(2^{\frac{n}{2}}\frac{n}{2}m^2+2^nm)\)
后言
- 合合分分，分分合合，系数，方案数，怎么合，怎么分，谁又说的清呢？
