回溯法（2）--图着色问题和旅行商问题-编程知识

一、图着色问题

1、算法设计

2、代码

二、旅行商问题

1、概述问题

2、穷举法

3、回溯法

一、图着色问题

1、算法设计

图着色问题，给定图中各个区域的相邻关系，抽象成一个无向图G=（V,E），给定m种颜色，可以选择一个颜色可以对每一个区域（无向图的顶点）进行着色，但需要保证相邻区域之间不能颜色相同，如下图的无向图表示。

无向图采用建立邻接矩阵a[ ][ ]来表示。注意：i和j都是从1开始的，而不是0开始的，所以邻接矩阵的0行0列，设定为-1，表示不存在。

$a[i][j]=\left\{\begin{matrix} 1 \qquad (i,j)\in E\\ 0 \qquad \quad others \end{matrix}\right.$

算法：回溯法，子集树方法。

backtrack回溯过程：

（1）首先判断是否叶子结点已经搜索，即t>n，若满足条件，则输出当前着色方法，sum++。

（2）若不满足条件，则在当前层遍历m种颜色，若该颜色满足扩展条件，则扩展该叶子结点搜索下一层，否则选择下一个颜色，直到所有颜色都不满足条件则回溯上一层。

（3）扩展条件：遍历n个结点，若结点与叶子结点有相邻关系a[t][i]==1且叶子结点和该遍历的结点颜色相同x[t]==x[i]，则返回false，否则存在一个结点有相邻关系且颜色不同，返回true用来做新的扩展结点。

（4）另外，判断(t<=n)&&x[t]==m，如果当前层数不在叶子结点层（第n层），且该层修改的颜色值为最后一个颜色（由于颜色按顺序遍历），则颜色置0，退出当前迭代层，返回上一层。也就是说当前叶子结点的所有子树都搜索过了，该结点变为死结点，要么返回到该叶子结点的邻树，要么返回叶结点上一层。

2、代码

//图着色问题
public class graphcoloration {static int n=5;          //顶点数static int m=3;          //颜色数static int a[][]={         //邻接矩阵{-1,-1,-1,-1,-1,-1},{-1,0,1,1,1,0},{-1,1,0,1,0,1},{-1,1,1,0,1,1},{-1,1,0,1,0,1},{-1,0,1,1,1,0}};   //-1是不存在0点，0是不可达static int sum=0;                   //可行解public static void main(String[] args){int x[]=new int[n+1];           //x存储可达的路线backtrack(1, x);                //初始节点在第一层System.out.println(sum);        //输出有多少种可行解}public static void backtrack(int t,int x[]){if(t>n){    sum++;for(int i=1;i<=n;i++){System.out.print(x[i]+" ");}System.out.println();}else{for(int i=1;i<=m;i++){x[t]=i;if(OK(t,x))                       //如果满足扩展条件则扩展backtrack(t+1, x);if((t<=n)&&x[t]==m)               //如果当前层数不在叶子结点，且该层修改的数为最后一个颜色，则颜色置0，退出当前迭代层                              {   x[t]=0;break;}}}}public static boolean OK(int t,int x[]){for(int i=1;i<=n;i++){if((a[t][i]==1)&&x[t]==x[i])        //判断所有相邻关系中颜色相同的返回falsereturn false;}return true;                            //留下的都是存在相邻关系且颜色不同的返回true}
}

二、旅行商问题

1、概述问题

一个旅行商希望从一个城市出发访问n个城市，每个城市只能访问一次，且开始和结束在同一城市，给出一个不同城市之间距离的加权完全图，请设计一个算法，找到旅行商的最短路径。也就是图论中的求出最小的哈密顿回路。

下面的算法依照下图为例，出发为a点。

2、穷举法

穷举法就是求所有a为出发点，a为终点的全排列。

全排列算法：

（1）全排列算法使用递归算法，如果迭代到最后一层，则计算当前路线的加权和（注意第一个值不用进行全排列，因为初始点不动），minl存放加权和最小的值。

（2）若没有迭代到最后一层，则遍历k<=i<=n，k为当前全排列迭代的层数，交换op[i]和op[k]，继续排列k+1层，再交换op[i]和op[k]，保证对后续没有影响。

代码如下：

//旅行商问题
public class tsp {public static final int MAX=9999;public static int[][] a={{MAX,MAX,MAX,MAX,MAX},{MAX,MAX,2,5,8},{MAX,2,MAX,7,3},{MAX,5,7,MAX,1},{MAX,8,3,1,MAX},};public static int n=4;public static int minl=999;public static void main(String []args){int op[]=new int[n+1];for(int i=1;i<=n;i++)op[i]=i;perm(2,op);System.out.println(minl);} //全排列算法public static void perm(int k,int op[]){if(k==n){  int tmp=calulate(op);minl=tmp<minl?tmp:minl;}for(int i=k;i<=n;i++){swap(i,k,op);perm(k+1,op);swap(i,k,op);}}//交换数组中元素public static void swap(int i,int k,int []op){int tmp=op[i];op[i]=op[k];op[k]=tmp;}//计算全排列后当前排列的加权和public static int calulate(int []op){int tot=0;for(int i=1;i<n;i++){tot+=a[op[i]][op[i+1]];}tot+=a[op[n]][1];return tot;}
}

3、回溯法

时间复杂度分析：对于回溯法（本质上也是穷举法）和穷举法的时间复杂度都是O（n!），所以随着城市的数量增加，计算时间指数级增长，所以对于大规模的TSP问题可以采用动态规划、启发式算法等方法，来在短时间接近最优解，但这一定不是完备的。

算法流程：

（1）首先判断是否叶子结点已经搜索，即满足k>n，则计算当前加权和，minl保存最小的加权和。

（2）若不满足，则遍历所有叶子结点，是否存在可以扩展的结点，进行扩展迭代到下一层，若没有则返回上一层。

（3）扩展条件：判断所有结点中满足a[k][i]!=MAX即待扩展节点与判断结点不可达，且x[k]==x[i]待扩展节点与判断结点相同，则不可扩展。也就是存在某一节点可以到达，且与上一个结点不同，则扩展。

//旅行商问题
public class tsp {public static final int MAX=9999;public static int[][] a={{MAX,MAX,MAX,MAX,MAX},{MAX,MAX,2,5,8},{MAX,2,MAX,7,3},{MAX,5,7,MAX,1},{MAX,8,3,1,MAX},};public static int n=4;public static int minl=999;public static void main(String []args){int op[]=new int[n+1];int x[]=new int[n+1];for(int i=1;i<=n;i++)op[i]=i;backtrack(1,x);System.out.println(minl);} //回溯法public static void backtrack(int k,int x[]){//注意这里一定要大于号，也就是已经判断好当前路径的叶子结点，再进行输出，或者替换最小值。if(k>n){int tot=0;for(int i=1;i<n;i++)tot+=a[x[i]][x[i+1]]; tot+=a[x[n]][x[1]];minl=minl<tot?minl:tot;}else{for(int i=1;i<=n;i++){x[k]=i;if(Ok(k, x))backtrack(k+1,x);}}}//判断是否能继续扩展public static boolean Ok(int k,int x[]){for(int i=1;i<=n;i++){if(a[k][i]!=MAX&&x[k]==x[i])return false;}return true;}
}