数学概率与期望

引入：一个普通骰子，求投出点数的期望。

\[E=\sum_i p_i w_i \]

其中，\(p_i\) 表示事件 \(i\) 发生的概率，\(w_i\) 表示事件 \(i\) 发生的收益，\(E\) 为收益期望。
在这个题中，\(E=\frac{1}{6}\times1+\frac{1}{6}\times2+\cdots+\frac{1}{6}\times6=3.5\)。

期望的线性性

现有 \(3\) 个骰子，求投一次这 \(3\) 个骰子的点数之和。

\[E(ax+by+cz)=aE(x)+bE(y)+cE(z) \]

\(a\)，\(b\)，\(c\) 为常数。
也就是说，对于本题，只要分别求出这 \(3\) 个骰子的期望并加起来就可以了。

解题方式

解决期望问题一般使用 DP 或高斯消元。

例题 1

现有 \(1\) 个按钮，每按一次就会等概率返回 Yes 或 No，期望按多少次会返回 Yes？
答案为 \(2\)。
考虑第一次返回 Yes 的概率为 \(\frac{1}{2}\)，第二次返回 Yes 的概率为 \(\frac{1}{4}\)，第三次为 \(\frac{1}{8}\)……
则 \(E=\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{8}\times 3+\cdots=2\)

例题 2

有 \(n\) 种不同的邮票，想收集所有种类的邮票，每次只能买一张，且买到任何一种邮票是等概率的，为 \(\frac{1}{n}\)。每次购买花费 \(1\) 元钱。现手中没有邮票，求买到所有种类邮票所花费钱数的期望。
考虑 DP。设 \(f_x\) 表示已集齐 \(x\) 张时的期望次数。对于第 \(i\) 次购买，有 \(\frac{i}{n}\) 的概率买重，\(\frac{n-i}{n}\) 的概率不重。

\[f_i=1+f_i\times \frac{i}{n}+f_{i+1}\times \frac{n-i}{n} \]

化简，得

\[f_{i+1}=\frac{n}{n-i}-f_i \]

例题 3

有 \(n\) 个奖品，\(m\) 个人排队选礼物。对于每个人，他打开的盒子可能有礼物，也可能已经被之前的人取走。如果有礼物，取走礼物并放回盒子。求所有人期望取走多少个礼物。
考虑 DP。设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个人取走礼物个数的期望，则有

\[f_1=1,f_i=f_{i-1}+\frac{n-f_{i-1}}{n} \]

或者考虑 \(1\) 个礼物被拿走的概率，用 \(n\) 乘上它即为答案。一个礼物被一个人拿走的概率为 \(\frac{n-1}{n}\)，进行 \(m\) 轮，为 \((\frac{n-1}{n})^m\)，则答案为 \(n\times [1-{(\frac{n-1}{n})}^m]\)。

例题 4

某游戏有 \(n\) 次点击。点击成功为 o，点击失败为 x。分数为所有连续 o 的长度的三次方之和，现给出每个位置上点击成功的概率 \(p_i\)，求期望得分。
假设第 \(i\) 位之前有 \(q\) 个连续 o，则这个位置的贡献为 \((q+1)^3-q^3=3q^2+3q+1\)。
所以我们需要维护 \(q\) 和 \(q^2\) 的期望。

\[E_i(q)=p_i[E_{i-1}(q)+1] \]

\[E_i(q^2)=p_i[E_{i-1}(q^2)+2E_{i-1}(q)+1] \]

总式子

\[f_i=f_{i-1}+p_i[3E_{i-1}(q^2)+3E_{i-1}(q)+1] \]