【算法基础】搜索与图论-编程知识

DFS

全排列问题

842. 排列数字 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10;
int n;
int path[N];
bool st[N]; 
void dfs(int x)
{if(x>n){for(int i=1;i<=n;i++) cout<<path[i]<<" ";cout<<endl;return ;}for(int i=1;i<=n;i++){if(!st[i]){path[x]=i;st[i]=true;dfs(x+1);st[i]=false;}}
}
signed main()
{cin>>n;dfs(1);return 0;
}

n-皇后问题

843. n-皇后问题 - AcWing题库

题目要求同一行、同一列、同一斜线上只能有一个皇后。

我们开3个数组记录列、斜线、反斜线是否有皇后存在。

用dfs把每一行都走一遍，同时遍历列，

对每一个点，考察它的列、斜线、反斜线上是否有别的皇后，（因为行是在dfs的参数里考察的，有唯一性）

如果没有就放皇后并且标记为true

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10;
int n;
bool row[N],col[N],dg[N*2],udg[N*2];//列行正对角线 
char g[N][N];void dfs(int x)//遍历行 
{if(x==n){for(int i=0;i<n;i++) puts(g[i]);puts("");return;}for(int i=0;i<n;i++)//遍历列 {if(!row[i]&&!dg[i-x+n]&&!udg[x+i]){g[x][i]='Q';row[i]=dg[i-x+n]=udg[x+i]=true;dfs(x+1);g[x][i]='.';row[i]=dg[i-x+n]=udg[x+i]=false;}}
}
signed main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)g[i][j]='.';dfs(0);return 0;
}

BFS

走迷宫

844. 走迷宫 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
typedef pair<int,int> PII;
int g[N][N],dist[N][N];
int n,m;
PII q[N*N];
int hh=0,tt=-1;
int dx[]={0,1,0,-1};
int dy[]={1,0,-1,0};int bfs(int x,int y)
{memset(dist,-1,sizeof dist);dist[x][y]=0;q[++tt]={x,y};while(hh<=tt){PII t=q[hh++];for(int i=0;i<4;i++){int a=t.first+dx[i];int b=t.second+dy[i];if(dist[a][b]!=-1) continue;if(g[a][b]!=0) continue;if(a<1||b<1||a>n||b>m) continue;q[++tt]={a,b};dist[a][b]=dist[t.first][t.second]+1;if(a==n&&b==m) return dist[a][b];}}	
}
signed main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>g[i][j];}}int res=bfs(1,1);cout<<res;return 0;
}

八数码

845. 八数码 - AcWing题库

思路：设置开始和最后的状态，存在一个字符串里面。如“12345678x”

用bfs，每回找到队列里的x做变换，用dis记录步数

最后队头的string==end，就说明存在解决方案，输出即可

否则返回-1。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<string> q;
unordered_map<string,int> d;
int dx[]={0,1,0,-1};
int dy[]={1,0,-1,0};int bfs(string start)
{q.push(start);d[start]=0;string end="12345678x";while(!q.empty()){auto t=q.front();q.pop();if(t==end) return d[t];int distance=d[t];int k=t.find('x');int x=k/3,y=k%3;for(int i=0;i<4;i++){int a=dx[i]+x,b=dy[i]+y;if(a>=0&&a<3&&b>=0&&b<3){swap(t[k],t[a*3+b]);if(!d.count(t)){d[t]=distance+1;q.push(t);}swap(t[k],t[a*3+b]);}}}return -1;
}signed main()
{string start;for(int i=0;i<9;i++){char pp;cin>>pp;start+=pp;}cout<<bfs(start)<<endl;return 0;
}

树与图的深度优先遍历

树的重心

846. 树的重心 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2*N;
int n;
int e[M],h[N],ne[M],idx;
int ans=N; 
bool st[N];void add(int a,int b)
{e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
int dfs(int u)
{st[u]=true;int sum=0,size=0;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(st[j]) continue;int s=dfs(j);sum+=s;//作为当前这个根的结点数 size=max(size,s);//剩余各个连通块中点数的最大值}size=max(size,n-sum-1);//剩余的点自己组成一个连通块 ans=min(ans,size);//结果是最小的最大值 return sum+1;//要记得包含自己这个结点 
}
signed main()
{cin>>n; memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<n;i++){int a,b;cin>>a>>b;add(a,b);add(b,a);}dfs(1);cout<<ans; return 0;
}

树与图的广度优先遍历

图中点的层次

847. 图中点的层次 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int n,m;
int hh=0,tt=-1;
int q[N],d[N];
void add(int a,int b)
{e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
int bfs()
{memset(d,-1,sizeof d);q[++tt]=1;d[1]=0;while(hh<=tt){auto t=q[hh++];for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(d[j]!=-1) continue;q[++tt]=j;d[j]=d[t]+1;}}return d[n];
}
signed main()
{memset(h,-1,sizeof h);cin>>n>>m;while(m--){int a,b;cin>>a>>b;add(a,b);}cout<<bfs()<<endl;return 0;
}

拓扑排序

有向图的拓扑序列

848. 有向图的拓扑序列 - AcWing题库

啥是拓扑排序?

一个有向图，如果图中有入度为 0 的点，就把这个点删掉，同时也删掉这个点所连的边。

一直进行上面出处理，如果所有点都能被删掉，则这个图可以进行拓扑排序。

思路：突破口是入度为0 的点

把已知的入度为0的点放进队列

只要队列不空，取出队头->t

枚举t的所有出边t->j

删掉t->j j的入度--

if（j的入度为0）让j入队

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int q[N],d[N];
int hh,tt=-1;
void add(int a,int b)
{e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
void topsort()
{for(int i=1;i<=n;i++){if(!d[i]) q[++tt]=i;}while(hh<=tt){auto t=q[hh++];//编号 for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])//这里h和ne数组是指向i的指针，存的是idx {int j=e[i];//所以要用e[i]取出编号 d[j]--;if(!d[j]){q[++tt]=j;} }}if(tt==n-1){for(int i=0;i<n;i++) cout<<q[i]<<" ";}else cout<<"-1";
}
signed main()
{cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);while(m--){int a,b;cin>>a>>b;d[b]++;add(a,b); }topsort();return 0;
}

Dijkstra

Dijkstra算法详解通俗易懂 - 知乎 (zhihu.com)

result：已求出 最小路径的顶点
notFound：未求出 最小路径的顶点，里面的值是 到起点的距离

每次从「未求出最短路径的点」中取出距离距离起点最近的点，以这个点为桥梁刷新「未求出最短路径的点」的距离

朴素版

849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库

朴素版就是把上面的思路模拟一遍。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;//一定要记得开大！！ 
int n,m;
int g[N][N];//存权重 
int dist[N];//存距离 
bool st[N];
int dijkstra()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;for(int i=1;i<n;i++){int t=0;//找最小的边for(int j=1;j<=n;j++)//必须要从1开始，因为后面的循环会更新别的点到原点的直接距离 {if(st[j]) continue;if(dist[t]>dist[j]) t=j;} //找到最小的边了，就更新距离 for(int j=1;j<=n;j++){dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);}st[t]=true;}if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;else return dist[n];
}
signed main()
{memset(g,0x3f,sizeof g);cin>>n>>m;while(m--){int x,y,z;cin>>x>>y>>z;g[x][y]=min(g[x][y],z);}cout<<dijkstra();return 0;
}

堆优化版

850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库

手写堆与优先队列的时间复杂度是一样的。

堆优化版对比朴素版的改变是，原本朴素版要找的未标记点中dist最小的点需要再一重循环，而堆可以省去。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
typedef pair<int,int> PII;//存dist的值和编号 int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],w[N],idx;
int dist[N];
bool st[N];void add(int a,int b,int c)//稀疏图用邻接表存储 
{e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;	
} 
int dijkstra()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;//小根堆 heap.push({0,1});while(!heap.empty()){auto t=heap.top();heap.pop();int num=t.second,distance=t.first;if(st[num]) continue;st[num]=true;//顺着往下，没标记过的就满足条件 for(int i=h[num];i!=-1;i=ne[i])//顺着找它有关联的边更新 {int j=e[i];if (dist[j] > dist[num] + w[i]){dist[j] = dist[num] + w[i];heap.push({dist[j], j});}	} } if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;else return dist[n];
}
signed main()
{cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);while(m--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c); }cout<<dijkstra();return 0;
}

bellman-ford

AcWing 853. 有边数限制的最短路 - AcWing

有边数限制，如 “最多经过 k 条边的最短距离”，就只能用bellman-ford算法。

别的情况下spfa优于此算法。

如果有负权回路，最短距离就不一定存在。但如果限制了边数，就可以存在。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510,M=1e4+10;
int n,m,k;
struct
{int a,b,c;
}edge[M];
int dist[N],last[N];void bellman()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;for(int i=1;i<=k;i++)//走k条边 {memcpy(last,dist,sizeof dist);for(int j=1;j<=m;j++)//所有边{auto t=edge[j];dist[t.b]=min(dist[t.b],last[t.a]+t.c); }}	}
signed main()
{cin>>n>>m>>k;for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;edge[i]={a,b,c};}	bellman();if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) puts("impossible");else cout<<dist[n];return 0;
}