金明的预算方案【NOIP2006提高组】
分析
该问题属于带有依赖关系的背包问题，主件和附件的购买必须满足先决条件。每个主件最多有两个附件，购买附件前必须先购买对应的主件。我们需要在总预算内最大化物品的价值总和（价格乘以重要度）。
步骤分析：
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数据存储： 将每个主件及其附件的信息分别存储。主件的价格和重要度存储在数组
v[i][0]和p[i][0]中，附件存储在对应的v[i][1]、p[i][1]和v[i][2]、p[i][2]中。 -
动态规划： 使用二维数组
f[i][j]表示前i个物品在预算j时的最大价值。对于每个主件，考虑四种购买组合：仅主件、主件 + 附件1、主件 + 附件2、主件 + 两个附件。更新动态规划数组时，取这些组合中的最大值。 -
转移方程： 对于每个主件
i，遍历所有可能的预算j，检查四种组合是否可行，并更新最大价值。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, m, v1, p1, q1;
int v[65][3], p[65][3]; // 主件i的附件价格和重要度
int f[65][32005]; // DP数组int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++) {cin >> v1 >> p1 >> q1;if (q1) { // 附件// 找到对应的主件q1，将附件添加到其列表中if (v[q1][1]) { // 如果第一个附件位置已占，放第二个v[q1][2] = v1;p[q1][2] = p1;} else { // 否则放第一个v[q1][1] = v1;p[q1][1] = p1;}} else { // 主件v[i][0] = v1;p[i][0] = p1;}}// 动态规划处理for (int i = 1; i <= m; i++) { // 遍历所有物品，视为可能的主件for (int j = 0; j <= n; j++) {f[i][j] = f[i-1][j]; // 不选当前主件i// 检查四种组合是否可行，并更新最大值if (v[i][0] <= j) { // 仅主件f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i][0]] + v[i][0] * p[i][0]);}if (v[i][0] + v[i][1] <= j) { // 主件+附件1f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i][0] - v[i][1]] + v[i][0] * p[i][0] + v[i][1] * p[i][1]);}if (v[i][0] + v[i][2] <= j) { // 主件+附件2f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i][0] - v[i][2]] + v[i][0] * p[i][0] + v[i][2] * p[i][2]);}if (v[i][0] + v[i][1] + v[i][2] <= j) { // 主件+两个附件f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i][0] - v[i][1] - v[i][2]] + v[i][0] * p[i][0] + v[i][1] * p[i][1] + v[i][2] * p[i][2]);}}}cout << f[m][n]; // 输出最大价值return 0;
}
解释
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输入处理： 读取物品信息，将主件存入对应位置，附件添加到所属主件的附件列表中。
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动态规划初始化： 初始时没有购买任何物品，价值为
0。 -
状态转移： 对于每个物品
i（视为可能的主件），遍历预算j，尝试四种购买组合，更新最大价值。 -
结果输出： 最终结果为处理完所有物品后的最大价值
f[m][n]。
总结
该解法通过动态规划处理主件及其附件的组合购买情况，确保在预算内获得最大价值。每个主件的四种购买组合被逐一检查并更新最优解，最终结果正确且高效。
