Infinite Sequence (Easy Version)

思路

题意

给定一个正整数 $n$ 和一个无限二进制序列 $a$ 的前 $n$ 项, 该序列定义如下:
对于 $m > n$, $a_m = a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor}$

$t$ 次询问 $(t \leq 10^4)$ , 求 $a_i$ 值, 其中 $1 \leq i \leq 10^{18}$
其中 $a_i \in \{0, 1\}$

这不用找规律?
试图矩阵快速幂

\[\begin{align*} \begin{cases} a_i \gets a_{i - 1} \oplus a_{\frac{i}{2}} , \textrm{ case } i \textrm{ mod } 2 = 0 \\ a_i \gets a_{i - 1} , \textrm{ otherwise} \end{cases} \end{align*}\]

倘若维护

\[\begin{pmatrix} a_i \\ a_{\frac{i + 1}{2}} \end{pmatrix} \]

在更新 \(a_{\frac{i + 1}{2}}\) 需要其他信息, 因此不行

哎哎哎, 看了题解怎么是暴力优化
发现异或操作的性质是: 两个相同数异或可以无视

为了方便起见, 假设 \(n\) 是奇数（如果不是，递增 \(n\) 共单独处理边界情况）。首先预计算前 \(2n\) 项或等于 \(2n\) 的查询，直接返回预计算的值。对于 \(2m > n\)，观察以下关系：

\[a_{2m} = a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_m = a_{2m+1} \]

定义 \(p = a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_n\)，我们可以将异或和分解为：

\[a_{2m} = a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_m = a_1 \oplus a_2 \oplus \ldots \oplus a_n \oplus (a_{n+1} \oplus a_{n+2}) \oplus (a_{n+3} \oplus a_{n+4}) \oplus \ldots \oplus a_m \]

由于 \(n\) 是奇数，成对的 \((a_{n+1} \oplus a_{n+2})\), \((a_{n+3} \oplus a_{n+4})\), \(\ldots\)，会相互抵消。这简化了公式为：

\[a_{2m} = a_{2m+1} = \begin{cases} p & \textrm{case } m \textrm{ mod } 2 = 1 \\ p \oplus a_m & \textrm{otherwise } \end{cases} \]

因此，我们可以通过递归地将 \(m\) 减半来计算 \(a_m\)，直到 \(m \leq 2n\)，并在每一步应用奇偶性规则。总体时间复杂度为：

\[O(\log(m)) \]

总结

异或性质