误差

误差：一个物理量的真实值与计算值之间的误差

误差来源与分类

• 模型误差：对问题所抽象出来的数学/物理模型是误差的，比如要有一些假设条件才进行理论的推导
• 观测误差：测量得到的模型的参数的值的误差
• 方法误差（截断误差）：求近似解的方法的误差
• 舍入误差：计算机字长有限，例如计算机所存储的PI值和实际的PI值之间是有误差的、浮点数误差

在使用数值方法解决问题的时候，要重点考虑方法误差和舍入误差

案例：近似计算$${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$$

【值范围估计】

【数值方法计算】

从上面可知，数值计算所得到定积分的值是0.743，且该值与原定积分值（0.747… …）的误差不超过0.006

误差的传播与积累

有一个天气预报程序，有下面两种计算方式

• 直接演算完两周的变化过程，得到最终的结果
• 先计算一周的变化过程，然后将数据存储下来，接着计算第二周的变化过程

上面两种方式得到的结果可能天差地别，因为中途将数据输出为文件时需要对数字取有限的位数，这就出现了舍入误差，这个误差随着积累越来越大，最终造成两种方式所求得的结果差异较大

对于一些病态问题，可能一开始只是有一点小误差，但是随着计算过程的积累，最后所得到的结果会有巨大的失真

案例

方法一

【算法稳定性分析】

方法二

总结

误差是不可回避的，在使用一个算法之前，需要先分析算法的稳定性

绝对误差与相对误差

绝对误差

相对误差

使用绝对误差不太容易衡量误差的大小，用相对误差转化为百分比的数更容易看出来

有效数字

有效数字位数：从小数点的最后一位开始数，数到最前面不为零的数字，如0.1的有效数字位数是1，1.1的有效数字位数是2

上面内容的数学描述如下：

案例

12300应该写成，0.12300x10^5，这样有效数字的位数才是不变的

有效数字与相对误差限

有效数字推导相对误差限

相对误差限推导有效数字

案例

函数的误差估计

案例（1）

案例（2）

算法设计的注意事项

在算法设计的时候需要考虑误差的传播和累积，在使用计算机进行实现的时候需要注意如下方面：

避免相近的两个数相减

避免分母太小（会造成浮点溢出）

尽量不要用大数除以小数，不然数字很大，计算机字长有限，舍入误差较大

避免大数吃小数

避免 大数和小数 之间 相加或者相减

求和时 从小到大 相加，可以使得 和的误差 减小

如果想用大数 加 小数，可能会出现大数吃小数的情况

先化简再计算，避免误差累积

一般来说，计算机处理下列运算的速度为 加减>乘除>exp()，可以先尽量将运算化简为 加减、乘除，再进行计算

选用稳定的算法

说明

文章为本人学习网上课程的学习笔记，课程的链接为 《数值分析》2020年春季华中科技大学研究生课程 46讲合辑，文章中大部分图片来源于课程截图，部分图片中加上了本人的理解标注，如有侵权，麻烦联系删除，最后对老师的课程表示衷心的感谢。