傅里叶变换的离散性与周期性
2023年11月21日
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文章目录
- 傅里叶变换的离散性与周期性
- 1. 符号说明
- 2. 具体分析
- 3. 序列的序号表示的DFT
- 下链
1. 符号说明
t : 连续时间(时域)变量 ω : 频域变量，aka角频率 g : 时域函数 G : 频域函数 n : 时域采样序列序号 k : 频域采样序列序号 T p : 时域函数的周期，单位s T s : 时域采样周期，时间序列的间隔，单位s ω p : 频域函数的周期，单位rad/s ω s : 频域采样周期，频率序列的间隔，单位rad/s，也是傅里叶变换的分辨率 N : 采样序列长度 频谱 : 频域函数的幅度图像 \begin{align*} t& \text{ : 连续时间(时域)变量} \\ \omega & \text{ : 频域变量，aka角频率} \\ g& \text{ : 时域函数} \\ G& \text{ : 频域函数} \\ n& \text{ : 时域采样序列序号} \\ k & \text{ : 频域采样序列序号} \\ T_p & \text{ : 时域函数的周期，单位s} \\ T_s& \text{ : 时域采样周期，时间序列的间隔，单位s} \\ \omega_{p} & \text{ : 频域函数的周期，单位rad/s} \\ \omega_s & \text{ : 频域采样周期，频率序列的间隔，单位rad/s，也是傅里叶变换的分辨率} \\ N & \text{ : 采样序列长度} \\ \text{频谱} & \text{ : 频域函数的幅度图像} \end{align*} tωgGnkTpTsωpωsN频谱 : 连续时间(时域)变量 : 频域变量，aka角频率 : 时域函数 : 频域函数 : 时域采样序列序号 : 频域采样序列序号 : 时域函数的周期，单位s : 时域采样周期，时间序列的间隔，单位s : 频域函数的周期，单位rad/s : 频域采样周期，频率序列的间隔，单位rad/s，也是傅里叶变换的分辨率 : 采样序列长度 : 频域函数的幅度图像
傅里叶变换 : Fourier Transform, FT 离散时间傅里叶变换 : Discrete Time Fourier Transform, DTFT 傅里叶级数 : Fourier Series, FS 离散傅里叶变换 : Discrete Fourier Transform, DFT \begin{align*} &\text{傅里叶变换 : Fourier Transform, FT} \\ &\text{离散时间傅里叶变换 : Discrete Time Fourier Transform, DTFT} \\ &\text{傅里叶级数 : Fourier Series, FS} \\ &\text{离散傅里叶变换 : Discrete Fourier Transform, DFT} \end{align*} 傅里叶变换 : Fourier Transform, FT离散时间傅里叶变换 : Discrete Time Fourier Transform, DTFT傅里叶级数 : Fourier Series, FS离散傅里叶变换 : Discrete Fourier Transform, DFT
通过傅里叶级数，我们可以发现连续周期函数可以转换为一系列离散频率的波的叠加。
通过Z变换，我们可以发现时域的离散序列可以表示为频域里连续的周期函数。
我们可以发现傅里叶变换的一个对称性；
离散 ↔ 周期 \text{离散} \leftrightarrow \text{周期} 离散↔周期
时域离散，则频域周期；
时域周期，则频域离散；
时域非离散非周期，频域非离散非周期；
时域离散且周期，频域也离散且周期；
下面来具体分析一下这种对称性。
2. 具体分析
先从连续时间与连续频率出发，即一般的傅里叶变换
G ( ω ) = FT ∫ − ∞ ∞ g ( t ) e − j ω t d t G( \omega ) \stackrel{\text{ FT }}{=} \int_{ -\infty }^{ \infty } g(t) e^{-j \omega t} \mathrm dt G(ω)= FT ∫−∞∞g(t)e−jωtdt
g ( t ) = IFT ∫ − ∞ ∞ G ( ω ) e j ω t d ω g(t) \stackrel{\text{ IFT }}{=} \int_{ -\infty }^{ \infty } G( \omega ) e^{j \omega t} \mathrm d \omega g(t)= IFT ∫−∞∞G(ω)ejωtdω
时域非离散非周期，频域非离散非周期。下面对时域信号进行采样，采样周期 T s {T_s} Ts ，采样 N {N} N 个点。则
g ( t ) → g ( n T s ) , n = 0 , 1 , 2 , ⋯ , N − 1 g(t) \to g(nT_s) \,\,,\,\, n=0,1,2,\cdots,N-1 g(t)→g(nTs),n=0,1,2,⋯,N−1
g ( n T s ) = ∑ n = 0 N − 1 g ( t ) δ ( n T s ) g(nT_s)= \sum_{n=0}^{ N-1}g(t) \delta (nT_s) g(nTs)=n=0∑N−1g(t)δ(nTs)
g ( n T s ) {g(nT_s)} g(nTs) 相当于从连续函数转化成了一系列冲激函数的叠加。将其代入一般的傅里叶变换，就得到了离散时间傅里叶变换（DTFT）的公式，或者说Z变换，对应离散时间与连续周期频率。
G ( ω ) = DTFT ∫ 0 ( N − 1 ) T s g ( t ) e − j ω t d t , t = n T s = g ( 0 ) e − j 0 + g ( T ) e − j ω T s + g ( 2 T ) e − j ω 2 T s + ⋯ + g ( ( N − 1 ) T ) e − j ω ( N − 1 ) T s = ∑ n = 0 N − 1 g ( n T s ) e − j ω n T s \begin{align*} G(\omega ) \stackrel{\text{ DTFT }}{=} & \int_{ 0 }^{ (N-1)T_s } g(t) e^{-j \omega t} \mathrm dt \,\,,\,\, t=nT_s \\ \\ =&g(0) e^{-j0}+g(T)e^{-j \omega T_s}+g(2T)e^{-j \omega 2T_s}+ \cdots +g((N-1)T)e^{-j \omega (N-1)T_s} \\ \\ =& \sum_{n=0}^{ N-1} g(nT_s)e^{-j \omega nT_s} \end{align*} G(ω)= DTFT ==∫0(N−1)Tsg(t)e−jωtdt,t=nTsg(0)e−j0+g(T)e−jωTs+g(2T)e−jω2Ts+⋯+g((N−1)T)e−jω(N−1)Tsn=0∑N−1g(nTs)e−jωnTs
DTFT的频谱是连续的，频谱的周期通过观察DTFT的公式得到
G ( ω ) = G ( ω + ω p ) G(\omega )=G(\omega + \omega_p ) G(ω)=G(ω+ωp)
ω n T s = ω n T s + 2 π n = ( ω + 2 π T s ) n T s = ( ω + ω p ) n T s \begin{align*} \omega nT_s= \omega nT_s+2\pi n=(\omega + \frac{2\pi}{T_s})nT_s=(\omega + \omega _p)nT_s \end{align*} ωnTs=ωnTs+2πn=(ω+Ts2π)nTs=(ω+ωp)nTs
ω p = 2 π T s (1) \omega_p= \frac{2\pi}{T_s} \tag{1} ωp=Ts2π(1)
这个式子说明了傅里叶变换频域函数的周期与时域采样周期的关系。
再看傅里叶级数，傅里叶级数对应连续周期时间与离散频率，使用 T p {T_p} Tp 为周期的时域周期函数，则
g ( t ) = g ( t + T p ) g(t)=g(t+T_p) g(t)=g(t+Tp)
由傅里叶反变换的公式，有
e j ω t = e j ω ( t + T p ) e^{j \omega t}=e^{j \omega (t+T_p)} ejωt=ejω(t+Tp)
∴ ω T p = 2 k π , k ∈ Z \therefore \omega T_p=2k\pi \,\,,\,\, k\in \mathbb Z ∴ωTp=2kπ,k∈Z
ω = 2 π T p k \omega = \frac{2\pi}{T_p} k ω=Tp2πk
ω s = 2 π T p (2) \omega_s=\frac{2\pi}{T_p} \tag{2} ωs=Tp2π(2)
这个式子说明了傅里叶变换时域函数的周期与频域采样周期的关系。
∴ G ( ω ) → G ( k ω s ) = ∑ k = − ∞ ∞ G ( ω ) δ ( k ω s ) \therefore G(\omega )\to G(k \omega_s) = \sum_{k=-\infty}^{ \infty} G(\omega ) \delta (k \omega_s) ∴G(ω)→G(kωs)=k=−∞∑∞G(ω)δ(kωs)
代入傅里叶反变换的公式，就得到了周期信号傅里叶级数（Fourier Series）的公式：
g ( t ) = FS ∫ − ∞ ∞ G ( ω ) e j ω t d ω , ω = k ω s = ∑ k = − ∞ ∞ G ( k ω s ) e j k ω s t \begin{align*} g(t) \stackrel{\text{ FS }}{=}& \int_{ -\infty }^{ \infty } G( \omega ) e^{j \omega t} \mathrm d \omega \,\,,\,\, \omega =k \omega_s \\ \\ =& \sum_{k=-\infty}^{ \infty}G(k \omega_s) e^{jk \omega_st} \end{align*} g(t)= FS =∫−∞∞G(ω)ejωtdω,ω=kωsk=−∞∑∞G(kωs)ejkωst
将DTFT的有限长时间序列做为无限长周期时间序列的其中一个周期，即延拓成周期序列，再做傅里叶变换，得到的应该是离散且有周期性的频谱。这个变换就是离散傅里叶变换（DFT）。
综合式子（1）到（2），有：
1 T s = ω p 2 π 1 T p = ω s 2 π \begin{align*} \frac{1}{T_s} \tag{1} = \frac{\omega_p}{2\pi} \\ \frac{1}{T_p} \tag{2} = \frac{\omega_s}{2\pi} \end{align*} Ts1=2πωpTp1=2πωs(1)(2)
可以知道，时域一个周期内的离散点数量等于频域一个周期内的离散点数量，即
T p T s = ω p ω s = N (3) \frac{T_p}{T_s}= \frac{\omega_p}{\omega_s}=N \tag{3} TsTp=ωsωp=N(3)
所以我们只关注其中一个周期。设从 0 {0} 0 开始一个周期内有 N {N} N 个点，则
ω = 0 , 2 π T p , 2 π T p × 2 , ⋯ , 2 π T p × k , ⋯ , 2 π T p × ( N − 1 ) \omega =0 , \frac{2\pi}{T_p} , \frac{2\pi}{T_p}\times 2 , \cdots , \frac{2\pi}{T_p} \times k , \cdots , \frac{2\pi}{T_p}\times (N-1) ω=0,Tp2π,Tp2π×2,⋯,Tp2π×k,⋯,Tp2π×(N−1)
代入DTFT的公式，就得到DFT的公式：
G ( k ω s ) = DFT ∑ n = 0 N − 1 g ( n T s ) e − j 2 π T p k n T s = ∑ n = 0 N − 1 g ( n T s ) e − j 2 π N k n \begin{align*} G(k \omega_s ) \stackrel{\text{ DFT }}{=} &\sum_{n=0}^{ N-1} g(nT_s)e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large T_p}k nT_s} \\ \\ =&\sum_{n=0}^{ N-1} g(nT_s)e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large N}k n} \end{align*} G(kωs)= DFT =n=0∑N−1g(nTs)e−jTp2πknTsn=0∑N−1g(nTs)e−jN2πkn
3. 序列的序号表示的DFT
通过序列的序号表示DFT，即
g ( n T s ) → g [ n ] G ( k ω s ) → G [ k ] \begin{align*} g(nT_s)\to g[n]\\ \\ G(k\omega_s ) \to G[k] \end{align*} g(nTs)→g[n]G(kωs)→G[k]
设从 0 {0} 0 开始一个周期内有 N {N} N 个点，则
T s ′ = 1 , ω p ′ = 2 π T_s'=1 \,\,,\,\, \omega_p'=2\pi Ts′=1,ωp′=2π
T p ′ = N , ω s ′ = 2 π N T_p'=N \,\,,\,\, \omega_s'= \frac{2\pi}{N} Tp′=N,ωs′=N2π
从而可以推出序列序号表示DFT的时间、频率与真实时间、频率之间的关系：
T s = T p N T s ′ T_s= \frac{T_p}{N} T_s' Ts=NTpTs′
ω s = N T p ω s ′ \omega_s= \frac{N}{T_p} \omega_s' ωs=TpNωs′
T p = T p N T p ′ T_p= \frac{T_p}{N}T_p' Tp=NTpTp′
ω p = N T p ω p ′ \omega_p = \frac{N}{T_p} \omega_p' ωp=TpNωp′
序列序号表示的DFT如下：
G [ k ] = DFT ∑ n = 0 N − 1 g [ n ] e − j 2 π N k n , k = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 G[k] \stackrel{\text{ DFT }}{=} \sum_{n=0}^{ N-1} g[n]e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large N} kn} \,\,,\,\, k=0,1, \cdots ,N-1 G[k]= DFT n=0∑N−1g[n]e−jN2πkn,k=0,1,⋯,N−1
第 n {n} n 个点的真实时间为
n T s = n T p N nT_s=n \frac{T_p}{N} nTs=nNTp
第 k {k} k 个点的真实频率为
k ω s = k N T p ⋅ 2 π N = k 2 π T p k \omega_s=k \frac{N}{T_p}\cdot \frac{2\pi}{N}=k \frac{2\pi}{T_p} kωs=kTpN⋅N2π=kTp2π
下链
[[DFT与FFT]]
