无旋式 Treap（Treap 即 Tree + Heap）是一种自平衡的二叉搜索树，结合了二叉搜索树（BST）和堆（Heap）的性质，在 C++ 算法中有着重要的应用。下面从定义、原理、常见操作、代码示例等方面详细介绍无旋式 Treap。
定义与原理
定义
- 无旋式 Treap 本质上是一棵二叉搜索树，每个节点除了存储键值（Key）外，还额外维护一个随机优先级（Priority）。它的键值满足二叉搜索树的性质，即左子树的所有节点键值小于根节点键值，右子树的所有节点键值大于根节点键值；而优先级满足堆的性质，通常是大根堆，即每个节点的优先级大于其左右子节点的优先级。
原理
- 无旋式 Treap 与传统的有旋 Treap 不同，它不通过旋转操作来维护树的平衡，而是利用分裂（Split）和合并（Merge）这两个基本操作来实现插入、删除等操作，从而保证树的平衡性。随机赋予的优先级使得树在平均情况下具有较好的平衡性，避免了二叉搜索树可能出现的极端不平衡情况（如退化为链表），进而保证了各种操作的时间复杂度接近 。
常见操作
分裂操作（Split）
- 功能：将一棵 Treap 按照给定的键值 分裂成两棵 Treap，一棵包含所有键值小于等于 的节点，另一棵包含所有键值大于 的节点。
- 实现思路：从根节点开始递归地比较当前节点的键值与 的大小。如果当前节点的键值小于等于 ，则将当前节点及其左子树划分到左子树中，并继续对其右子树进行分裂；反之，则将当前节点及其右子树划分到右子树中，并继续对其左子树进行分裂。
合并操作（Merge）
- 功能：将两棵 Treap 合并成一棵 Treap，要求第一棵 Treap 的所有键值都小于第二棵 Treap 的所有键值。
- 实现思路：比较两棵 Treap 根节点的优先级，选择优先级较高的节点作为新的根节点。如果第一棵 Treap 的根节点优先级高，则将其右子树与第二棵 Treap 合并作为新的右子树；否则，将第二棵 Treap 的左子树与第一棵 Treap 合并作为新的左子树。
插入操作
- 功能：向 Treap 中插入一个新的节点。
- 实现思路：首先创建一个新节点，其键值为要插入的值，优先级为随机生成。然后将原 Treap 按照新节点的键值进行分裂，得到两棵 Treap，再将新节点与这两棵 Treap 依次合并。
删除操作
- 功能：从 Treap 中删除一个指定键值的节点。
- 实现思路：将原 Treap 按照要删除的键值进行分裂，得到两棵 Treap，一棵包含所有键值小于等于要删除键值的节点，另一棵包含所有键值大于要删除键值的节点。然后再将包含小于等于要删除键值节点的 Treap 按照要删除键值减 1 进行分裂，得到三棵 Treap，中间那棵只包含要删除的节点，将其舍弃，最后将剩下的两棵 Treap 合并。
板子
应用场景
- 数据存储与检索：可用于高效地存储和检索数据，例如在数据库系统中实现索引结构。
- 区间查询：结合分裂和合并操作，可以方便地实现区间查询，例如查找某个范围内的所有元素。
- 动态数据处理：适用于需要频繁插入和删除操作的动态数据集，能够在保证操作效率的同时维护数据的有序性。
