1、算法简介

  RANSAC 是在给定模型和距离阈值$T$的情况下，通过寻找最小代价$C$来确定内点数据并拟合模型。如式（1）所示的代价函数，当点到模型的距离$e$小于阈值$T$时，该点被判定为内点且权重为0；否则为外点。由于所有内点的权重为0，所以RANSAC选取的最优模型是内点最多且权重和最小的模型。如果用于区分异常值的阈值$T$过大，则会造成RANSAC 拟合误差增大。
$$\rho (e,T)=\{\begin{array}{l}1,T\le e\\ 0,T>e\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

  MSAC 是RANSAC 的一种改进方法，目的是降低算法对于距离阈值$T$选取的依赖。修改后的代价函数如式（1）所示，当点到模型的距离$e$ 小于阈值$T$时，该点被判定为内点且权重为$e$ ；否则为外点且权重为$T$ 。
$$\rho (e,T)=\{\begin{array}{l}T,T\le e\\ e,T>e\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  由于使用更加精确的距离表达代价函数，因此，MSAC 不仅可以得到更好的模型，还可以降低阈值的敏感度以及提高收敛速度。利用MSAC 进行局部基准面拟合的具体步骤如下：

1. 从数据集中不重复地随机选择用于平面模型拟合的最小数据集$Q$。
2. 利用最小二乘法和数据集$Q$拟合平面模型$S$ ，得到模型参数。
3. 计算所有点到平面模型$S$的距离，在允许误差阈值范围内的点标记为“内点”，并计算该平面模型的代价$C_i$ 。
4. 比较当前模型的代价$C_i$ 与之前最好模型的代价$C_b$的大小，记录较小者作为新的最好模型的代价，并记录对应的“内点”和模型参数。
5. 重复步骤①-④，直到迭代结束，并得到“内点”数据。
6. 利用“内点”数据，通过最小二乘法拟合平面模型，得到最佳的平面模型参数。

2、参考文献

[1] 马新江;岳东杰;沈月千;刘如飞;王旻烨;俞家勇;张春阳. 基于车载激光点云的路面坑槽检测方法 [J/OL]. 中国激光, 1-25[2023-11-25] http://kns.cnki.net/kcms/detail/31.1339.TN.20230817.1814.022.html.

3、实现效果

1、标准模拟数据

2、模拟数据的平面参数

3、添加高斯噪声点

4、高斯噪声点添加结果

5、MSAC拟合结果

平面模型系数coeff(a,b,c,d): 0.00987843  -0.714149        0.699925        17.943

偏差有点大？？？神奇！！！

4、相关代码

• matlab 点云最小二乘拟合平面(PCA法)
• matlab 点云最小二乘拟合平面(PCA法详细过程版)
• matlab 最小二乘拟合平面并与XOY平面对齐
• Open3D 最小二乘拟合平面（PCA法 python详细过程版）
• Open3D 进阶（12）PCA拟合平面