应用拓扑讲义整理 Chapter1.点集拓扑

1.1 拓扑空间

1.1.2 引入：连续映射的构造，拓扑基

Definition 1.16 称函数 \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) 在 \(a\) 连续，如果

\[\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, s.t. |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon. \]

Definition 1.17 称函数 \(f: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\) 在 \(x=a\) 连续，如果

\[\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, s.t. f(B(a,\delta))\subset B(f(a),\epsilon). \]

其中，\(B(p,r) = \{x\in \mathbb{R}^n: \Vert x-p\Vert_2<r\}\)/

Definition 1.18 设 \(X\subset \mathbb{R}^n, Y\subset \mathbb{R}^m\)。称函数 \(f: X\rightarrow Y\) 在 \(x=a\) 连续，如果

\[\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, s.t. f(V_\alpha)\subset U_\alpha, \]

其中，\(V_a = B(a,\delta)\cap X, U_a = B(f(a),\epsilon)\cap Y\)。

Definition 1.19 称函数 \(f: X\rightarrow Y\) 连续如果 \(f\) 在 \(X\) 的所有点处均连续。

Example 1.20 函数 \(x\mapsto\frac 1x\) 在不含 \(0\) 的区间上连续，但在含 \(0\) 的区间上不连续。

Definition 1.21 设 \(X\subset \mathbb{R}^n, Y\subset \mathbb{R}^m\)。函数 \(f: X\rightarrow Y\) 连续如果

\[\forall U_a\in \gamma_Y. \exists V_a\in \gamma_X, s.t. f(V_a)\subset U_a, \]

其中 \(\gamma_X\) 和 \(\gamma_Y\) 分别是全体开球与 \(X\) 和 \(Y\) 的交集的集族。即

\[\gamma_X = \{B(a,\delta)\cap X: a\in X, \delta\in \mathbb{R}^+\},\gamma_Y = \{B(f(a),\epsilon)\cap X: f(a)\in Y, \epsilon\in \mathbb{R}^+\} \]

Definition 1.22（拓扑基）称集族 \(\mathcal{B}\) 为集合 \(X\) 的拓扑基，如果

• \(\cup B = X\)
• \(\forall U,V\in \mathcal{B}, \exists x\in U\cap V, B\in \mathcal{B}, s.t. x\in B\subset U\cap V\)

Definition 1.23（带拓扑基的集合上的连续性）设 \(X,Y\) 的拓扑基分别为 \(\mathcal{B}_X,\mathcal{B}_Y\)，称满射 \(f: X\rightarrow Y\) 连续，如果

\[\forall U\in \mathcal{B}_Y, \exists V\in \mathcal{B}_X, s.t. f(V)\subset U. \]

Lemma 1.24 若满射 \(f: X\rightarrow Y\) 在 Definition 1.18 和 Definition 1.19 的定义下连续，则它也在 Definition 1.23 的定义下连续。

Proof：由 Definition 1.22，\(\gamma_X, \gamma_Y\) 分别是 \(X,Y\) 的拓扑基。因此在 \(\mathbb{R}^n\) 上 Definition 1.18+Definition 1.19 与 Definition 1.23 等价。

Example 1.25 右射线 \(\mathcal{B}_{RR} = \{\{x: x>s\}: s\in \mathbb{R}\}\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的一族拓扑基。

Exercise 1.26 证明 \(\mathbb{R}\) 上全体半区间 \(\mathcal{B} = \{[a,b):a<b\}\) 是一族拓扑基。

Proof：因为 \(\forall x\in \mathbb{R}\)，均有 \(x\in [x,x+1)\in \mathcal{B}\)，所以 \(\cup \mathcal{B} = \mathbb{R}\)。

设 \(a\leq c,[a,b)\cap [c,d)\neq \emptyset\)，则 \(b>c\)，因此 \([a.b)\cap [c,d) = [a,\min\{b,d\})\in \mathcal{B}\)。故 \(\forall x\in [a,b)\cap [c,d), x\in [a,\min\{b,d\})\in \mathcal{B}\)。

Example 1.27 \(\mathbb{R}^2\) 上的一族拓扑基是全体四分之一平面

\[\mathcal{B}_q = \{Q(r,s) = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x>r, y>s\}: r,s\in \mathbb{R}\}. \]

Exercise 1.28 设 \(\mathbb{R}^2\) 上的开正方形为

\[S((a,b),d) = \{(x,y): \max\{|x-a|,|y-b|\}<d\}. \]

证明 \(\forall (m,n)\in \mathbb{R}^2, d>0\)，\(\forall (a,b)\in S((m,n),d), \exists r>0, s.t. S((a,b),r)\subset S((m,n),d)\)，且 \(\mathbb{R}^2\) 上的全体开正方形

\[\mathcal{B}_s = \{S((a,b),d): (a,b)\in\mathbb{R}^2, d>0\} \]

是 \(\mathbb{R}^2\) 上的一族基。

Proof：设 \((m,n)\in \mathbb{R}^2, d>0\)，令 \(\delta = \min\{a-(m-d),(m+d)-a,b-(n-d),(n+d)-b\}\)，则

\[\forall (u,v)\in S((a,b),\delta), |u-m|<|m-a|+d-|m-a|<d, |v-n|<|n-b|+d-|n-b|<d. \]

因此 \(S((a,b),\delta)\subset S((m,n),d)\)。

下面证明 \(\mathcal{B}_s\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 上的一族基。因为

\[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2, (x,y)\in S((a,b),1)\in \mathcal{B}_s, \]

所以 \(\cup \mathcal{B} = \mathbb{R}^2\)。

设 \(S((a_1,b_1),d_1),S((a_2,b_2),d_2)\in \mathcal{B}_s, (x,y)\in S((a_1,b_1),d_1)\cap S((a_2,b_2),d_2)\)

令 \(d = \{\min\{x-(a_i-d_i),(a_i+d_i)-x,y-(b_i-d_i),(b_i+d_i)-y: i=1,2\}\)，则 \(d>0\) 且 \(S((x,y).d)\subset S((a_1,b_1),d_1)\cap S((a_2,b_2),d_2)\)。

所以 \(\mathcal{B}_s\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 上的一族基。

Exercise 1.29 证明闭球集

\[\overline{B}(p,r) = \{x\in \mathbb{R}^n: \Vert x-p\Vert_2\leq r\} \]

不是 \(\mathbb{R}^n\) 上的基，但

\[\mathcal{B}_p = \{\overline{B}(a,r): a\in \mathbb{R}^n, r\geq 0\} \]

即全体闭球和单点集的集族是基。

Proof：考虑 \(B(0,1)\) 和 \(B(2e_1,1)\)（\(e_1 = (1,0,\dots,0)\)），因为 \(B(0,1)\cap B(2e_1,1) = \{e_1\}\)，且对任意 \(r>0\)，\((1+r)e_1\in \overline{B}(e_1,r)\) 且 \((1+r)e_1\notin \{e_1\}\)，所以全体闭球不是 \(\mathbb{R}^n\) 上的基。

因为 \(\forall x\in \mathbb{R}^n, x\in B(x,0)\)，且

\[\forall B(x_1,r_1),B(x_2,r_2)\in \mathcal{B}_p, x\in B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2), x\in B(x,0)\subset B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2), \]

所以 \(\mathcal{B}_p\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的基。

1.1.3 开集：从拓扑基到拓扑

Definition 1.30 称 \(U\subset X\) 是（相对给定拓扑基 \(\mathcal{B}\) 的）开集，如果

\[\forall x\in U, \exists B\in \mathcal{B}, s.t. x\in B\subset U. \]

Lemma 1.31 \(\mathcal{B}\) 上的每个邻域都是开集。

Proof：\(B\subset B\in \mathcal{B}\)。

Exercise 1.32 右射线对应的开集族是什么？

Solution：根据 Definition 1.30，开集是右射线之并。而右射线之并仍为右射线。因此 \(\mathcal{B}_{RR}\) 对应的开集族也是 \(\mathcal{B}_{RR}\)。

Lemma 1.33 两个开集的交仍为开集。

Proof：设 \(U_1\) 和 \(U_2\) 是开集，任意给定 \(x\in U_1\cap U_2\)，则由 Definition 1.30 得

\[\exists B_1, B_2\in \mathcal{B}, s.t. x\in B_1\subset U_1, x\in B_2\subset U_2. \]

由 Definition 1.22，存在 \(B_3\in \mathcal{B}\) 使得 \(x\in B_3\subset B_1\cap B_2\)。

故 \(U_1\cap U_2\) 是开集。

Lemma 1.34 两个开集的并是开集。

Lemma 1.35 任意多个开集的并是开集。

Definition 1.36（拓扑）称 \(X\) 由拓扑基 \(\mathcal{B}\) 生成的拓扑 \(\mathcal{T}\) 为 \(X\) 上由 Definition 1.30 定义的全体开集。

Definition 1.37（\(\mathbb{R}^n\) 上的标准拓扑）称 \(\mathbb{R}^n\) 上的标准拓扑为由 \(\mathbb{R}^n\) 上全体开球生成的拓扑。

Theorem 1.38 \(X\) 上由一组基生成的拓扑满足

• \(\emptyset, X\in \mathcal{T}\)
• \(\alpha\subset \mathcal{T}\Rightarrow \cup_{U\in \alpha} U\in \mathcal{T}\)
• \(U,V\in \mathcal{T}\Rightarrow U\cap V\in \mathcal{T}\)

Proof：Definition 1.30 + Lemma 1.33 + Lemma 1.35

Example 1.39

• \(X\) 上最大的拓扑基是 \(X\) 的幂集 \(\mathcal{B}_d = \{A\subset X\} = 2^X\)，称为离散拓扑，它是由单点基 \(\mathcal{B}_s(X) = \{\{x\}: x\in X\}\) 生成的。
• \(X\) 上最小的拓扑基是 \(\{\emptyset, X\}\)，称为平凡拓扑，它是由 \(\{X\}\) 生成的。

Exercise 1.40 证明：若 \(U\) 相对拓扑基 \(\mathcal{B}\) 是开集，则 \(\mathcal{B}\cup \{U\}\) 仍为拓扑基。

Proof：显然 \(\cup(\mathcal{B}\cup \{U\})\supset \cup \mathcal{B} = X\)。

设 \(x\in B\cap U\)，其中 \(B\in \mathcal{B}\)。因为 \(B\) 是开集，所以 \(B\cap U\) 也是开集。根据 Definition 1.30，存在 \(B_x\in \mathcal{B}\) 使得 \(x\in B_x\subset B\cap U\)。因此 \(B\cup\{U\}\) 是拓扑基。

1.1.4 拓扑空间：从拓扑到拓扑基

Definition 1.41（拓扑）对任意集合 \(X\)，称 \(X\) 的一族子集 \(\mathcal{T}\) 为 \(X\) 上的拓扑，如果

• \(\emptyset, X\in \mathcal{T}\)
• \(\alpha\subset \mathcal{T}\Rightarrow \int_{U\in\alpha}\in \mathcal{T}\)
• \(U,V\in \mathcal{T}\Rightarrow U\cap V\in \mathcal{T}\)

称 \((X,\mathcal{T})\) 为拓扑空间，\(\mathcal{T}\) 中集合为开集。

Corollary 1.42 Definition 1.36 定义的由一族拓扑基 \(\mathcal{B}\) 生成的拓扑在 Definition 1.41 下也是拓扑。

Proof：Theorem 1.38。

Example 1.43 对任意 \(n\in \mathbb{Z}\)，定义

\[B(n) = \begin{cases} \{n\}, & n\text{ is odd,} \\ \{n-1,n,n+1\}, & n\text{ is even.} \end{cases} \]

称 \(\mathcal{B} = \{B(n): n\in \mathbb{Z}\}\) 生成的拓扑为整数数轴。

Theorem 1.44 由拓扑基 \(\mathcal{B}\) 生成的拓扑等于 \(\mathcal{B}\) 中元素的任意并所成集族。

Proof：由 Lemma 1.31，\(\mathcal{B}\) 中元素的任意并是开集。

反之，设 \(U\in \mathcal{T}\)，因为对任意 \(x\in U\)，存在 \(B_x\in \mathcal{B}\) 使得 \(x\in B_x\subset U\)，所以 \(U = \cup_{x\in U} B_x\) 是 \(\mathcal{B}\) 中元素之并。

Corollary 1.45 设 \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 由拓扑基 \(\mathcal{B}\) 生成的拓扑，且 \(\mathcal{B}\) 的元素可以由 \(\mathcal{B'}\) 生成，则 \(\mathcal{T}\) 中所有开集 \(U\in \mathcal{T}\) 是 \(\mathcal{B'}\) 中元素之并。

Lemma 1.46 设 \((X,\mathcal{T})\) 是拓扑空间，且一族开集 \(C\subset \mathcal{T}\) 满足

\[\forall U\in \mathcal{T}, \forall x\in U, \exists C\in \mathcal{C}, s.t. x\in C\subset U, \]

则 \(\mathcal{C}\) 是 \(\mathcal{T}\) 的一族基。

Proof：先证明 \(\mathcal{C}\) 是拓扑基。

在题设中令 \(U=X\) 得 \(\cup\mathcal{C} = X\)。

设 \(x\in C_1\cap C_2, C_1,C_2\in \mathcal{C}\)。因为 \(C_1,C_2\) 是开集，所以存在 \(C_3\in \mathcal{C}\) 使得 \(x\in C_3\subset C_1\cap C_2\)。

因此由 Definition 1.22，\(\mathcal{C}\) 是一族基。

下证由 \(\mathcal{C}\) 生成的拓扑 \(\mathcal{T}'\) 就是 \(\mathcal{T}\)。

对任意 \(U\in \mathcal{T}, x\in U\)，存在 \(C\in \mathcal{C}\) 使得 \(x\in C\subset U\)。根据 Definition 1.30 和 Definition 1.36，有 \(U\in \mathcal{T}'\)。

另一方面，根据 Corollary 1.45，任意 \(W\in \mathcal{T}'\) 都是 \(\mathcal{C}\) 中一族元素之并。而因为 \(\mathcal{C}\subset \mathcal{T}\)，所以 \(W\in \mathcal{T}\)。

Example 1.47 可数集族

\[\mathcal{B} = \{(a,b): a<b, a,b\in \mathbb{Q}\} \]

是一族拓扑基，且生成 \(\mathbb{R}\) 上的标准拓扑。

Lemma 1.48 \(X\) 的一族子集是拓扑当且仅当它生成自身。

Proof：根据拓扑的第 1、3 条定义知拓扑生成自身。下证充分性。

设 \(\mathcal{T}\) 生成自身，则 \(\mathcal{T}\) 满足 1 和 3。

设 \(U,V\in \mathcal{T}\)，根据 Definition 1.30，\(U\cup V\) 是开集，即 \(u\cup V\in \mathcal{T}\)。且该结论对任意并也成立。

因此 \(\mathcal{T}\) 满足 2，故是拓扑。

1.1.5 连续映射

Definition 1.49 称 \(U\subset Y\) 在映射 \(f: X\subset Y\) 的原像为

\[f^{-1}(U) = \{x\in X: f(x)\in U\}. \]

Exercise 1.50 证明 \(f^{-1}\) 是保包含、并、交、差运算的：

\[\begin{aligned} B_0\subset B_1&\Rightarrow f^{-1}(B_0)\subset f^{-1}(B_1), \\ f^{-1}(B_0\cup B_1) &= f^{-1}(B_0)\cup f^{-1}(B_1), \\ f^{-1}(B_0\cap B_1) &= f^{-1}(B_0)\cap f^{-1}(B_1), \\ f^{-1}(B_0\backslash B_1) &= f^{-1}(B_0)\backslash f^{-1}(B_1). \\ \end{aligned} \]

但 \(f\) 只保包含、并运算：

\[\begin{aligned} A_0\subset A_1&\Rightarrow f(A_0)\subset f(A_1), \\ f^{-1}(A_0\cup A_1) &= f(A_0)\cup f(A_1), \\ f^{-1}(A_0\cap A_1) &\subset f(A_0)\cap f(A_1), \\ f^{-1}(A_0\backslash A_1)&\supset f(A_0)\backslash f(A_1). \\ \end{aligned} \]

最后两个包含关系取等如果 \(f\) 是单射。

Proof：

• 设 \(B_0\subset B_1, y\in B_0\)，则 \(\forall x\in f^{-1}(y), f(x) = y\in B_0\subset B_1\)，即 \(x\in f^{-1}(B_1)\)。因此 \(f^{-1}(B_0) = \cup_{y\in B_0} f^{-1}(y) \subset f^{-1}(B_1)\)。

• 设 \(y\in B_0\cup B_1\)，则 \(y\in B_0\) 或 \(y\in B_1\)。即 \(f^{-1}(y)\subset f^{-1}(B_0)\) 或 \(f^{-1}(y)\subset f^{-1}(B_1)\)。因此 \(f^{-1}(B_0\cup B_1) = \cup_{y\in B_0\cup B_1}\subset f^{-1}(B_0)\cup f^{-1}(B_1)\)；

  设 \(x\in f^{-1}(B_0)\cup f^{-1}(B_1)\)，则 \(x\in f^{-1}(B_0)\) 或 \(x\in f^{-1}(B_1)\)，即 \(f(x)\in B_0\) 或 \(f(x)\in B_1\)，即 \(f(x)\in B_0\cup B_1\)。因此 \(x\in f^{-1}(B_0\cup B_1)\)，因此 \(f^{-1}(B_0)\cup f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_0\cup B_1)\)。

• 设 \(y\in B_0\cap B_1\)，则 \(y\in B_0\) 且 \(y\in B_1\)。即 \(f^{-1}(y)\subset f^{-1}(B_0)\) 且 \(f^{-1}(y)\subset f^{-1}(B_1)\)。因此 \(f^{-1}(B_0\cap B_1) = \cup_{y\in B_0\cap B_1}\subset f^{-1}(B_0)\cap f^{-1}(B_1)\)；

  设 \(x\in f^{-1}(B_0)\cap f^{-1}(B_1)\)，则 \(x\in f^{-1}(B_0)\) 或 \(x\in f^{-1}(B_1)\)，即 \(f(x)\in B_0\) 且 \(f(x)\in B_1\)，即 \(f(x)\in B_0\cap B_1\)。因此 \(x\in f^{-1}(B_0\cap B_1)\)，因此 \(f^{-1}(B_0)\cap f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_0\cap B_1)\)。

• 先证明 \(f^{-1}(B^c) = f^{-1}(B)^c\)。设 \(y\in B^c,x\in f^{-1}(y)\)，则 \(f(x)\notin B\)，因此 \(x\notin f^{-1}(B)\)，因此 \(f^{-1}(B^c)\subset f^{-1}(B)^c\)。反之，设 \(x\in f^{-1}(B)^c\) 即 \(f(x)\notin B\)，则 \(f(x)\in B^c, x\in f^{-1}(B^c)\)。故 \(f^{-1}(B)^c\subset f^{-1}(B^c)\)。

  \(f^{-1}(B_0\backslash B_1) = f^{-1}(B_0\cap B_1^c) = f^{-1}(B_0)\cap f^{-1}(B_1^c) = f^{-1}(B_0)\cap f^{-1}(B_1)^c = f^{-1}(B_0)\backslash f^{-1}(B_1)\)。

反之：

• 设 \(A_0\subset A_1\)，则 \(\forall x\in A_0\subset A_1, f(x)\in f(A_1)\)。因此 \(f(A_0)\subset f(A_1)\)。

• 设 \(y\in f(A_0\cup A_1)\)，则 \(\exists x\in A_0\cup A_1, f(x)=y\)。\(x\in A_0\) 或 \(x\in A_1\)，故 \(y\in f(A_0)\) 或 \(y\in f(A_1)\)。

  反之，对任意 \(y\in f(A_0)\cup f(A_1)\)，若 \(y\in f(A_0)\)，则存在 \(x\in A_0\subset A_0\cup A_1\) 使得 \(f(x) = y\)，因此 \(y\in f(A_0\cup A_1)\)。\(y\in f(A_1)\) 同理。因此 \(f(A_0)\cup f(A_1)\subset f(A_0\cup A_1)\)。

• 设 \(y\in f(A_0\cap A_1)\)，则 \(\exists x\in A_0\cap A_1,f(x)=y\)。\(x\in A_0\) 且 \(x\in A_1\)，故 \(y\in f(A_0)\) 且 \(y\in f(A_1)\)。因此 \(f(A_0\cap A_1)\subset f(A_0)\cap f(A_1)\)。

  反之不成立，例如 \(f(x) = x^2, A_0 = (-1,0), A_1 = (0,1),f(A_0\cap A_1) = \emptyset, f(A_0)\cap f(A_1) = (0,1)\)。

• 设 \(y\in f(A_0)\backslash f(A_1)\)，则 \(\exists x\in A_0\) 使得 \(f(x) = y\)。若 \(x\in A_1\)，则 \(f(x)\in f(A_1)\) 矛盾，故 \(x\in A_0\backslash A_1\)。因此 \(f(A_0\backslash A_1)\supset f(A_0)\backslash f(A_1)\)。

  反之不成立，例如 \(f(x) = x^2, A_0 = (-1,1), A_1 = (0,1), f(A_0\backslash A_1) = [0,1), f(A_0)\backslash f(A_1) = \{0\}\)。

当 \(f\) 是单射时，令 \(g = f^{-1}\bigg|_{f(X)}\) 即可。

Lemma 1.51 设映射 \(f: X\rightarrow Y, A\subset X, B\subset Y\)，则

\[A\subset f^{-1}(f(A)), f(f^{-1}(B))\subset B. \]

其中第一个包含关系取等如果 \(f\) 是单射；第二个包含关系取等如果 \(g\) 是满射或 \(B\subset f(X)\)。

Proof：由原像集的定义知 \(a\in A\Rightarrow a\in f^{-1}(f(A))\)。

反之，若 \(a\in f^{-1}(f(A))\)，则 \(f(a)\in f(A)\)。当 \(f\) 为单射时，可以推知 \(a\in A\)。

由原像集的定义知 \(b\in B\Rightarrow b\in B\)。

反之，若 \(f\) 是满射或 \(B\subset f(X)\)，则对任意 \(b\in B\) 有 \(f^{-1}(\{b\})\neq \emptyset\)，故

\[b\in f(f^{-1}\{b\})\subset f(f^{-1}(B)). \]

Definition 1.52（拓扑空间的连续映射）称函数 \(f: X\rightarrow Y\) 连续如果 \(Y\) 中任意开集 \(U\subset Y\) 的原像都是 \(X\) 中开集。

Lemma 1.53 设 \(f: X\rightarrow Y\) 是如 1.52 定义的连续映射，则开集 \(U\subset Y\) 的原像满足

\[f^{-1}(U) = \cup_{x\in X}V_x, \]

其中 \(V_x\) 是 \(X\) 的拓扑基的元素，且满足 \(f(V_x)\subset U\)。

Proof：因为 \(U\) 是开集，所以由 Definition 1.52 知 \(f^{-1}(U)\) 是开集。

根据 Definition 1.30，由 \(x\in f^{-1}(U)\) 得存在 \(V_x\in \mathcal{B}_X\) 使得 \(x\in V_x\subset f^{-1}(U)\)。

因此 \(f^{-1}(U) \subset \cup_{x\in X} V_x\)。

反之，因为 \(f(V_x)\subset U\)，所以由 Exercise 1.50(1) 得 \(f^{-1}f(V_x)\subset f^{-1}(U)\)。再由 Lemma 1.51 得 \(V_x\subset f^{-1}(U)\)。因此 \(\cup_{x\in X}V_x\subset f^{-1}(U)\)。

Theorem 1.54 若满射在 Definition 1.52 的定义下连续，则它也在 Definition 1.23 的定义下连续。

Proof：考虑 \(U\in \mathcal{B}_Y\)，根据 Lemma 1.31，\(U\) 是开集。由 Definition 1.52，\(f^{-1}(U)\) 是 \(X\) 中开集。因为 \(f\) 是满射，所以 \(f^{-1}(U)\) 非空。由 Definition 1.30 有

\[\forall x\in f^{-1}(U), \exists V\in \mathcal{B}_X, s.t. x\in V\subset f^{-1}(U), \]

即 \(f(V)\subset f(f^{-1}(U)) = U\)。

Exercise 1.55 证明 Lemma 1.53 对如下改进的 Definition 1.23 定义下的连续函数成立：

\[\begin{aligned} \forall U\in \mathcal{B}_Y, \forall x\in X, s.t. f(x)\in U, \\ \exists V\in \mathcal{B}_X, x\in V, f(V)\subset U. \\ \end{aligned} \]

Proof：设 \(U\subset Y\) 为 \(Y\) 中开集。则由 Theorem 1.44 知

\[U = \cup_{y\in U} B_y, y\in B_y\in \mathcal{B}_Y. \]

由题设知

\[\forall B_y, \forall x,s.t. f(x)\in U_y, \exists V_{x,y}\in \mathcal{B}_{X,y}, x\in V_x, f(V)\subset B_y. \]

令 \(V_x = \cup_yV_{x,y}\)，则 \(f^{-1}(U) = \cup_{x\in X} V_x\)。Lemma 成立。

Example 1.56 连续函数不一定有良好的形态，例如 Hilbert 曲线

1.1.6 子拓扑基

Definition 1.57（子拓扑基）\(X\) 上的子拓扑基 \(\mathcal{S}\) 是 \(X\) 中的一族满足 \(\cup_\mathcal{S}B = X\) 的子集。

Example 1.58 全体半径大于 \(h>0\) 的开球所成集族（记作 \(\mathcal{B}_h\)）是一族子拓扑基，但不是拓扑基。

Definition 1.59（由子拓扑基生成的拓扑）定义子拓扑基 \(\mathcal{S}\) 生成的拓扑 \(\mathcal{T_S}\) 为 \(\mathcal{S}\) 中元素有限交的任意并所成集族。

Exercise 1.60 证明按 Definition 1.50 定义的由子拓扑基 \(\mathcal{S}\) 生成的拓扑也是由 Definition 1.41 定义的拓扑。

Proof：\(\emptyset\in \mathcal{T_S}\)。因为 \(\cup_\mathcal{S}B = X\)，所以 \(X\in \mathcal{T_S}\)。

设 \(U,V\in \mathcal{T_S}\)，则 \(U=\cup_{i\in I}\cap_{j=1}^{n_i} U_{i,j}, V=\cup_{i'\in I'}\cap_{j'=1}^{n_{j'}}V_{i',j'}\)。则

\[U\cap V = \cup_{i\in I,i'\in I'}\cap_{j,j'}(U_{i,j}\cap V_{i',j'})\in \mathcal{T_S}, \]

设 \(\{U_\alpha\}\subset \mathcal{T_S}\)，则

\[\cup_{\alpha}U_\alpha = \cup_\alpha\cup_{i\in I_\alpha}\cap_{j=1}^{n_{i,\alpha}} U_{i,j,\alpha} \in \mathcal{T_S}. \]

因此 \(\mathcal{T_S}\) 是拓扑。

Exercise 1.61 证明 \(\mathcal{S}\subset \mathcal{T_S}\)，即由子拓扑基 \(\mathcal{S}\) 生成的拓扑中，\(\mathcal{S}\) 中所有元素都是 \(X\) 中开集。

Proof：在 \(U = \cup_{i\in I}\cap_{j=1}^{n_i}U_{i,j}\) 中的并集和交集运算中都只取一项即可。

Exercise 1.62 证明若 \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 中拓扑且 \(\mathcal{S}\subset \mathcal{T}\)，则 \(\mathcal{T_S}\subset \mathcal{T}\)。

Proof：因为 \(\mathcal{T}\) 对任意并和有限交运算封闭，所以 \(\mathcal{S}\subset \mathcal{T}\Rightarrow \mathcal{T_S}\subset \mathcal{T}\)。

Exercise 1.63 假设对任意 \(x\in X\)，\(x\) 包含于至多有限个 \(\mathcal{S}\) 中集合。令 \(B_x = \cap_{x\in B\in \mathcal{S}}B\)，证明

• \(\mathcal{B_S} := \{B_x: x\in X\}\) 是 \(\mathcal{T_S}\) 的一族拓扑基。
• 若 \(\mathcal{B}\) 是 \(\mathcal{T_S}\) 的一族基，则 \(\mathcal{B_S}\subset \mathcal{B}\)。

Proof：根据子基拓扑的定义得

\[\mathcal{T_S} = \left\{\bigcup_{i\in I} (S_{i1}\cap S_{i2}\cap\dots\cap S_{ik_I})\bigg| S_{ij}\in \mathcal{S}, k_i\in \mathbb{N}\right\} \]

• 由定义，有

  \[\mathcal{T(B_S)} = \left\{ B_x = \bigcup_{x\in J}(S_{x1}\cap S_{x2}\cap\dots\cap S_{xk_x})\bigg|x\in S_{jk}\in \mathcal{S}\right\} \]

  所以 \(\mathcal{T(B_S)} \subset \mathcal{T_S}\)。

  反之，对任意开集 \(U\in \mathcal{T_S}, \forall x\in U, U\subset \cup_xB_x\subset \mathcal{T(B_S)}\)，所以 \(\mathcal{T_S}\subset \mathcal{T(B_S)}\)。

  因此，\(\mathcal{T_S} = \mathcal{T(B_S)}\)。

• 因为 \(\mathcal{B}\) 是 \(\mathcal{T_S}\) 的一族基，所以

  \[\forall x\in X, \exists U = \bigcup_{i\in I} B_i\subset \mathcal{B}\subset \mathcal{T_S},s.t.x\in U. \]

  又因为 \(B_x\) 是 \(\mathcal{T_S}\) 中包含 \(x\) 的最小集合，所以 \(B_x\subset \cup_{i\in I} B_i\)。所以 \(\mathcal{B_S}\subset \mathcal{B}\)。

1.1.8 闭集

Definition 1.66 \(X\) 的子集称为闭集如果它的补集是开集。

Example 1.67 集合

\[K = \{\frac 1n: n\in \mathbb{Z}^+\} \]

是非开非闭的。但 \(K\cup \{0\}\) 是闭的。

Theorem 1.68 \(X\) 的闭子集族 \(\sigma\) 满足

• \(\emptyset, X\in \sigma\)
• \(\alpha\subset \sigma \Rightarrow \cap\alpha\in \sigma\)
• \(U,V\in \sigma \Rightarrow U\cup V \in \sigma\)

Example 1.69 下面的例子说明了开集的任意交不一定是开集，闭集的任意并不一定是闭集：

\[\begin{aligned} \bigcap\left\{\left(-\frac 1n,\frac 1n\right): n=1,2,\dots\right\} &= \{0\};\\ \bigcup\left\{\left[-1+\frac 1n,1-\frac 1n\right]:n=1,2,\dots\right\} &= (-1,1). \end{aligned} \]

Lemma 1.70 函数 \(f: X\rightarrow Y\) 连续当且仅当闭集的原像是闭集。

Proof：由 Definition 1.49，有

\[f^{-1}(U) = f^{-1}(Y\backslash(Y\backslash U)) = X\backslash f^{-1}(Y\backslash U). \]

因此闭集 \(Y\backslash U\) 的原像 \(f^{-1}(Y\backslash U)\) 是闭集等价于开集 \(U\) 的原像 \(X\backslash f^{-1}(Y\backslash U)\) 是开集。

Definition 1.71（函数图像）函数 \(f: X\rightarrow Y\) 的图像是集合

\[\{(x,y)\in X\times Y: y=f(x)\}. \]

Lemma 1.72 连续函数 \(f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) 在集合 \([a,b]\times \mathbb{R}\) 上是闭集。

Exercise 1.73 给出不连续函数 \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) 的例子，其图像在 \(\mathbb{R}^2\) 上是闭集/不是闭集。

Solution：令 \(f(x) = D(x)\) 为 Dirichlet 函数（即，在有理数为 1，无理数为 0），则其图像在 \(\mathbb{R}^2\) 上是非闭集；令

\[f(x) = \begin{cases} \sin \frac 1x. &x\neq 0; \\ 0, &x=0, \end{cases} \]

其图像在 \(\mathbb{R}^2\) 上的闭集。

Exercise 1.74 设 \(X\) 是拓扑空间，

• 对连续函数 \(f: X\rightarrow \mathbb{R}\)，证明集合 \(\{x\in X: f(x)=r\}\) 即 \(f(x)=r\) 的解集为闭集。
• 证明当 \(Y\) 为任意拓扑空间时，\(f:X\rightarrow Y\) 不满足上述性质。
• \(Y\) 需要满足什么性质可以保证上述结论成立？

Proof：因为 \(\{r\}\) 是 \(\mathbb{R}\) 中闭集，所以原像集 \(f^{-1}(\{r\})\) 是闭集。

若 \(Y\) 是平凡拓扑，则 \(\{f(x)=r\}\) 不是闭集。

结论正确需要满足 \(Y\) 的单点集为闭集。

1.1.9 内部和外部

Definition 1.75（内部）称点 \(x\in X\) 是 \(A\) 的内部点如果它的某个邻域 \(W\) 完全包含在 \(A\) 中。\(U\) 的全体内部点所成集合记为 \(\text{Int}(U)\)。

Lemma 1.76 对任意集合 \(A\)，\(\text{Int}(A)\) 是开集。

Proof：对任意 \(x\in \text{Int}(A)\)，存在开集 \(W_x\) 使得 \(x\in W_x\subset \text{Int}(A)\)，因此 \(\text{Int}(A) = \cup_x W_x\) 为开集。

Example 1.77 闭球的内部是对应开球。

Definition 1.78（外部）称点 \(x\in X\) 是 \(A\) 的外部点如果它的某个邻域 \(W\) 完全包含在 \(X\backslash A\) 中。\(U\) 的全体外部点所成集合记为 \(\text{Ext}(U)\)。

Example 1.79 集合 \(K\) 的外部是 \(\mathbb{R}\backslash K\backslash \{0\}\)。

Definition 1.80（闭包点）称点 \(x\in X\) 是 \(A\) 的闭包点如果 \(x\) 的每个邻域都包含 \(A\) 中的点。

Example 1.81 \(K\) 的闭包点集是 \(K\cup \{0\}\)。

Definition 1.82（聚点）称 \(x\) 是 \(A\) 的聚点如果 \(x\) 的每个邻域都包含 \(A\) 中非 \(x\) 的点。

Example 1.83 \(K\) 的唯一一个聚点是 \(0\)。

Example 1.84 \(\mathbb{R}\) 中所有点都是 \(\mathbb{Q}\) 的聚点。

Definition 1.85（孤立点）称 \(x\in A\) 是 \(A\) 的孤立点如果 \(x\) 的某个邻域与 \(A\backslash \{x\}\) 无交。

Example 1.86 \(K\) 的所有点都是孤立点。

Definition 1.87（边界点）称 \(x\in A\) 是 \(A\) 的边界点如果 \(x\) 同时是 \(A\) 和 \(A^c\) 的闭包点。记边界点集为 \(\text{Fr}(A)\)。

Theorem 1.88 对任意集合 \(A\subset X\)，其内部、边界和外部为 \(X\) 的一个划分。

Proof：对任意 \(a\in X\)：

• 若存在邻域 \(\mathcal{N}_a\) 满足 \(a\in \mathcal{N}_a\subset A\)，则由 Definition 1.75 得 \(a\in \text{Int}(A)\)；
• 若存在邻域 \(\mathcal{N}_a\) 满足 \(a\in \mathcal{N}_a\subset X\backslash A\)，则由 Definition 1.78 得 \(a\in \text{Ext}(A)\)；
• 否则，对任意 \(a\) 的邻域均有 \(\mathcal{N}_a\not\subset A\) 且 \(\mathcal{N}_a\not\subset X\backslash A\)。则由 Definition 1.87 的 \(a\in \text{Fr}(A)\)。

Definition 1.89（闭包）称 \(A\) 的全体闭包点为 \(A\) 的闭包，记作 \(\text{Cl}(A)\) 或 \(\overline{A}\)。

Lemma 1.90 \(\text{Int}(A)\subset A\subset \text{Cl}(A)\)。

Lemma 1.91 \(\text{Cl}(A) = \text{Int}(A)\cup \text{Fr}(A)\)。

Theorem 1.92 \(A\) 的闭包是最小的包含 \(A\) 的闭集，即

\[\text{Cl}(A) = \bigcap\{G: A\subset G, G 为 X中闭集\} \]

Proof：记 \(\alpha := \{G:A\subset G, G为X中闭集\}\)，\(A^- = \cap \alpha\)，则只需证明 \(A^-\subset \text{Cl}(A)\) 且 \(A^-\supset \text{Cl}(A)\)。

若 \(x\notin \text{Cl}(A)\)，则由 Definition 1.80 和 Definition 1.89 得，存在 \(x\) 的开邻域使得 \(\mathcal{N}_x\cap A = \emptyset\)。即 \(P := X\backslash \mathcal{N}_x\) 包含 \(A\)。因为 \(P\) 是闭集，所以 \(P\in \alpha, x\notin A^-\)。即 \(\text{Cl}(A)^c\subset (A^-)^c\)，因此 \(A^-\subset \text{Cl}(A)\)。

若 \(x\in \text{Cl}(A)\)，则对任意包含 \(x\) 的闭集 \(G\)，\(G^c\) 为开集且 \(G^c\cap A = \emptyset\)。若 \(x\in G^c\)，则存在 \(x\) 的邻域满足 \(\mathcal{N}_x\subset G^c\) 即 \(\mathcal{N}_x\cap A = \emptyset\)，与 \(x\in \text{Cl}(A)\) 矛盾。因此 \(\text{Cl}(A)\subset A^-\)。

Exercise 1.93 证明 \(\text{Cl}(A\cap B)\subset \text{Cl}(A)\cap \text{Cl}(B)\)。改为无限交？

Proof：设 \(x\in \text{Cl}(A\cap B)\)，则对 \(x\) 的任意一个邻域 \(\mathcal{N}_x\) 均有 \(\mathcal{N}_x\cap (A\cap B)\neq \emptyset\)，即 \(\mathcal{N}_x\cap A = \emptyset\) 且 \(\mathcal{N}_x\cap B = \emptyset\)。因此 \(x\in \text{Cl}(A)\cap \text{Cl}(B)\)。即 \(\text{Cl}(A\cap B) = \text{Cl}(A)\cap \text{Cl}(B)\)。

Theorem 1.94 \(A\) 的内部是最大的包含于 \(A\) 的开集，即

\[\text{Int}(A) = \bigcup\{U: U\subset A, U为X中开集\} \]

Theorem 1.95 设 \(A'\) 为 \(A\) 的全体聚点，则 \(\text{Cl}(A) = A\cup A'\)。

Proof：设 \(x\in \text{Cl}(A)\)。若 \(x\in A\)，则 \(x\in A\cup A'\)。

否则 \(x\neq A\)。由 Definition 1.89 得 \(x\) 的邻域至少包含 \(A\) 中的一个点。由 Definition 1.75，\(x\in A'\)。

因此 \(x\in A\cup A'\)。

Corollary 1.96 拓扑空间的子集是闭集当且仅当它包含自身的所有聚点。

Proof：若 \(A\supset A'\)，则 \(A\cap A' = A = \text{Cl}(A)\)。即 \(A\) 是闭集；

设 \(A\) 是闭集，且存在 \(x\) 是 \(A\) 的聚点但 \(x\neq A\)，则由 Definition 1.82 知 \(x\) 的任意邻域中都存在 \(p\in A, p\neq x\)。这与 \(A^c\) 是开集矛盾。

1.1.10 Hausdorff 空间

Definition 1.97（收敛） 设 \(X\) 是邻域基为 \(\gamma\) 的集合，\(\{x_n: n=1,2,\dots,\}\) 是 \(X\) 中的一个序列，\(a\in X\)。称序列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，记作 \(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = a\) 或 \(x_n\rightarrow a, n\rightarrow \infty\) 如果

\[\forall U\in \gamma, a\in U, \exists N\in \mathbb{N}^+, s.t. n>N\Rightarrow x_n\in U. \]

Example 1.98 由 Definition 1.97，当拓扑空间中的两个点”不可分“时，序列可能会同时收敛到这两个点。因此收敛只在拓扑空间的点两两可分时才能合理定义。

Exercise 1.99 证明将“邻域基”改为“拓扑”的情况下，Definition 1.97 保持不变。

Proof：因为开集是邻域基的任意并，所以若 Definition 1.97 的条件对邻域基成立，则对开集也成立。

Exercise 1.100 证明若序列在邻域基 \(\gamma\) 下收敛，则它在等价于 \(\gamma\) 的邻域基下也收敛。

Proof：序列在 \(\gamma\) 下收敛等价于序列在 \(\gamma\) 生成的拓扑下收敛。也等价于在生成该拓扑的任意一族邻域基下收敛。

Theorem 1.101 连续函数是保收敛性的。即，若 \(f:X\rightarrow Y\) 连续，且 \(\lim_{n\rightarrow \infty} = a\)，则 \(\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n) = f(a)\)。

Proof：由 Definition 1.97 和 Definition 1.23 立即可得。

Exercise 1.102 拓扑空间 \(X\) 中的序列 \(\alpha = \{x_n: n=1,2,\dots\}\) 可视为 \(X\) 的一个子集 \(A = \{x_n: n\in \mathbb{N}^+\}\)。比较 \(A\) 的闭包点和 \(A\) 的聚点的意义。\(\alpha\) 的极限是什么？

Proof：若 \(\alpha\) 的某个子列收敛于 \(a\)，则 \(a\) 是 \(A\) 的聚点。若 \(a\) 是 \(A\) 的聚点或 \(a\in A\)，则 \(a\) 是 \(A\) 的闭包点。\(\alpha\) 的极限一定是 \(A\) 的聚点，反之不一定。

Exercise 1.103 对度量拓扑，证明 \(f: X\rightarrow Y\) 连续当且仅当 \(f(\lim x_n) = \lim f(x_n), \forall \{x_n\}\)。

Proof：若 \(\lim x_n = a\)，则

\[\forall \epsilon>0, \exists N\in \mathbb{N}^+, s.t. n>N\Rightarrow d_X(x_n, a) < \epsilon. \]

因为 \(f\) 连续，所以

\[\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, s.t. d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\epsilon. \]

即

\[\forall \epsilon>0, \exists N\in \mathbb{N}^+, s.t. n>N\Rightarrow d_Y(f(x_n),f(a))<\epsilon. \]

故 \(f(\lim x_n) = \lim f(x_n)\)。

反之，若存在 \(\{x_n\}\) 使得 \(f(\lim x_n) \neq \lim f(x_n)\)，则

\[\exists \epsilon_0>0, \{x_{n_k}\}\subset \{x_n\},s.t. \forall k, d_Y(f(x_{n_k}), f(a))>\epsilon_0. \]

但 \(\lim_{k\rightarrow \infty} d_X(x_{n_k},a)=0\)，所以 \(f\) 在 \(a\) 处不连续。

Example 1.104 对离散拓扑，什么情况下 \(x_n\rightarrow a\)？

Solution：当且仅当 \(x_n\) 从某项开始全为 \(a\)。

Example 1.105 对平凡拓扑，什么情况下 \(x_n\rightarrow a\)？

Solution：任意序列都收敛于 \(a\)。

Definition 1.106（Hausdorff 空间） 称拓扑空间 \((X,\mathcal{T})\) 是 Hausdorff 空间，当且仅当

\[\forall a,b\in X, a\neq b, \exists U,V\in \mathcal{T}, s.t. a\in U, b\in V, U\cap V = \emptyset. \]

Lemma 1.107 Hausdorff 空间中的任意有限点集都是闭集。

Proof：由 Theorem 1.68 的条件 3，只需证明所有单点集都是闭集。考虑 \(X\backslash \{x_0\}\)。对任意 \(x\neq x_0\)，存在 \(U\supset x, V\supset x_0\) 使得 \(U\cap V = \emptyset\)，即 \(x_0\notin U, U\subset X\backslash \{x_0\}\)。即 \(X\backslash \{x_0\}\) 是开集。

Exercise 1.108 是否存在拓扑空间 \(X\) 满足：\(X\) 不是 Hausdorff 空间，但所有单点集都是闭集？

Proof：考虑 \(\mathbb{R}\) 上的余有限拓扑，即定义开集为

\[\mathcal{T} = \{\emptyset,X\}\cup\{A: \#(X\backslash A)<\infty\}, \]

则任意单点集都是闭集。但因为任意两个非空开集都相交，所以任意两个点都不可分。

Definition 1.109（T1 空间） 称拓扑空间是 T1 空间如果任意有限子集都是闭集。

Theorem 1.110 设 \(X\) 是 T1 空间，\(A\subset X\)，则 \(x\) 是 \(A\) 的聚点当且仅当 \(x\) 的任意邻域都包含 \(A\) 中无穷多个点。

Proof：充分性由 Definition 1.82 直接可得。

考虑必要性。假设存在 \(x\) 的邻域 \(U\) 使得 \((A\backslash \{x\})\cap U = \{x_1,x_2,\dots,x_m\}\)，则由 Definition 1.109 可得

\[U\cap (X\backslash \{x_1,x_2,\dots,x_m\}) = U\cap (X\backslash(A\backslash \{x\})) \]

是包含 \(x\) 的开集，且它不含除 \(x\) 外其他的 \(A\) 中点。这与 \(x\) 为 \(A\) 的聚点矛盾。

Theorem 1.111 在 Hausdorff 空间中，一个点列至多收敛到一个点。

Proof：由 Definition 1.97，若一个序列收敛到 \(X\) 中不同的两个点，则与 Definition 1.106 矛盾。

1.2 连续映射

1.2.1 子空间拓扑

Lemma 1.112 考虑拓扑空间 \(X\) 的一个子集 \(A\)。设 \(\gamma_X\) 是 \(X\) 的一族邻域基，则

\[\gamma_A := \{W\cap A: W\in \gamma_X\} \]

是 \(A\) 的一族邻域基。

Proof：因为 \(\bigcup_{W\in \gamma_X} W = X\)，所以 \(\bigcup_{U\in \gamma_A}U = \bigcup_{W\in \gamma_X}(W\cap A) = (\bigcup_{W\in \gamma_X}W)\cap A = X\cap A = A\)。

对任意 \(U,V\in \gamma_A, x\in U\cap V\)，存在 \(U',V'\in \gamma_X\) 使得 \(U = U'\cap A, V = V'\cap A, W' = U'\cap V', W'\in \gamma_X\)。令 \(W := W'\cap A\) 则有 \(W\in \gamma_A\) 且 \(x\in W\subset U\cap V\)。

Definition 1.113（子空间拓扑）由 \(\gamma_A\) 生成的拓扑称为由 \(\gamma_X\) 生成的拓扑的子空间拓扑（相对拓扑）。

Lemma 1.114 设 \(A\) 为拓扑空间 \(X\) 的子集，\(\mathcal{T}_X\) 是 \(X\) 上的拓扑，则

\[\mathcal{T}_A := \{W\cap A: W\in \mathcal{T}_X\} \]

是 \(A\) 上的拓扑。

Proof：Trival，类似 1.112 直接验证。

Definition 1.115（子空间拓扑）给定拓扑空间 \((X,\mathcal{T})\) 和 \(A\subset X\)，称拓扑空间 \((A, \mathcal{T}_A)\) 是 \(X\) 的子拓扑空间，\(\mathcal{T}_A\) 是由 \(\mathcal{T}_X\) 诱导的子空间拓扑。

Theorem 1.116 设 \(\gamma_X\) 是生成 \(\mathcal{T}_X\) 的拓扑基，则由 \(\mathcal{T}_X\) 诱导的在 \(A\) 上的子空间拓扑等于由 \(\gamma_X\) 生成的 \(A\) 上的子空间拓扑（交换图）。

Proof：首先证明 \(U\in \mathcal{T}_A\) 在 \(\gamma_A\) 诱导的拓扑下是开集。由 Lemma 1.114，存在 \(U'\in \mathcal{T}_X\) 使得 \(U = U'\cap A\)。因为 \(\gamma_X\) 是 \(X\) 的拓扑基，所以

\[\forall y\in U', \exists B'\in \gamma_X, s.t. y\in B'\subset U'. \]

这表明

\[\forall x\in U\subset U', \exists B := (B'\cap A)\in \gamma_A, s.t. x\in B\subset U. \]

因此 \(U\) 在 \(\gamma_A\) 诱导的拓扑下是开集。

下面证明，若 \(U\) 在 \(\gamma_A\) 诱导的拓扑下是开集，则 \(U\in \mathcal{T}_A\)。即，我们要寻找 \(U'\in \mathcal{T}_X\) 使得 \(U = U'\cap A\)。因为 \(\gamma_X\) 是 \(X\) 的拓扑基，所以

\[\forall x\in U, \exists N_x\in \gamma_A, s.t. x\in N_x\subset U. \]

其中 \(N_x = N_x'\cap A, N_x'\in X\)。令 \(U' = \cup_{x\in U}N_x'\)，则由 Theorem 1.44，\(U'\) 是 \(\gamma_X\) 下的开集，即 \(U = U'\cap A\) 是 \(\gamma_A\) 下的开集。

Lemma 1.117 设 \(A\) 是 \(X\) 的子空间，\(U\) 在 \(A\) 中是开集，\(A\) 在 \(X\) 中是开集，则 \(U\) 在 \(X\) 中是开集。

Proof：因为 \(U\) 在 \(A\) 中是开集，所以由 Definition 1.115 有

\[\exists U'\in \mathcal{T}_X, s.t. U = U'\cap A. \]

又因为 \(A\in \mathcal{T}_X\)，所以 \(U = U'\cap A\in \mathcal{T}_X\)。

Lemma 1.118（子空间的闭集）设 \(A\) 是 \(X\) 的子空间，则集合 \(V\subset A\) 是 \(A\) 中闭集当且仅当它是 \(A\) 与 \(X\) 的一个闭子集的交。

Proof：假设 \(V\) 是 \(A\) 中闭集，则

\[\exists V'\subset A, s.t. V\cup V' = A, V'\in \mathcal{T}_A. \]

因为 \(A\) 是 \(X\) 的子空间，所以由 Definition 1.115 有

\[\exists U'\subset X, s.t. V' = U'\cap A, U'\in \mathcal{T}_X. \]

因此集合 \(U = X\backslash U'\) 是 \(X\) 中闭集，且

\[A\cap U = A\cap (X\backslash U') = A\backslash (X\backslash (X\backslash U')) = A\backslash U' = A\backslash (U'\cap A) = A\backslash V' = V. \]

反之，假设

\[\exists U\in X, s.t. (X\backslash U)\in \mathcal{T}_X, V = U\cap A. \]

令 \(V' := (X\backslash U)\cap A\)，则由 Definition 1.115 由 \(V'\) 是 \(A\) 中开集。又因为

\[V\cup V' = (U\cap A)\cup((X\backslash U)\cap A) = A, \]

所以 \(V\) 是 \(A\) 中闭集。

Corollary 1.119（相对闭性的传导）设 \(A\) 是 \(X\) 的子空间，\(V\) 是 \(A\) 中闭集，\(A\) 是 \(X\) 中闭集，则 \(V\) 是 \(X\) 中闭集。

Proof：由 Lemma 1.118 立即可得。

1.2.2 新映射的构造

Theorem 1.120 连续函数的复合仍为连续映射。

Proof：设有连续映射 \(f : X\rightarrow Y, g : Y\rightarrow Z\)，令 \(h = gf: X\rightarrow Z\)，则对任意开集 \(U\subset Z\)，有

\[h^{-1}(U) = (gf)^{-1}(U) = f^{-1}(g^{-1}(U)) \]

是开集。

Theorem 1.121 设 \(X\) 是拓扑空间，\(f,g: X\rightarrow \mathbb{R}\) 是连续函数。则 \(f+g,f-g,fg\) 是连续函数；当 \(g(x)\neq 0, \forall x\) 时，\(f/g\) 也是连续函数。

Proof：以加法为例。\(h: X\rightarrow \mathbb{R}^2, h(x) = (f(x), g(x))\) 是连续函数。又因为 \(+:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\) 是连续函数，所以 \(f+g = +\circ h\) 连续。

Definition 1.22（含入）设 \(X\) 是拓扑空间，\(A\) 是 \(X\) 的子集，则定义含入映射 \(i_A: A\rightarrow X\) 为

\[\forall x\in A, i_A(x) = x. \]

Definition 1.23（限制）设 \(X\) 和 \(Y\) 是拓扑空间，\(A\) 是 \(X\) 的子集，称 \(f: X\rightarrow Y\) 在 \(A\) 上的限制为

\[\forall x\in A, f|_A (x) = f(x). \]

Theorem 1.24（限制区域）连续函数的限制是连续函数。

Proof：因为 \(f|_A = f\circ i_A\)，\(i_A\) 连续，所以 \(f|_A\) 连续。

Exercise 1.125 设 \(i_A: A\rightarrow X\) 是含入映射，假设 \(A\) 的拓扑满足：对任意拓扑空间 \(Y\) 和映射 \(f: Y\rightarrow A\)，\(f\) 连续当且仅当 \((i_A\circ f): Y\rightarrow X\) 连续。证明 \(A\) 的拓扑与 \(X\) 在 \(A\) 上的子空间拓扑是相同的。

Proof：设 \(U\in \mathcal{T}_A\)，则 \(f:Y\rightarrow A\) 是连续映射，当且仅当 \(i_A\circ f: Y\rightarrow X\) 是连续映射。

因此对任意映射 \(f\)，\(f^{-1}(U)\) 是 \(Y\) 中开集当且仅当 \(f^{-1}(i_A^{-1}(W)), U = W \cap A\) 是 \(Y\) 中开集。即 \(W\) 是 \(X\) 中开集。

所以 \(U\) 是 \(X\) 在 \(A\) 上的子空间拓扑的开集。

反之，若 \(U = W\cap A\)，\(W\in \mathcal{T}_X\)，则同理可知 \(U\) 是 \(A\) 中开集。

Lemma 1.126（限制值域）若 \(f:X\rightarrow Y\) 是连续函数，则 \(g_f: X\rightarrow f(X)\) 其中 \(g_f(x) = f(x), \forall x\in X\) 是连续函数。

Proof：\(f(X)\) 上的拓扑和 \(Y\) 上的拓扑相同。即 \(f(X)\) 中的开集也是 \(Y\) 中开集。

Lemma 1.127（值域延拓）若 \(f: X\rightarrow Y\) 是连续函数，\(Y\) 是 \(Z\) 的子空间，则函数 \(g: X\rightarrow Z, g(x) := f(x), \forall x\in X\) 是连续函数。

Proof：令 \(g = i_Y\circ f\) 即可。

Lemma 1.128（粘贴引理）设 \(A,B\) 是拓扑空间 \(X\) 的闭子集，\(X = A\cup B\)，且 \(f_A: A\rightarrow Y\) 和 \(f_B: B\rightarrow Y\) 是连续函数，满足

\[\forall x\in A\cap B, f_A(x) = f_B(x), \]

则函数 \(f: X\rightarrow Y\) 是连续函数

\[f(x) := \begin{cases} f_A(x), & x\in A, \\ f_B(x), & x\in B. \\ \end{cases} \]

Proof：定义 \(W = f_A(A)\cup f_B(B)\)，则对任意 \(V\subset Y\)，有

\[V = (V\cap W)\cup (V\backslash W) = (V\cap f_A(A))\cup (V\cap f_B(B))\cup (V\backslash W). \]

若 \(V\) 是 \(Y\) 中闭集，则其原像为

\[\begin{aligned} f^{-1}(V) &= f^{-1}(V\cap f_A(A))\cup f^{-1}(V\cap f_B(B)) \\ &= f_A^{-1}(V\cap f_A(A))\cup f_B^{-1}(V\cap f_B(B)) \\ &= g_A^{-1}(V\cap f_A(A))\cup g_B^{-1}(V\cap f_B(B)) \end{aligned} \]

其中，\(g_A, g_B\) 如 Lemma 1.126 定义。又因为

• \(V\) 是闭集，故 Lemma 1.118 表明 \(V\cap f_A(A)\) 和 \(V\cap f_B(B)\) 分别是 \(f_A(A)\) 和 \(f_B(B)\) 中闭集；
• 由 Lemma 1.126，\(g_A, g_B\) 连续，故 \(g_A^{-1}(V\cap f_A(A))\) 和 \(g_B^{-1}(V\cap f_B(B))\) 分别在 \(A\) 和 \(B\) 中连续；
• 由 Corollary 1.119，两个集合都是 \(X\) 中闭集。

因此闭集的原像是闭集，即 \(f\) 连续。

Exercise 1.129 证明当 \(A,B\) 非闭时，Lemma 1.128 不成立。

Proof：考虑 \(X = [0,1],A=[0,\frac 12],B=(\frac 12,1]\)，\(f_A(x) = 0, f_B(x) = 1\)，则 \(f\) 不连续。

Exercise 1.130 给出并证明开集形式的粘贴引理。

Formula：设 \(A,B\) 是拓扑空间 \(X\) 的开子集，\(X = A\cup B\)，且 \(f_A: A\rightarrow Y\) 和 \(f_B: B\rightarrow Y\) 是连续函数，满足

\[\forall x\in A\cap B, f_A(x) = f_B(x), \]

则函数 \(f: X\rightarrow Y\) 是连续函数

\[f(x) := \begin{cases} f_A(x), & x\in A, \\ f_B(x), & x\in B. \\ \end{cases} \]

Proof：开集对有限并和有限交也封闭。因此将 Lemma 1.128 中的“闭集”都改为“开集”即可。

Exercise 1.131 粘贴引理在复分析中对应的定理？

Formula：对应复解析函数的解析延拓定理。

Definition 1.132（定义域的延拓）给定 \(A\subset X\) 和函数 \(f: A\rightarrow Y\)。称函数 \(F: X\rightarrow Y\) 是 \(f\) 的延拓如果 \(F|_A = f\)。

1.2.3 同胚

Definition 1.133（同胚）称 \(f: X\rightarrow Y\) 是拓扑空间 \(X\) 与 \(Y\) 的同胚如果 \(f\) 是双射且 \(f\) 和 \(f^{-1}\) 均连续。此时称 \(X\) 和 \(Y\) 同胚或拓扑等价，记作 \(X\approx Y\)。

Lemma 1.134 若两个拓扑空间 \(X\) 和 \(Y\) 同胚，则

\[\forall a\in X, \exists b\in Y, s.t. X\backslash \{a\}\approx Y\backslash \{b\}. \]

Exercise 1.135 证明函数 \(f: \{A,B\}\rightarrow \{C\}, f(A) = f(B) = C\) 连续但不是同胚。因此同胚的一个必要条件是连通分量数相等。

Proof：\(f^{-1}\) 不存在，因此 \(f\) 不是同胚。

Example 1.136 设 \(X\) 是字母“T”形，\(Y\) 是直线段，则 \(X,Y\) 不同胚。因为删去 \(X\) 的交叉点会产生三个连通分量而删去 \(Y\) 的任意一个点都只会产生两个连通分量。

Exercise 1.138 考虑恒等映射 \(f = \text{Id}_X: (X,\mathcal{T})\rightarrow (X,\kappa)\)，\(\kappa\) 是离散拓扑，\(\mathcal{T}\) 不是。证明 \(f^{-1}\) 不连续，即 \(f\) 不是同态。

Proof：因为离散拓扑严格细于任意其他拓扑，所以存在 \(U\in \kappa\backslash \mathcal{T}\)。即 \(f^{-1}(U)\) 在 \(\mathcal{T}\) 中不是开集。因此 \(f^{-1}\) 不连续。

Exercise 1.139 给出一个 \(\mathbb{R}^2\) 中的例子证明连续双射 \(f: X\rightarrow Y\) 不一定是同胚。

Proof：令 \(X = [0,2\pi), Y = \mathbb{R}^2, f(x) = (\cos x,\sin x)\)，则 \(f\) 是连续双射，但因为 \(f^{-1}\) 不连续，所以 \(f\) 不是同胚。

Exercise 1.140 对连续函数 \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)，定义 \(g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2, g(x) = (x,f(x))\)，证明 \(g\) 是连续函数，且 \(g\) 的像（即函数的图像）与 \(\mathbb{R}\) 同胚。

Proof：因为 \(\text{Id}_\mathbb{R}\) 和 \(f\) 都是连续函数，所以 \(g = \text{Id}\times f\) 是连续函数。

取 \(g(\mathbb{R})\) 的拓扑为 \(\mathbb{R}^2\) 的子拓扑，则对任意开集 \(U\subset \mathbb{R}\)，\(f(U) = (U\times \mathbb{R})\cap g(\mathbb{R})\) 为相对开集。因此 \(g^{-1}\) 连续。即 \(g\) 是同胚。

Lemma 1.141 任意长度非零的闭区间都是同胚的。

Lemma 1.142 任意开区间（包括长度无限的区间）都是同胚的。

Lemma 1.143 开区间和闭区间不同胚。

Definition 1.144（ \(n\) 维球 \(\mathbb{S}^n\)）\(n\) 维球是 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 的子集

\[\mathbb{S}^n := \{x\in \mathbb{R}^{n+1}: \Vert x\Vert = 1\}. \]

其北极点是 \(N = (0,0,\dots,0,1)\)。

Definition 1.145（球极投影） 球极投影 \(P: \mathbb{S}^n\backslash N\rightarrow\mathbb{R}^n\) 定义为

\[P(x) := \left(\frac {x_1}{1-x_{n+1}},\frac {x_2}{1-x_{n+1}},\dots,\frac {x_n}{1-x_{n+1}}\right). \]

Lemma 1.146 球极投影是同胚映射，其逆映射为

\[P^{-1}(y) = \frac 1{1+\Vert y\Vert^2}(2y_1,2y_2,\dots,2y_n,\Vert y\Vert^2-1). \]

Exercise 1.147 证明 2 维球和空心正方体是同胚的。

Proof：令 \(f: [-1,1]^{n+1}\rightarrow \mathbb{S}^n\) 定义为

\[f(x) = \frac{x}{\Vert x\Vert} \]

则 \(f\) 是同胚。

Theorem 1.148 同胚是拓扑空间中的等价关系。

Proof：对同胚映射 \(f: (X, \mathcal{T}_X)\rightarrow (Y, \mathcal{T}_Y)\)，可以定义 \(f_{\mathcal{T}}: \mathcal{T}_X\rightarrow \mathcal{T}_Y\)，\(f_\mathcal{T}(V) := f(V)\)，则 \(f_{\mathcal{T}}\) 是双射。因此同胚形成了拓扑空间之间的等价。

Definition 1.149（嵌入）称函数 \(f:X\rightarrow Y\) 为 \(X\) 在 \(Y\) 中的嵌入如果 \(f\) 将 \(X\) 同胚映射到 \(Y\) 的子空间 \(f(X)\)。

Example 1.150 对嵌入 \(f: [0,1]\rightarrow X\)，其像称为 \(X\) 中的弧。对 \(f: \mathbb{S}^1\rightarrow X\)，其像称为 \(X\) 中的简单闭曲线。

1.3 几类拓扑空间

1.3.1 拓扑的粗细

Definition 1.151（粗细）设 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T'}\) 是 \(X\) 上的两个拓扑空间。若 \(\mathcal{T}'\supset \mathcal{T}\)，则称 \(\mathcal{T'}\) 细于 \(\mathcal{T}\) 或 \(\mathcal{T}\) 粗于 \(\mathcal{T'}\)。此时也称 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T'}\) 是可比较的。

Lemma 1.152 设 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{B'}\) 是 \(X\) 上的拓扑 \(\mathcal{T,T'}\) 的基，则 \(\mathcal{T'}\) 细于 \(\mathcal{T}\) 当且仅当

\[\forall x\in X, \forall B\in \mathcal{B}, \exists B'\in \mathcal{B'} s.t. x\in B'\subset B. \]

Proof：充分性：显然 \(U\in \mathcal{T}\Rightarrow U = \cup_xB'_x\in \mathcal{T'}\)。

必要性：设 \(x\in X, B\in \mathcal{B}, x\in B\)，则由 Lemma 1.31 得 \(B\) 是开集，即 \(B\in \mathcal{T}\)。

由拓扑粗细的定义得 \(B\in \mathcal{T'}\)。由 Definition 1.30 得存在 \(B'\in \mathcal{B'}\) 使得 \(x\in B'\subset B\)。

Exercise 1.153 全体非退化约当曲线的有界分量形成了一族邻域基。这族基是否细于开球形成的基？

Proof：否，这族基与开球的基是等价的。

Definition 1.154（有界补空间）\(X\) 上的有界补拓扑定义为

\[\mathcal{T} = \{U\subset X: U=\emptyset或X\backslash U有限\} \]

可数补拓扑定义为

\[\mathcal{T} = \{U\subset X: U=\emptyset或X\backslash U可数\} \]

特定点拓扑定义为

\[\mathcal{T} = \{U\subset X: U=\emptyset或p\in U\} \]

排除点拓扑定义为

\[\mathcal{T} = \{U\subset X: U=x或p\notin U\} \]

Exercise 1.155 证明上述四个空间都是拓扑。

Proof：

• 有界补拓扑：
  • 若 \(\{U_i\}\subset \mathcal{T}\)，则 \(X\backslash(\cup_iU_i) = \cap_i(X\backslash U_i)\) 有限。因此 \(\cup_iU_i\in\mathcal{T}\)。
  • 若 \(U,V\subset \mathcal{T}\)，则 \(X\backslash (U\cap V) = (X\backslash U)\cup(X\backslash V)\) 有限。因此 \(U\cap V\in \mathcal{T}\)。
• 可数补拓扑：同理。
• 特定点拓扑：
  • 若 \(\{U_i\}\subset \mathcal{T}\)，则因为 \(p\in U_i, \forall i\)，所以 \(p\in \cup_iU_i\)。
  • 若 \(U,V\subset \mathcal{T}\)，则因为 \(p\in U,p\in V\)，所以 \(p\in U\cap V\)。
• 排除点拓扑：同理。

Exercise 1.156 对三个元素的集合 \(X=\{a,b,c\}\)，列举出它的全部拓扑，重排同构的只需列举一种。

Solution：\(X\) 的拓扑有

• \(\mathcal{T_1} = \{\emptyset, \{a,b,c\}\}\)
• \(\mathcal{T_2} = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b,c\}\}\)
• \(\mathcal{T_3} = \{\emptyset, \{a,b\},\{a,b,c\}\}\)
• \(\mathcal{T_4} = \{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,b,c\}\}\)
• \(\mathcal{T_5} = \{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\}\}\)
• \(\mathcal{T_6} = \{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}\)
• \(\mathcal{T_7} = \{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}\)
• \(\mathcal{T_8} = \{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}\)

Exercise 1.157 在 Exercise 1.156 中，哪个拓扑有异于自己的基？

Solution：拓扑 \(\mathcal{T_4,T_6,T_7,T_8}\) 都有异于自己的基。

Exercise 1.158 定义有向图 \(G = (V,E)\) 其中 \(V\) 是 Exercise 1.156 的全体拓扑，\(E\) 包含边 \(\mathcal{T_1}\rightarrow \mathcal{T_2}\) 当且仅当 \(\mathcal{T_2}\) 严格细于 \(\mathcal{T_1}\)。画出 \(G\)。

Solution：

Definition 1.159（下界拓扑）\(\mathbb{R}\) 上的下界拓扑 \(\mathcal{T}_\ell\) 是由全体形如 \([a,b), a<b\) 的半开区间生成的。在 \(\mathbb{R}\) 上赋予下界拓扑的空间记为 \(\mathbb{R}_\ell\)。

Definition 1.160（\(K\)-拓扑）\(\mathbb{R}\) 上的 \(K\)-拓扑 \(\mathcal{T}_K\) 是由全体形如 \((a,b)\) 的开区间和形如 \((a,b)\backslash K, K=\{\frac 1n: n\in \mathbb{N}\}\) 的集合形成的。在 \(\mathbb{R}\) 上赋予 \(K\)-拓扑的空间记为 \(\mathbb{R}_K\)。

Lemma 1.161 拓扑 \(\mathbb{R}_\ell\) 和 \(\mathbb{R}_K\) 都严格细于 \(\mathbb{R}\) 上的标准拓扑，但互相不可比较。

Proof：对任意 \(x\in (a,b)\)，总有 \([x,b)\in \mathcal{T}_\ell\) 和 \((a,b)\in \mathcal{T}_K\)，因此 \(\mathbb{R}_\ell\) 和 \(\mathbb{R}_K\) 都细于 \(\mathbb{R}\)。

另一方面，对任意 \(x\in \mathbb{R}\) 和邻域 \([x,b)\in \mathbb{R}_l\)，不存在标准拓扑上的开区间包含 \(x\) 且是 \([x,b)\) 的子区间；

对 \(0\in \mathbb{R}, B_K = (-1,1)\backslash K\)，不存在标准拓扑上的开区间包含 \(0\) 且是 \(B_K\) 子集的开区间。

因此 \(\mathbb{R}_l\) 和 \(\mathbb{R}_K\) 都严格细于 \(\mathbb{R}\)。

下证 \(\mathbb{R}_l\) 和 \(\mathbb{R}_K\) 不可比较。

对任意 \(x\in \mathbb{R}\) 和邻域 \([x,b)\in \mathbb{R}_l\)，不存在 \(\mathbb{R}_K\) 上的开区间包含 \(x\) 且是 \([x,b)\) 的子区间；

对 \(0\in \mathbb{R}, B_K = (-1,1)\backslash K\)，不存在半开区间包含 \(0\) 且是 \(B_K\) 子集的开区间。

Exercise 1.162 \(\mathbb{R}^2\) 上由开球生成的拓扑空间和由开正方形生成的拓扑空间是相同的。

Proof：对任意 \(x\in \mathbb{R}^2,r>0\)，均有 \([x-\frac r2,x+\frac r2]\times [x-\frac r2,x+\frac r2] \subset B(x,r)\)；

对任意 \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)，均有 \(B((\frac{a+b}2,\frac{c+d}2),\min\{\frac {b-a}2,\frac{d-c}2\})\subset [a,b]\times [c,d]\)。

Exercise 1.163 证明集族

\[\mathcal{C} = \{[a,b): a<b, a,b\in\mathbb{Q}\} \]

是一族拓扑基，且生成的拓扑 \(\mathcal{T}_\mathbb{Q}\) 异于下限拓扑 \(\mathcal{T}_\ell\)。

Proof：设 \(r\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)，则 \(r\in [r,r+1)\)。不存在 \(\mathcal{T}_\mathbb{Q}\) 中的包含 \(r\) 且包含于 \([r,r+1)\) 的半开区间。

1.3.2 序拓扑

Definition 1.164 设 \(X\) 是一族元素个数多于 1 的全序集，\(\mathcal{B}\) 是一族满足下列条件的集合：

• 所有开区间 \((a,b)\in \mathcal{B}\)；
• 设 \(a_0\) 是最小的元素（如果存在），则所有半开区间 \([a_0,b)\in \mathcal{B}\)；
• 设 \(b_0\) 是最大的元素（如果存在），则所有半开区间 \((a,b_0]\in \mathcal{B}\)。

Exercise 1.165 证明 Definition 1.164 中的 \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 上的拓扑基。

Proof：对任意 \(x\in X\)，若 \(x\) 是最小元 \(a_0\)，则存在 \(a_0\in [a_0,b)\in \mathcal{B}\)；若 \(x\) 是最大元 \(b_0\)，则存在 \(b_0\in (a,b_0]\in \mathcal{B}\)。否则，存在前驱元素 \(x^-<x\) 和后继元素 \(x^+>x\) 满足 \(x\in (x^-,x^+)\)。因此 \(\cup_\mathcal{B} = X\)。

对任意 \(x\in (a,b)\cap (c,d)\)，存在 \(x\in(c,\min\{b,d\})\in \mathcal{B}\)。

因此 \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 的拓扑基。

Example 1.166 Definition 1.37 中定义的标准拓扑就是序拓扑。

Definition 1.167（字典序）\(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\) 上的字典序定义为

\[(a,b) < (c,d) \Leftrightarrow a<c\lor (a=c,b<d) \]

Example 1.168 字典序拓扑 \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\) 上的一族基为 Definition 1.164(1) 定义的所有开区间。

Example 1.169 正整数集 \(\mathbb{Z}^+\) 的序拓扑和离散拓扑是相同的。

Exercise 1.170 证明由 \(X = \{1,2\}\times \mathbb{Z}^+\) 上的字典序生成的拓扑和离散拓扑不同。

Proof：\(\{1\}\times \mathbb{Z}^+\in \kappa_X\) 不是字典序拓扑的开集。

Exercise 1.171 证明 Definition 1.164 不能推广到偏序集。

Proof：对偏序集，因为某些元素无法比较，所以无法定义开区间。

Definition 1.172 设 \(X\) 是全序集，\(a\in X\)，定义以 \(a\) 为端点的射线为

• \((a,+\infty) := \{x: x>a\}\)
• \((-\infty, a) := \{x: x<a\}\)
• \([a,+\infty) := \{x: x\geq a\}\)
• \((-\infty,a] := \{x: x\leq a\}\)

Exercise 1.173 证明开射线形成了 \(X\) 的全序拓扑的一族基。

Proof：注意到 \((a,b) = (a,+\infty)\cap (-\infty, b)\)。

Definition 1.174（有序正方形）字典序拓扑下的集合 \([0,1]\times [0,1]\) 称为有序正方形，记为 \(I_o^2\)。

1.3.3 积拓扑

Definition 1.175（积拓扑） 设 \(X\) 和 \(Y\) 是拓扑空间，则 \(X\times Y\) 上的积拓扑定义为由基

\[\overline{\gamma}_{X\times Y} := \{B_1\times B_2: B_1\in \mathcal{T}_X, B_2\in \mathcal{T}_Y\}, \]

其中 \(\mathcal{T}_X, \mathcal{T}_Y\) 分别为 \(X\) 和 \(Y\) 上的拓扑。

Exercise 1.176 证明 \(\overline{\gamma}_{X\times Y}\) 是一族拓扑基。

Proof：因为 \(X\times Y\in \overline{\gamma}_{X\times Y}\)，所以 \(\cup_{\gamma} (B_1\times B_2) = X\times Y\)。

对任意 \(B_1,B_1'\in \mathcal{T}_X\)，\(B_2,B_2'\in \mathcal{T}_Y\)，由拓扑的性质，\(B_1\cap B_1'\in \mathcal{T}_X, B_2\cap B_2'\in \mathcal{T}_Y\)。因此 \((B_1\cap B_1')\times (B_2\cap B_2')\in \overline{\gamma}_{X\times Y}\)。

所以 \(\overline{\gamma}_{X\times Y}\) 是一族拓扑基。

Exercise 1.177 给出一个 \(\overline{\gamma}_{X\times Y}\) 不是拓扑的例子。

Solution：考虑 \(\mathbb{R}\) 上的标准拓扑，则 \((0,1)^2\cup (1,2)^2\) 是 \(\overline{\gamma}_{\mathbb{R\times R}}\) 上的开集之并但不在 \(\overline{\gamma}_{\mathbb{R\times R}}\) 中。

Exercise 1.178 两个 Hausdorff 空间 \(X\times Y\) 的乘积是 Hausdorff 的。

Proof：设 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X\times Y\)，则 \(x_1\neq x_2\) 或 \(y_1\neq y_2\)，存在开集 \(U_1,U_2\subset X\) 使得 \(x_1\in U_1,x_2\in U_2,U_1\cap U_2 = \emptyset\)。取 \(U_1\times Y,U_2\times Y\in \mathcal{T}_{X\times Y}\)，则 \((U_1\times Y)\cap (U_2\times Y) = \emptyset\)。故 \(X\times Y\) 是 Hausdorff 的。

Theorem 1.179 设 \(X\) 和 \(Y\) 是拓扑空间且拓扑基分别为 \(\gamma_X\) 和 \(\gamma_Y\)，则集合

\[\gamma_{X\times Y} = \{B_1\times B_2: B_1\in \gamma_X, B_2\in \gamma_Y\} \]

是 \(X\times Y\) 的一族拓扑基。

Proof：同 1.176，trival。

Definition 1.180（投影）函数 \(\pi_1: X\times Y\) 和 \(\pi_2: X\times Y\) 定义为

\[\pi_1(x,y) = x, \pi_2(x,y) = y \]

称为 \(X\times Y\) 到它的第一个和第二个因子空间的投影。

Lemma 1.181 \(X\times Y\) 的乘积拓扑和由拓扑基

\[\mathcal{S} := \{\pi_1^{-1}(U): U\in \mathcal{T}_X\}\cup\{\pi_2^{-1}(V): V\in \mathcal{T}_Y\} \]

生成的拓扑是等价的。

Proof：令 \(\mathcal{T}\) 为 Definition 1.175 生成的拓扑，\(\mathcal{T'}\) 为 \(\mathcal{S}\) 生成的拓扑。

因为 \(\mathcal{S}\) 中的元素都属于 \(\mathcal{T}\)，所以 \(\mathcal{T'}\subset \mathcal{T}\)。

又因为对任意 \(B_1\subset X, B_2\subset Y, B_1\times B_2 = \pi_1^{-1}(B_1)\cap \pi_2^{-1}(B_2)\in \mathcal{T'}\)，所以 \(\mathcal{T}\subset \mathcal{T'}\)。

Corollary 1.182 Definition 1.180 定义的投影（相对积拓扑）是连续函数。

Proof：考虑 \(\pi_1: X\times Y\rightarrow X\)。对任意开集 \(U\in \mathcal{T}_X\)，由 Lemma 1.181 和 Definition 1.59，\(\pi_1^{-1}(U) = U\times Y\) 是 \(X\times Y\) 中开集。

Theorem 1.183（映射的乘积）给定 \(f_1: A\times X, f_2: A\times Y\)，定义 \(f: A\rightarrow X\times Y\) 为

\[f(a) := (f_1(a), f_2(a)), \]

\(f\) 是连续函数当且仅当 \(f_1\) 和 \(f_2\) 都连续。

Proof：若 \(f\) 连续，因为 \(f_1 = \pi_1\circ f, f_2 = \pi_2\circ f\)，所以 \(f_1,f_2\) 连续。

反之，需要证明若 \(U\times V\) 是开集则 \(f^{-1}(U\times V)\) 是开集。

由 Definition 1.175，\(U\times V\in \mathcal{B}_{X\times Y}\) 可推知 \(U\in \mathcal{T}_X,V\in \mathcal{T}_Y\)。

由 Definition 1.49，当且仅当 \(f(a)\in U\times V\)，即 \(f_1(a)\in U, f_2(a)\in V\)。因此有

\[f^{-1}(U\times V) = f_1^{-1}(U)\cap f_2^{-1}(V). \]

因为 \(f_1\) 和 \(f_2\) 连续，所以 \(f^{-1}(U\times V)\) 是开集。

Example 1.184 参数化曲线 \(\gamma(t) = (x(t),y(t))\) 连续当且仅当 \(x\) 和 \(y\) 连续。