XN2025 集训记录 D6

news/2025/4/2 6:09:37/文章来源:https://www.cnblogs.com/youlv/p/18796884

XN2025 集训记录 D6

今天西安也降温了 , 一晚上没睡好 , 做了能有三四个梦 . 梦到自己去神秘巨大建筑群集训 , 找不到同桌还没找明白房间 . . . 这都啥跟啥 .

但是梦到的场景还挺艺术的 , 而且阈限空间感没那么强 , 甚至可以说是感觉基本上都不是非欧空间 , 大概就是地面上是极大面积建筑相连 , 非常洁净 , 是全包围室内但是天花板非常高 . 有大量人工造景 , 都偏现代风格 , 而且非常洁净 . 照明是暖色 , 整体不算很明亮 , 但是感觉比较舒适 .

而功能性的房间全都通过比较窄 , 没有窗户 , 有包裹感的走廊以及电梯连接 , 整体为偏古典风格 , 很明亮很温暖的风格 .

唉回味一下还是太艺术了 .

~~一晚上大脑全用来渲染了 , 起床就头疼~~

水题场

但是因为晚上没睡好然后直冲 T3 导致 T1 T2 俩更水的东西摆了 . 最后写不完了 . 我的 AK 场啊呜呜呜

模拟赛184/300 还是感谢出题人照顾我的水平拿水题组的模拟赛 .

T1 题意

CF1469F

初始有一个根节点 , 以及 $n$ 条链 , 每条链点数为 $a_i$ . 初始每个点 $tag_i=1$ , 可以进行若干次如下操作 :

选择两个点 $u,v$ , 要求 $tag_u=tag_v=1$ . 加边 $(u,v)$ 并把 $tag_u\gets 1,tag_v\gets 1$

任意操作若干次 , 最小化所有 $tag=0$ 的点中 , 与 $rt$ 距离第 $k$ 大 , 或者在不能产生第 $k$ 大的点时输出 inf.

T1 题解

无解可以直接特判 .

通过简单手玩 , 发现这个里面我们不太关心具体连成的图的形态 , 而是关心当前所有点与 $rt$ 的 $dis$ .

考虑维护当前所有 $tag=0$ 且与 $rt$ 联通的点 , 并且尝试逐一把链加到连通块上 . 这个操作相当于在可用点集中选出一个 $dis_u$ , 把它从集合中删除 , 然后在链上找一个位置 $v$ , 把链上除 $v$ 之外的点的 $dis$ 计算出来加入集合 .

这里能观察出一些结论 :

链上选的位置 $v$ 一定是链中点最优 .

考虑加入的点的 $dis$ 相当于两条公差 $d=1$ 首项 $dis_u+2$ 的等差数列 , 那么肯定是平均分配点最优 .
每次一定用当前最小 $dis_u$ 来更新最优 . 考虑删去 $dis_u$ 后至少插入一个 $dis_u+2$ .
- 如果答案 $<dis_u+2$ , 那么当前其他任何操作都不可能产生新的 $<dis_u+2$ 的数 , 因此操作前求第 $k$ 大就是答案 .
- 否则 , 只有 $<dis_u+2$ 的值域部分 , 每个位置的数可能变劣 , 其余部分全都最优 , 而 $<dis_u +2$ 的部分已经不在答案考虑范围内 , 唯一作用就是更新其他的点 , 根据贪心 , 优先选 $dis_u$ 最小的 .
一定是按 $a_i$ 从大到小插入点集最优 .

考虑调整法 , 假设 $a_i<a_j$ , 且 $i$ 比 $j$ 先插入 , 则插入时选择的 $dis_u$ 必然有 $dis_u(i)\le dis_u(j)$ 那么把 $j$ 与 $i$ 替换位置 , 原来由 $i$ 插入的 $a_i$ 个点在 $j$ 插入时也会出现 , 而 $j$ 多出的 $a_i-a_j$ 个点在没有其他额外代价的情况下 , 用了更小的 $dis_u(i)$ 来插入 , 必然不劣 .

因此只需从大到小插入 $a_i$ , 然后每次插入后查询一个第 $k$ 大即可 .

考场上脑子抽了 , 到这一步想着写个暴力得了上了个 treap 维护 . 后来一下想到这玩意直接在值域上 , 搞个动态开点的线段树不就完事了 , 当然没时间写了 .

代码实现也很简单 , 纯水题 .

T2 题意

CF1476F

有一排 $n$ 个人 , 每个人有向左右的视野 $L_i,R_i$ , 每个人可以在看 $[i-L_i,i)$ 区间和 $(i,i+R_i]$ 区间中二选一 , 要求判断能否实现 , 如果能 , 输出方案 .

T2 题解

首先考虑一下 dp , 设 $f_{i,j,k}$ 表示填考虑到前 $i$ 个人 , 前 $i$ 个人中最靠前的没覆盖到的位置是 $j$ , 向后多覆盖到了 $k$ 能否实现 .

发现这个 dp 形式非常冗余 , 考虑后面的人 $t$ 想要不上前面没覆盖的位置 $i$ , 只能选向左 , 并且一直覆盖到 $j$ , 这个过程中 , $[i+1,t-1]$ 的决策是没有意义的 , 它们完全可以全选向右 .

因此 , 我们只考虑前 $i$ 个人能覆盖多长的前缀 $f_i$ , 考虑第 $i$ 人转移 :

向右

\[f_i=\left\{\begin{matrix} f_{i-1}& ,f_{i-1}<i\\\max(f_{i-1},i+R_i)& ,f_{i-1}\ge i \end{matrix}\right. \]
向左

\[f_i\gets \max\limits _{k\in (j,i)} k+R_k (f_j\ge i) \]

因为 $f_i$ 单调不降 , 所以后一个转移可以二分实现 $O(\log n)$ 转移 .

这样就 $O(n\log n)$ 解决了这道题 .

T3 题意

CF1067D

有若干组 $(a_i,b_i,p_i)$ , 每个组有激活/未激活两种状态 , 初始分数 $score=0$ , 所有组状态都是未激活 , 执行 $T$ 轮以下操作 :

选择一组 $(a_i,b_i,p_i)$
有 $p_i$ 的概率 , 可以增加分数 : 若当前组未激活 , $score+=a_i$ , 若已激活 , $score+=b_i$ . 然后可以任选一组激活.
其余 $1-p_i$ 的概率 , 什么也不做 .

求所有可能策略中 , $score$ 期望的最大值 .

保证对于任意 $i$ , $ a_i\le b_i,p\in(0,1)$

T3 题解

首先考虑如果有一次机会来激活一个位置 , 一定是选一个 $b_i p_i$ 最大 , 即单次期望最大的位置来激活 , 然后一直选 , 设 $\max b_ip_i=W$ .

现在考虑的问题是一开始没有激活的时候选谁 , 这时会有一个矛盾在 , 就是 $a_ip_i$ 较大的可以使第一次取值最大 , 而 $p_i$ 较大则更可能进入取 $W$ 的阶段 , 因此样例里第一次取和如果第一次不成功第二次继续取 , 所取的 $i$ 不同 . 所以联想到 dp ( 同时这里已经有一个凸包的意思了 ) .

设 $f_i$ 为还剩 $i$ 轮时的最大期望 , 容易写出转移 :

\[f_{i+1}=\max( (1-p_j)\times f_i+p_j\times (a_j+iW)) \]

这样就有了暴力分 .

考虑优化这个东西 , 这个形式感觉很像凸包 , 把每一组视作一条直线 $g_j(x)=p_j x+a_jp_j$ . 考虑把转移式化成带这个函数的形式

\[f_{i+1}=\max ( f_i+a_jp_j+p_j(iW-f_i)) =\max(f_i+g_j(iW-f_i)) \]

如果建出凸包然后每部转移都二分一下 , 会有 $O(T\log n) $ 的解法 .

考虑让复杂度与 $T$ 无关 , 通过感性理解 , 容易发现 $iW-f_i$ 似乎是递增的 , 毕竟 $Wi$ 是理想情况下的最优解 , 而 $f_i$ 每向后转移一步 , 就意味着多空了一轮 . 考虑严谨证明下 : 设 $ R_i=iW-f_i$ , 则

\[R_{i+1}-R_i=W-(f_{i+1}-f_i) \]

而 $f_i$ 的单轮收益显然不大于 $W$ , 因此有单调性 .

这可以联想到二分凸包上的转折点 , 也就是通过二分 , 得到凸包上的每段线段分别对应哪些区间的转移 .

这里二分的自变量包含 $f_i$ , 所以需要把 $f_i$ 用当前直线算出来 , 考虑用矩阵快速幂优化这个过程 .

这样是 $O(n\log^2n)$ 的.