DP优化

# DP优化

动态状态

一个转移只用到很小的一部分状态，则不断刷新状态，使得其只与我需要的同阶。

例题：P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠

前缀和优化

就是枚举的值存下来，以防止重复的枚举。

例题：2024.10.3T3 Kanade的水杯60分

路径化DP

将一个二维的、仅仅是在相邻位置进行转移的DP看作条从初始状态到目标状态的路劲，接着用一些路径的方法进行优化。

1. 网格图路径问题的分治做法

   例题：2024.10.1T4

2. 通过路径的转移方案算起始状态的贡献

例题：Game on Sum (Hard Version)

贡献反推

如果一组DP的终点状态相同、方程相同，但是初始状不同，可以考虑DP终止状态对初始状态的贡献。

具体的方法是将原DP的方程反过来，即a→b变为b→a，最好画图理解。

例题：2024.10.9T3粒子对撞

限制全局化

例题：P3349 [ZJOI2016] 小星星，2024.10.10T4 计数题

在“小星星”中，通过容斥将恰好为集合S变为了至多为集合S，前者需要在每个节点存储一个状态，而后者不用。

在“计数题”中，通过强制根节点的选择，将一个限制全局化，从而不用存在每个状态中。

随机游走

对于一类具有“体积”有正负并最终回到0点的DP问题，我们可以将所有物品打乱，根据“随机游走”的理论，其期望不会走出V的距离，所以最终就将OV优化为V，最好开到2n，否则容易被卡。

例题：P7606 [THUPC2021] 混乱邪恶

未来状态

状态为未来的情况，存储统计过去的点在未来的情况下的贡献，并随着范围的扩大，使得未来的情况减少，有点像“势能”减少。

例题：P8916 [DMOI-R2] 暗号

整体修改

如果对于大量的状态，在转移的时候都有相同的修改（比如说加上，乘上复制成同一个值），那么可以直接使用线段树等数据结构上进行整体修改

例题：ARC073F Many Moves

所有情况的贡献之和

对于一个计数DP而言，如果一个转移所贡献的系数与一个状态a有关，且最终的答案是计算所有状态a的贡献之和。那么可以专门去记录这一状态的和，以达到统一转移的效果。

例题：2024.10.18T2击球手，2024.10.3T1 Mafuyu 的作业，P1654 OSU!

状态拼凑

如果对于状态A，难以直接进行转移，可以将其拆分为B，C两个易于转移的状态，最后再合起来凑出原状态。

例题：2024.10.16T4 Z

#include #define int long long using namespace std; const int NN=105,PP=115,MOD=1e9+7; int f[NN][NN][15][15],g[NN][NN][15][15],a[NN],lbit[NN],v[NN],w1[NN],w0[NN],cnt[15][15],len[NN]; int n,p; void Upd(int&a,int b){a=(a+b)%MOD;} void Calc(int x,int i){lbit[i]=x%10;int s=1;for(;x;x/=10){v[i]+=s*(x%10),s*=-1;len[i]++;}v[i]=(v[i]%11+11)%11;return; } void Work(){int m0=0,m1=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(len[i]&1)w1[++m1]=i;else w0[++m0]=i;f[0][0][0][10]=1;//分别表示放了几个奇数位置，放了几个偶数位置，%11的余数，%10的余数=10表示末尾位置还没有选不能确定for(int i=0;i0)Upd(f[i+1][j+1][(k-v[p]+11)%11][r],val*n0);//选择偶数位置 if(n1>0)Upd(f[i+1][j][(k+v[p])%11][r],val*n1);//选择奇数非末尾位置if(r==10)Upd(f[i+1][j][(k+v[p])%11][lbit[p]],val);//选择末尾位置 }for(int i=0;i<11;i++)for(int j=0;j<11;j++)Upd(g[0][0][i][j],f[m1][m1/2][i][j]);for(int i=0;i>n>>p;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],Calc(a[i],i);Work();int ans=0;for(int i=0;i<110;i++)Upd(ans,cnt[i%11][i%10]*(i%p));//用%11与%10的余数凑出i,cnt[i%11][i%10]即mod110余i的方案数量 cout<

非子树树形DP

1. DFN序DP

   方法：设dpi表示考虑时间戳小于等于i的所有节点的情况。

   优势：将子树的所有节点放在一起

   例题：优化树上依赖性背包：P6326 Shopping

   参考：DP 优化小技巧

2. 欧拉序DP

   方法：设dpi,s表示考虑欧拉序小于等于i的所有节点，其中欧拉序为i的点x到根节点的选择情况为j时的信息。

   优势：相邻的两个位置只有向上与向下两种，在于每次是添加叶子节点，往往只需要考虑者单个节点的贡献，而传统的子树DP可以看作添加根合并多棵树，往往需要考虑合并子树的复杂度，在合并复杂度高（比如背包）或不能合并的时候考虑。

   劣势：由于需要从下还原回上面，所以需要记录到根节点的所有点的状态。导致带一个O(2^dep)的复杂度。常常需要考虑如何减小树高。

例题：P3577 [POI2014] TUR-Tourism（题目限制树高），2024.11.13T3 冒险家

值域定义域互换

条件：最值DP，状态很大，所存储的值却很小。在所有去到相同值的状态，只关注其中的一个，且可以转移。

做法：将值作为状态，关心的状态作为值。

例题：[AGC033D] Complexity，P3537 SZA-Cloakroom

做差法

1. 单调递增差分

特殊性质：要求所选元素单调递增,或者说有着一个使值单增的影响。

做法：只考虑与上一个数的差，形如下图

例题：P2481 代码拍卖会，P7519 滚榜，U526032天各一方

2. 做差后值域减小

条件：值域很大，但真正合法的很少，与另一个变量的差后很小。

方法：做差。

例题：CF744C Hongcow Buys a Deck of Cards，P4590 [TJOI2018] 游园会

CDQ优化DP

对于那种两两做出转移，且转移的条件与i,j都有关系

例题：P5979 [PA2014] Druzyny，U498421 切序列

更改枚举顺序

一种顺序下的变化性很强，可换种枚举顺序后，就诞生了新的“定值”，新的性质。

例题：CF1310C Au Pont Rouge

线性最值贡献优化DP

比如有方程fi=mink(fi-wk+ak,gi),我们可以直接，fi=minfi-w,gi，复杂度变为O(n)。

例题：T470003 颜桉_c

状压线性化

条件：有状压解法，并且转移规则不受代表集合影响。

做法：纵向考虑每个元素在不同状态下做的贡献的累加，因为不同集合转移不受影响，这里无须枚举各个集合，往往可以将复杂度从O2n优化为On。

例题：2024.11.07T2 string

例题解释：这道题首先设了一个c_i 表示当前节点需要经过的次数，这样就把不断走的过程转化成了对每个节点贡献的考虑，于是对一个节点考虑的时候，去掉走其他节点的过程，只考虑当前节点需要往左/右走的次数的变化，进行DP。

最后发现对于所有节点，其实最优概率只与往左右走的需求次数有关，直接做一次处理即可，答案就是在所有节点转移的最后概率的乘积。

与最值之差

DP的值存放成与最劣/最优情况的差的最值，就是考虑什么时候取不到最优/最劣值。

例题：动态规划_李奕辰A - Paint

不存储不影响决策的信息

有效影响：即可以导致后面的决策发生变化的影响。对于一个状态，我们只应该存储状态中的有效状态。

例题：2024.11.8T3 广告（这道题中T型的那个单独的位置若不与前面联通，其状态就不必保留）

贪心降维

1. 贪心背包

   适用对象：体积很大的背包

   方法：选择性价比最大的那个贪心去凑到一个与目标状态相近的值，其他的物品选择的数量不会超过性价比最大的那个物品体积的平方（抽屉原理可证）。

   例题：P9140 [THUPC 2023 初赛] 背包（同余最短路）P8392 Uplifting Excursion（先贪心再DP）

2. 贡献的增速大于线性

   特殊性质：贡献的增长十分迅速，导致某一维增大到一定范围后就一定不优，从而减少状态范围。

   例题：P9676 [ICPC 2022 Jinan R] Skills

3. 贪心向需求值靠拢以减少范围

   例题：2025.2.20T2 Sum