关于 cxy 论文中一个结论的证明

cxy 在集训队论文《浅谈线性基在 OI 中的应用》4.1 节中不加证明地给出结论，对于长度为 \(2^m\) 的点值序列 \(a\)，连续做两次 FWT 后得到的结果是 \(a\) 的每一项都乘上 \(2^m\)，我们给出这个结论的证明。

首先回顾 FWT 的定义:\(\hat{a_i}=\sum\limits_{j=0}^{2^m-1}(-1)^{i\circ j}a_j\)，其中 \(i\circ j\) 为两个向量的标准内积，等于 \(\operatorname{popcnt}(i\&j)\bmod 2\)。

写出做两次 FWT 后得到的式子：

\[\hat{\hat{a_i}}=\sum\limits_{j=0}^{2^m-1}(-1)^{i\circ j}\sum\limits_{k=0}^{2^m-1}(-1)^{j\circ k}a_k \]

经典套路是交换两项，得到：

\[\hat{\hat{a_i}}=\sum\limits_{k=0}^{2^m-1}a_k\times\sum\limits_{j=0}^{2^m-1}(-1)^{i\circ j+k\circ j} \]

不难发现标准内积的运算中模 \(2\) 是无关紧要的（因为底数是 \(-1\)），所以将其展开：

\[\hat{\hat{a_i}}=\sum\limits_{k=0}^{2^m-1}a_k\times\sum\limits_{j=0}^{2^m-1}(-1)^{\operatorname{popcnt}(i\& j)+\operatorname{popcnt}(k\& j)} \]

说明当 \(\operatorname{popcnt}(i\& j)\) 和 \(\operatorname{popcnt}(k\& j)\) 奇偶性相同时系数为 \(1\)，否则为 \(-1\)。若对于某一位，\(i\) 和 \(k\) 在这位上取值相同，此时 \(j\) 在该位的取值是不重要的，我们只关心取值不同的位上取什么，即只考察 \(i\oplus k\)。由经典组合数学，得到：

\[coef=2^{m-\operatorname{popcnt}(i\oplus k)}\sum\limits_{p=0}^{\operatorname{popcnt}(i\oplus k)}\binom{\operatorname{popcnt}(i\oplus k)}{p}(-1)^p \]

前面的系数代表那些位可以任填。后面则是枚举 \(\operatorname{popcnt}((i\oplus k)\& j)\) 中有几个 \(1\)，这个式子在子集反演中十分经典，在后面配上 \(1^{\operatorname{popcnt}(i\oplus k)-p}\) 后由二项式定理得到：

\[coef=(1-1)^{\operatorname{popcnt}(i\oplus k)}=[i=k]\times 2^m \]

回到 FWT 的式子，可以发现当 \(i=k\) 时会产生 \(2^m\times a_i\) 的贡献，否则贡献为 \(0\)。

Q.E.D.