引言

上一节对$\text{AdaGrad}$算法进行了简单认识，本节将介绍$\text{RMSProp}$方法。

回顾：AdaGrad算法

AdaGrad算法与动量法的优化方式区别

与动量法、$\text{Nesterov}$动量法在迭代过程中对梯度方向进行优化不同，$\text{AdaGrad}$算法在迭代过程中对梯度大小(学习率)进行优化，两者优化的思路本质上存在区别。其迭代过程对比表示如下：

• 关于动量法在计算当前迭代步骤的梯度$m_t$时，使用了$m_{t-1},{\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\theta }_{t-1})$加权和(向量加法)的方式来优化$m_t$的方向;当方向固定后，在判断沿着$m_t$方向前进的步长时,仅使用了固定的学习率$\eta$作为前进步长。
• 而$\text{AdaGrad}$算法对当前时刻的梯度信息${\mathcal{G}}_t$并没有执行任何方向上的优化;在判断步长时使用$\begin{array}{r}\frac{\eta }{\sqrt{{\mathcal{R}}_t}+ϵ}\Rightarrow \eta \end{array}$执行更新操作，其本质上是向量与标量之间的乘法操作。
  $$\begin{array}{rl}& \text{Momentum : }\{\begin{array}{l}{m}_t=\beta \cdot m_{t-1}+(1-\beta )\cdot {\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\theta }_{t-1})\\ {\theta }_t={\theta }_{t-1}-\eta \cdot m_t\end{array}\\ & \text{AdaGrad : }\{\begin{array}{l}{\mathcal{G}}_t={\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\theta }_{t-1})\\ {\mathcal{R}}_t={\mathcal{R}}_{t-1}+{\mathcal{G}}_t\odot {\mathcal{G}}_t\\ \begin{array}{r}{\theta }_t={\theta }_{t-1}-\frac{\eta }{\sqrt{{\mathcal{R}}_t}+ϵ}\odot {\mathcal{G}}_t\end{array}\end{array}\end{array}$$

AdaGrad算法的缺陷

引入上一节使用$\text{AdaGrad}$算法对目标函数$f(x)=x^T\mathcal{Q}x;x=(x_1,x_2{)}^T;\mathcal{Q}=\left(\begin{array}{c}0.50\\ 020\end{array}\right)$的迭代过程：
我们能够观察到：虽然该算法在梯度较小的、平缓的倾斜方向能够稳定的前进，但是同样也会观察到：在迭代算法的中后段，算法消耗了相当多的迭代步骤，原因也很明显：此时的学习率$\eta$太小了，并且还会无限的小下去。

上述示例中的目标函数是一个强凸函数，它存在全局最优解；因此迭代的最终结果也只会趋近最优解；但如果目标函数是一个复杂函数呢$?$就像这样：
画的不太好，凑合着看~

观察上图，黄色点描述的是使用$\text{AdaGrad}$算法，权重在不同迭代步骤下的更新位置；如果该目标函数是一个简单的凸函数，它可能最终会收敛至某一点，例如红色点；但如果该函数比较复杂，在本段迭代过程之后，梯度又重新增加(图中最左侧黄点位置)那么此时的收敛速度又是什么样的呢$?$

上一节提到过：$\text{AdaGrade}$的学习率只会减小，不会增加，即便后续的梯度又重新增大，但它的学习率不会增加，只会更加缓慢地继续更新。
对应《深度学习(花书)》P188 8.5.1中的原文:从训练开始时累积梯度平方会导致有效学习率过早地、过量地减小。

之所以$\text{AdaGrad}$算法的学习率只减不增，究其原因还是：在累积平方梯度的过程中，平方梯度${\mathcal{G}}_t\odot {\mathcal{G}}_t$被完整地保存在累积梯度变量$\mathcal{R}$中。这种现象在$\text{Nesterov}$动量法中也提到过：在迭代步骤较深时，初始迭代步骤的历史平方梯度对当前步骤没有参考价值。

RMProp算法

关于AdaGrad问题的优化方式

针对上述问题，同样可以按照动量法的思路：通过指数加权移动平均法适当地丢弃遥远过去的历史平方梯度。优化后的公式表示如下：
视频中的描述(文章下方链接)$\text{33:14}$与《深度学习(花书)》中的公式关于$ϵ$的位置存在稍许不同，对比如下:
$$\begin{array}{rl}\text{AdaGrad : }& \{\begin{array}{l}{\mathcal{G}}_t={\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\theta }_{t-1})\\ {\mathcal{R}}_t={\mathcal{R}}_{t-1}+{\mathcal{G}}_t\odot {\mathcal{G}}_t\\ \begin{array}{r}{\theta }_t={\theta }_{t-1}-\frac{\eta }{\sqrt{{\mathcal{R}}_t}+ϵ}\odot {\mathcal{G}}_t\end{array}\end{array}\\ \text{Video(RMProp) : }& \{\begin{array}{l}{\mathcal{G}}_t={\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\theta }_{t-1})\\ {\mathcal{R}}_t=\beta \cdot {\mathcal{R}}_{t-1}+(1-\beta )\cdot {\mathcal{G}}_t\odot {\mathcal{G}}_t\\ \begin{array}{r}{\theta }_t={\theta }_{t-1}-\frac{\eta }{\sqrt{{\mathcal{R}}_t}+ϵ}\odot {\mathcal{G}}_t\end{array}\end{array}\\ \text{DeepLearning(RMProp) : }& \{\begin{array}{l}{\mathcal{G}}_t={\nabla }_{\theta ;t-1}\mathcal{J}({\theta }_{t-1})\\ {\mathcal{R}}_t=\beta \cdot {\mathcal{R}}_{t-1}+(1-\beta )\cdot {\mathcal{G}}_t\odot {\mathcal{G}}_t\\ \begin{array}{r}{\theta }_t={\theta }_{t-1}-\frac{\eta }{\sqrt{{\mathcal{R}}_t+ϵ}}\odot {\mathcal{G}}_t\end{array}\end{array}\end{array}$$
这种操作旨在：当执行迭代步骤时，只有之前的若干次迭代步骤对当前步骤产生影响。

RMSProp的算法过程描述

基于$\text{RMSProp}$的算法步骤表示如下：
初始化操作：

• 学习率$\eta$； 衰减因子$\beta$；
• 初始化参数$\theta$；梯度累积信息$\mathcal{R}=0$；超参数$ϵ=10^{-7}$

算法过程：

• $\text{While}$没有达到停止准则 $\text{do}$
• 从训练集$\mathcal{D}$中采集出包含$k$个样本的小批量：$\{(x^{(i)},y^{(i)}){\}}_{i=1}^k$；
• 计算当前步骤参数$\theta$的梯度信息$\mathcal{G}$：
  $$\mathcal{G}\Leftarrow \frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{\nabla }_{\theta }\mathcal{L}[f(x^{(i)};\theta ),y^{(i)}]$$
• 使用$\mathcal{R}$通过指数加权移动平均法对梯度内积$\mathcal{G}\odot \mathcal{G}$进行累积：
  $$\mathcal{R}\Leftarrow \beta \cdot \mathcal{R}+(1-\beta )\cdot \mathcal{G}\odot \mathcal{G}$$
• 计算参数$\theta$更新信息$\Delta \theta$：
  这里暂时使用《深度学习(花书)》中的描述。
  $$\Delta \theta =-\frac{\eta }{\sqrt{{\mathcal{R}}_t+ϵ}}\cdot \mathcal{G}$$
• 应用更新：
  $$\theta \Leftarrow \theta +\Delta \theta$$
• $\text{End While}$

RMSProp示例代码

将$\text{RMSProp}$算法与$\text{AdaGrad}$算法进行对比，对应代码表示如下：

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdmdef f(x, y):return 0.5 * (x ** 2) + 20 * (y ** 2)def ConTourFunction(x, Contour):return math.sqrt(0.05 * (Contour - (0.5 * (x ** 2))))def Derfx(x):return xdef Derfy(y):return 40 * ydef DrawBackGround(ax,Idx):ContourList = [0.2, 1.0, 4.0, 8.0, 16.0, 32.0]LimitParameter = 0.0001for Contour in ContourList:# 设置范围时，需要满足x的定义域描述。x = np.linspace(-1 * math.sqrt(2 * Contour) + LimitParameter, math.sqrt(2 * Contour) - LimitParameter, 200)y1 = [ConTourFunction(i, Contour) for i in x]y2 = [-1 * j for j in y1]ax[Idx].plot(x, y1, '--', c="tab:blue")ax[Idx].plot(x, y2, '--', c="tab:blue")def Process(mode):assert mode in ["AdaGrad","RMSProp"]Start = (8.0, 1.0)LocList = list()LocList.append(Start)Eta = 0.2Beta = 0.8Epsilon = 0.0000001R = 0.0Delta = 0.1while True:DerStart = (Derfx(Start[0]), Derfy(Start[1]))InnerProduct = (DerStart[0] ** 2) + (DerStart[1] ** 2)if mode == "AdaGrad":R += InnerProductelse:DecayR = R * BetaR = DecayR + ((1.0 - Beta) * InnerProduct)UpdateEta = -1 * (Eta / (Epsilon + math.sqrt(R)))UpdateMessage = (UpdateEta * DerStart[0], UpdateEta * DerStart[1])Next = (Start[0] + UpdateMessage[0], Start[1] + UpdateMessage[1])DerNext = (Derfx(Next[0]), Derfy(Next[1]))# 这里终止条件使用梯度向量的模接近于Delta，一个很小的正值;if math.sqrt((DerNext[0] ** 2) + (DerNext[1] ** 2)) < Delta:breakelse:LocList.append(Next)Start = Nextreturn LocListdef DrawPicture():AdaGradLocList = Process(mode="AdaGrad")RMSPropLocList = Process(mode="RMSProp")fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 6))AdaGradplotList = list()ax[0].set_title("AdaGrad")DrawBackGround(ax,Idx=0)for (x, y) in tqdm(AdaGradLocList):AdaGradplotList.append((x, y))ax[0].scatter(x, y, s=30, facecolor="none", edgecolors="tab:orange", marker='o')if len(AdaGradplotList) < 2:continueelse:ax[0].plot([AdaGradplotList[0][0], AdaGradplotList[1][0]], [AdaGradplotList[0][1], AdaGradplotList[1][1]], c="tab:orange")AdaGradplotList.pop(0)RMSPropplotList = list()ax[1].set_title("RMSProp")DrawBackGround(ax, Idx=1)for (x, y) in tqdm(RMSPropLocList):RMSPropplotList.append((x, y))ax[1].scatter(x, y, s=30, facecolor="none", edgecolors="tab:red", marker='o')if len(RMSPropplotList) < 2:continueelse:ax[1].plot([RMSPropplotList[0][0], RMSPropplotList[1][0]], [RMSPropplotList[0][1], RMSPropplotList[1][1]], c="tab:red")RMSPropplotList.pop(0)plt.show()if __name__ == '__main__':DrawPicture()

对应图像结果表示如下：

对比图像可以看出：关于$\text{RMSProp}$的迭代步骤明显少于$\text{AdaGrad}$。
回头再次观察$\text{RMSProp}$迭代公式，可以发现：虽然$\text{RMSprop}$算法对$\text{AdaGrad}$进行了改进，但其本质上依然是对梯度的大小(学习率)进行优化。下一节我们将对$\text{RMSProp}$进行延伸——从梯度方向、梯度大小(学习率)两个角度同时对梯度进行优化。
即使用$\text{Nesterov}$动量的$\text{RMSProp}$算法。

$\text{Reference}$
“随机梯度下降、牛顿法、动量法、Nesterov、AdaGrad、RMSprop、Adam”，打包理解对梯度下降的优化
《深度学习(花书)》$\text{P188 8.5.2 RMSProp}$