Luogu P11160 【MX-X6-T6】機械生命体 题解

P11160 【MX-X6-T6】機械生命体

注意到 \(\text{lowbit}\) 是从最低位开始的，所以我们把数字按照二进制位从低位往高位插进字典树。

插入和删除操作是平凡的。查最大 \(\text{lowbit}\) 只需要从根节点开始走，能走使这一位异或为 \(0\) 的边就走这一条边，否则直接返回，因为不可能有更大的 \(\text{lowbit}\) 值。

接下来考虑处理操作 \(3\)。满足要求的数字部分是容易提取的，在字典树上走使这一位异或为 \(0\) 的边，直到第 \(k\) 位。这一位对应的子树中存储的数值肯定满足要求。

然后考虑如何整体增加。我们发现对于如果字典树中的数据整体加 \(1\)，最低位为 \(0\) 的数只有最低位会变化，最低位变成 \(1\)。而最低位为 \(1\) 的数最低位变成 \(0\)，且之后高一位会增加 \(1\)。这相当于交换左右根节点儿子，并递归处理交换后的左儿子。这启发我们使用懒标记处理这个问题，上述的就是增加过程。

然而对于子树增加，这么做是困难的。因此，我们把这棵满足要求的子树和这棵子树的根到整个树的根分裂出来，打上懒标记，然后再合并回去。这么做的时间复杂度可以类比线段树合并与分裂的时间复杂度，为整体 \(O(n\log n)\)。

最后考虑整体加 \(v\)。我们沿用上面的思路，对于这一位加 \(v\) 其实可以转化为对于下一位加 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)。并且如果 \(v\) 为奇数，就还需要在这一位处理一下加 \(1\)，因为这一个加 \(1\) 没有下推。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long q,op,k,v,x,trie[20000000][2],tol[20000000],ad[20000000],cnt=1;
void pushdown(long long x)
{if(ad[x]&1)swap(trie[x][0],trie[x][1]),ad[trie[x][0]]++;ad[trie[x][0]]+=(ad[x]>>1),ad[trie[x][1]]+=(ad[x]>>1),ad[x]=0;
}void insert(long long x)
{long long rt=1;tol[rt]++;for(long long i=0;i<=32;i++){pushdown(rt);long long id=(x>>i)&1;if(!trie[rt][id])trie[rt][id]=++cnt;rt=trie[rt][id],tol[rt]++;}
}void del(long long x)
{long long rt=1;tol[rt]--;for(long long i=0;i<=32;i++){pushdown(rt);long long id=(x>>i)&1;rt=trie[rt][id],tol[rt]--;}
}long long merge(long long x,long long y)
{if(!x||!y)return x+y;pushdown(x),pushdown(y);tol[x]+=tol[y],trie[x][0]=merge(trie[x][0],trie[y][0]),trie[x][1]=merge(trie[x][1],trie[y][1]);return x;
}void update(long long x,long long k,long long v)
{long long rt=1,pt=++cnt,now=pt,pr=0,prt=0,pd=0,tmp=0;if(k==0){pushdown(rt),ad[rt]+=v;return;}for(long long i=0;i<k;i++){pushdown(rt);long long id=(x>>i)&1;if(!trie[rt][id]||!tol[trie[rt][id]])return;pr=rt,pd=id,prt=pt;trie[pt][id]=++cnt,rt=trie[rt][id],pt=trie[pt][id];}pushdown(rt);trie[pr][pd]=0,trie[prt][pd]=rt,tmp=tol[rt];rt=1,pt=now;for(long long i=0;i<k;i++){pushdown(rt);long long id=(x>>i)&1;tol[rt]-=tmp,tol[pt]=tmp;rt=trie[rt][id],pt=trie[pt][id];}ad[now]+=v,merge(1,now);
}long long getmax(long long x)
{long long rt=1,mx=0;for(long long i=0;i<=32;i++){pushdown(rt);long long id=(x>>i)&1;if(!trie[rt][id]||!tol[trie[rt][id]])return mx;mx=max(mx,i+1),rt=trie[rt][id];}return 32;
}int main()
{scanf("%d",&q);for(long long i=1;i<=q;i++){scanf("%lld",&op);if(op==1)scanf("%lld",&x),insert(x);else if(op==2)scanf("%lld",&x),del(x);else if(op==3)scanf("%lld%lld%lld",&x,&k,&v),update(x,k,v);else if(op==4)scanf("%lld",&x),printf("%lld\n",(1ll<<getmax(x)));}return 0;
}