Description
你需要维护 \(n\) 个可重整数集，集合的编号从 \(1\) 到 \(n\)。
这些集合初始都是空集，有 \(m\) 个操作：
1 l r c：表示将 \(c\) 加入到编号在 \([l,r]\) 内的集合中2 l r c：表示查询编号在 \([l,r]\) 内的集合的并集中，第 \(c\) 大的数是多少。
注意可重集的并是不去除重复元素的，如 \(\{1,1,4\}\cup\{5,1,4\}=\{1,1,4,5,1,4\}\)。
\(1 \le n,m \le 5\times 10^4\)。
Solution
这里考虑一个在线做法。
首先显然需要用到树套树。由于树套树不能下传标记，所以考虑标记永久化。
具体地，对于这 \(n\) 个可重集维护一颗线段树，在线段树上的每个节点 \([l,r]\) 都维护一个值域线段树，表示在 \([l,r]\) 上每个修改的数打的标记的次数。
那么可以得到一个做法：修改时先在修改区间 \([l,r]\) 所有线段树每个分拆区间上打一次标记。查询时则把询问区间 \([L,R]\) 的所有分拆区间的祖先节点（包括自己） \([l_0,r_0]\) 加入 vector，权值为 \(\min(R,r_0)-\max(L,l_0)+1\)，然后在这 \(O(\log n)\) 个值域线段树上二分。
但是这么做是不对的，因为询问时的分拆区间 \([l_0,r_0]\) 的子树内（去除自己）的标记是没有算到的，而这些没有算到的标记的权值均为其所在节点的区间长度，所以还需要维护第二个树套树，表示每个节点 \([l,r]\) 子树内的标记对 \([l,r]\) 的贡献，这个在修改时维护即可。
具体见代码。
时间复杂度：\(O(m\log^2n)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>// #define int int64_tconst int kMaxN = 5e4 + 5, kMaxT = 2e7 + 5;struct Node {int ls, rs, cnt;
} t[kMaxT];int n, m, sgt_cnt;
int rt1[kMaxN * 4], rt2[kMaxN * 4];void update(int &x, int l, int r, int ql, int v) {if (!x) x = ++sgt_cnt;t[x].cnt += v;if (l == r) return;int mid = (l + r) >> 1;if (ql <= mid) update(t[x].ls, l, mid, ql, v);else update(t[x].rs, mid + 1, r, ql, v);
}void update_arr(int x, int l, int r, int ql, int qr, int c) {if (l > qr || r < ql) return;if (l >= ql && r <= qr) {update(rt1[x], -n, n, c, 1);return;}update(rt2[x], -n, n, c, std::min(r, qr) - std::max(l, ql) + 1);int mid = (l + r) >> 1;update_arr(x << 1, l, mid, ql, qr, c), update_arr(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, c);
}void getpos(int x, int l, int r, int ql, int qr, std::vector<std::pair<int, int>> &vec) {if (l > qr || r < ql) return;if (rt1[x]) vec.emplace_back(rt1[x], std::min(r, qr) - std::max(l, ql) + 1);if (l >= ql && r <= qr) {if (rt2[x]) vec.emplace_back(rt2[x], 1);return;}int mid = (l + r) >> 1;getpos(x << 1, l, mid, ql, qr, vec), getpos(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, vec);
}int query(int l, int r, int64_t c) {std::vector<std::pair<int, int>> vec;getpos(1, 1, n, l, r, vec);int L = -n, R = n;for (; L != R;) {int mid = (L + R) >> 1;int64_t crs = 0;for (auto [x, w] : vec) crs += 1ll * w * t[t[x].rs].cnt;if (c <= crs) {L = mid + 1;for (auto &[x, w] : vec) x = t[x].rs;} else {c -= crs, R = mid;for (auto &[x, w] : vec) x = t[x].ls;}}return L;
}void dickdreamer() {std::cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; ++i) {int op, l, r; int64_t c;std::cin >> op >> l >> r >> c;if (op == 1) update_arr(1, 1, n, l, r, c);else std::cout << query(l, r, c) << '\n';}
}int32_t main() {
#ifdef ORZXKRfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifstd::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);int T = 1;// std::cin >> T;while (T--) dickdreamer();// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";return 0;
}
