广度优先遍历从某个顶点 v 出发，首先访问这个结点，并将其标记为已访问过，然后顺序访问结点v的所有未被访问的邻接点 {vi,..,vj} ，并将其标记为已访问过，然后将 {vi,...,vj} 中的每一个节点重复节点v的访问方法，直到所有结点都被访问完为止。
我们可以分为三个步骤：
- （1）使用一个辅助队列 q，首先将顶点 v 入队，将其标记为已访问，然后循环检测队列是否为空。
- （2）如果队列不为空，则取出队列第一个元素，并将与该元素相关联的所有未被访问的节点入队，将这些节点标记为已访问。
- （3）如果队列为空，则说明已经按照广度优先遍历了所有的节点。
下图所示，右边蓝色表示从 0 开始遍历节点的顺序，下面是记录距离 0 的距离，可知广度优先遍历能求出无权图的最短路径。
下面用代码展示如何用广度优先遍历方式完成遍历，并且查询到最短路径。我们在上一小节代码的基础上增加一全局变量 ord 数组，记录路径中节点的次序。ord[i] 表示 i 节点在路径中的次序。同时构造函数做出相应调整，在遍历相邻节点时 每访问一个未被访问的节点进行 ord[i] = ord[v] + 1记录距离。邻接表的广度优先遍历时间复杂度为 O(V+E)，邻接矩阵的时间复杂度为O(V^2)。
...
// 构造函数, 寻路算法, 寻找图graph从s点到其他点的路径
public ShortestPath(Graph graph, int s){// 算法初始化G = graph;assert s >= 0 && s < G.V();visited = new boolean[G.V()];from = new int[G.V()];ord = new int[G.V()];for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){visited[i] = false;from[i] = -1;ord[i] = -1;}this.s = s;// 无向图最短路径算法, 从s开始广度优先遍历整张图LinkedList<Integer> q = new LinkedList<Integer>();q.push( s );visited[s] = true;ord[s] = 0;while( !q.isEmpty() ){int v = q.pop();for( int i : G.adj(v) )if( !visited[i] ){q.push(i);visited[i] = true;from[i] = v;ord[i] = ord[v] + 1;}}
}
...查看从 s 点到 w 点的最短路径长度，若从 s 到 w 不可达，返回-1。
...
public int length(int w){assert w >= 0 && w < G.V();return ord[w];
}
...Java 实例代码
src/runoob/graph/ShortestPath.java 文件代码：
package runoob.graph;import runoob.graph.read.Graph;import java.util.LinkedList;
import java.util.Stack;
import java.util.Vector;/*** 广度优先遍历与最短路径*/
public class ShortestPath {// 图的引用private Graph G;// 起始点private int s;// 记录dfs的过程中节点是否被访问private boolean[] visited;// 记录路径, from[i]表示查找的路径上i的上一个节点private int[] from;// 记录路径中节点的次序。ord[i]表示i节点在路径中的次序。private int[] ord;// 构造函数, 寻路算法, 寻找图graph从s点到其他点的路径public ShortestPath(Graph graph, int s){// 算法初始化G = graph;assert s >= 0 && s < G.V();visited = new boolean[G.V()];from = new int[G.V()];ord = new int[G.V()];for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){visited[i] = false;from[i] = -1;ord[i] = -1;}this.s = s;// 无向图最短路径算法, 从s开始广度优先遍历整张图LinkedList<Integer> q = new LinkedList<Integer>();q.push( s );visited[s] = true;ord[s] = 0;while( !q.isEmpty() ){int v = q.pop();for( int i : G.adj(v) )if( !visited[i] ){q.push(i);visited[i] = true;from[i] = v;ord[i] = ord[v] + 1;}}}// 查询从s点到w点是否有路径public boolean hasPath(int w){assert w >= 0 && w < G.V();return visited[w];}// 查询从s点到w点的路径, 存放在vec中public Vector<Integer> path(int w){assert hasPath(w) ;Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();// 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中int p = w;while( p != -1 ){s.push(p);p = from[p];}// 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径Vector<Integer> res = new Vector<Integer>();while( !s.empty() )res.add( s.pop() );return res;}// 打印出从s点到w点的路径public void showPath(int w){assert hasPath(w) ;Vector<Integer> vec = path(w);for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){System.out.print(vec.elementAt(i));if( i == vec.size() - 1 )System.out.println();elseSystem.out.print(" -> ");}}// 查看从s点到w点的最短路径长度// 若从s到w不可达，返回-1public int length(int w){assert w >= 0 && w < G.V();return ord[w];}
}
