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奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的方法，它通过将矩阵分解为三个矩阵，来得到矩阵的奇异值和奇异向量。其数学表达式为：
\[A = U \times \Sigma \times V^T
\]
其中，\(A\) 是输入矩阵，\(U\) 是左奇异向量，\(\Sigma\) 是奇异值，\(V^T\) 是右奇异向量。
通过\(\Sigma\)的维度选择，可以实现矩阵的降维。
Jacobi方法是一种计算奇异值分解的方法，常用于小矩阵，其具体步骤如下：
1. 初始化矩阵
- 创建一个与输入矩阵 \(A\) 相关的矩阵 \(a\) 和 \(a_2\)。
- 数学表达式为：
\[a = A
\]
\[a_2 = a^T \times a
\]
2. 计算旋转角度
- 计算旋转角度 \(\theta\)。
- 数学表达式为：
\[\theta = \frac{\pi}{4}
\]
更一般地说，Jacobi方法的计算公式为：
\[\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2a_{12}}{a_{11} - a_{22}}\right)
\]
3. 计算旋转矩阵
- 计算旋转矩阵 \(r\)。
- 数学表达式为：
\[r = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}
\]
4. 计算旋转后的矩阵
- 计算旋转后的矩阵 \(d\)。
- 数学表达式为：
\[d = r^T \times a \times r
\]
5. 更新矩阵
- 更新矩阵 \(a_2\)。
- 数学表达式为：
\[a_2 = d
\]
6. 计算奇异值
- 计算奇异值 \(s\)。
- 数学表达式为：
\[s = \sqrt{[d[0,0], d[1,1]]}
\]
7. 计算右奇异向量矩阵 \(V\)。
- 数学表达式为：
\[V = r
\]
8. 计算奇异值矩阵 \(S\)。
- 数学表达式为：
\[S = \text{diag}(s)
\]
9. 计算左奇异向量矩阵
- 计算左奇异向量矩阵 \(U\)。
- 数学表达式为：
\[U = a \times v \times \text{inv}(S)
\]
标准代码如下
def svd_2x2_singular_values(A):a = Aa_t = np.transpose(a)a_2 = a_t @ av = np.eye(2)for _ in range(1):if a_2[0,0] == a_2[1,1]:theta = np.pi/4else:theta = 0.5 * np.arctan2(2 * a_2[0,1], a_2[0,0] - a_2[1,1])r = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],[np.sin(theta), np.cos(theta)]])d = np.transpose(r) @ a_2 @ ra_2 = dv = v @ rs = np.sqrt([d[0,0], d[1,1]])s_inv = np.array([[1/s[0], 0], [0, 1/s[1]]])u = a @ v @ s_invreturn (u, s, v.T)
