1、平面拟合

  PCA 是一种数学变换的方法，利用降维的思想在变换中保持变量的总方差不变，将给定的一组变量线性变换为另一组不相关的变量，并且使变换后的第一变量的方差最大，即第一主成分，其他分量的方差依次递减。在点云数据中的变量为三维点坐标的集合，其变量为X、Y、Z 三个坐标值，则经过变换后，应有三个主成分，对于一个空间平面，在平行于平面的方向上点集分布最为离散，方差最大，在垂直于平面的方向上，点集分布最为集中，方差最小，即空间平面的第三主成分为垂直于空间平面的向量。由于平面拟合最关键的为法向量的拟合，利用PCA 得到点集的第三主成分，即能进一步拟合出平面方程，如图1 所示。

图1 PCA变换原理

  对于在坐标系XYZ 下的待拟合平面点云，利用主成分分析法对其进行分析，可得到三个按照从大到小排列的特征值${\lambda }_1、{\lambda }_2、{\lambda }_3$，对应的主分量分别为$V_1、V_2、V_3$，其中$V_1$和$V_2$组成了待拟合平面的一组基，$V_3$与$V_1$、$V_2$正交，为垂直于待拟合平面的法向量。如图1，在XYZ 坐标系下的点云，经过主成分分析后，三个主成分分量$V_1、V_2、V_3$组成了新坐标系$X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$的三个基，$V_1$和$V_2$为平面$X^{\prime }{O}^{\prime }{Z}^{\prime }$的一组基，$V_3$为$O^{\prime }{Z}^{\prime }$方向的基，即所拟合平面的法向量。

PCA 过程如下:
( 1) 特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值，变换之后每一维的均值都变成了零。特征中心化后的点集$P$，如式( 1) ，其中，$x_i、y_i、z_i$为中心化后点坐标:

$$P=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ x_n& y_n& z_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

(2) 计算三个坐标的协方差矩阵。协方差矩阵$C$为:
$$C=\left[\begin{array}{ccc}cov(x,x)& cov(x,y)& cov(x,z)\\ cov(y,x)& cov(y,y)& cov(y,z)\\ cov(z,x)& cov(z,y)& cov(z,z)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

  其中， $cov(x，y)$ 为$x$ 坐标和$y$ 坐标的协方差， $cov(x，x)$ 为$x$坐标的方差，协方差计算公式如式( 3) ，$x_i、y_i$为中心化后点坐标:
$$cov(x,y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i}{n-1}\text{\hspace{1em}(3)}$$

  当协方差大于零时说明$x$和$y$是正相关关系，协方差小于零时$x$和$y$是负相关关系，协方差为零时$x$和$y$相互独立。

( 3) 计算协方差矩阵$C$的特征值和特征向量。所计算出来的特征值按照从大到小排序，分别为${\lambda }_1、{\lambda }_2、{\lambda }_3$，其所对应的特征向量分别为${\xi }_1、{\xi }_2、{\xi }_3$。显然，两个较大$\lambda$ 所对应的特征向量${\xi }_1、{\xi }_2$为待拟合平面的一组基，而${\xi }_3$为待拟合平面的法向量，其三个分量分别为$a、b、c$。
  若已知待拟合平面经过点$p(x_0，y_0，z_0)$ ，则拟合平面为式( 4) :
$$a(x－x_0)+b(y－y_0)+c(z－z_0)=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

否则，取其均值作为平面上点$p(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ 进行拟合。
  采用主成分分析法拟合平面的方法，对于存在噪声点的情况，也能很好的拟合出结果。因为在一个平面点云中，噪声点偏离平面的距离相对于平面的范围较小，对拟合结果的影响可以忽略。

2、参考文献

[1]叶玲洁;颜远青. 基于PCA算法的机载LiDAR点云平面分割算法研究 [J]. 城市勘测, 2018, (01): 41-44+51.

3、相关代码

• matlab 点云最小二乘拟合平面(PCA法)
• matlab 点云最小二乘拟合平面(PCA法详细过程版)
• matlab 最小二乘拟合平面并与XOY平面对齐
• Open3D 最小二乘拟合平面（PCA法 python详细过程版）
• Open3D 进阶（12）PCA拟合平面