二阶线性微分算子

求导算子:\frac{d}{dx}，相当于{y}'

二阶线性微分算子

符号：L=\frac{d^{2}}{dx^{2}}+p(x)\frac{d}{dx}+q(x)

性质：设函数y=y(x),y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x),二阶可导，C、C1,C2为常数，则有

L[Cy]=CL[y]

L[y1+y2]=L[y1]+L[y2]

叠加原理

设函数 y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)都是L[y]的解，

C1,C2是常数，则c1y1+c2y2，也是L[y]的解

函数线性相关和线性无关的定义

二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理

定理：

设\widetilde{y}=\widetilde{y}(x)是L[y]=f(x)的一个特解。

Y=C_{1}y_{1}(X)+C_{2}y_{2}(X)是L[y]=f(x)的通解，则

y=Y+\widetilde{y}=C_{1}y_{1}(X)+C_{2}y_{2}(X)+\widetilde{y}(x)也是L[y]=f(x)的通解，其中C1/C2是任意常数。

广义叠加原理

设y_{1}、y_{2}分别是L[y]=f_{1}(x)、L[y]=f_{2}(x)的解,

则y_{1}+y_{2}是L[y]=f_{1}(x)+f_{2}(x)的解。

定理五

设y_{1}+iy_{2}是L[y]=f_{1}(x)+f_{2}(x)的解，则y_{1}、y_{2}分别是L[y]=f_{1}(x),L[y]=f_{2}(x)的解

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