组合数学历年真题-西北工业大学-持续更新中~

组合数学历年考题使用说明

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组合数学参考资料

这里给出一些学习组合数学的参考资料:

  1. 课本:《组合数学》-第五版-清华大学出版社-卢华明

  2. 习题册:《组合数学习题解答》-第四版-清华大学出版社-卢华明

    推荐刷题之前做做这本书上的题,题目范围覆盖很广,可以作为课后习题练习。

    刷历年考题时遇到不会的也可以参考这本书上同类型的题。

  3. PPT:(不太推荐)老师给的PPT比较老,格式和内容都有不少错误。建议听课的时候在课本上标记重难点。

  4. 网课:推荐清华大学马昱春老师的组合数学网课(学堂在线平台可以免费学习)

真题示例

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部分真题

2016.1

一、以下七个小题,每小题10分,考生可任选其中六题作答,共60分

  1. 在字典序法生成1-5这五个数的全排列,25431的下一个排列是什么? 若规定12345是第0号排列,54321是第 5 ! − 1 = 119 5!-1=119 5!1=119号排列,则25431是字典序法中的第几号排列?
  2. 从1至20这20个数中任选互不相邻的三个数,共有多少种选法?
  3. 有多少个由奇数个0和奇数个3偶数个2,而1、4的个数任意的n位5进制数?
  4. 求不大于120素数的有多少个。
  5. 求从任意多个a,3个b,5个c,7个d 可重复地任取10个的方案数。
  6. 在一个8X8方格的国际象棋棋盘上放置一个红色、四个白色、三个黑色的八个车,保证它们不能互相攻击,问有多少种放置方法。
  7. 证明: ( n 2 ) ! ( n ! ) n + 1 \frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}} (n!)n+1(n2)!是一个整数。

二、(8分)

已知一数列满足条件: A 1 = 1 , A 2 = 2 , A n − 4 A n − 1 − 5 A n − 2 = 0 ( n = 3 , 4 , … … ) A_1=1,A_2=2,A_n-4A_{n-1}-5A_{n-2}=0 \quad(n=3,4,……) A1=1,A2=2,An4An15An2=0(n=3,4,……),试给出 A n A_n An通项公式。

三、(10分)

把五张贺卡C1,C2……C5分别送给A1, A2……A5。其中,A1不要C2,A2 不要C1,C2,C5,A4 不要C1,C3,A5 不要C3,有多少种送法?

四、(10分)

证明:在任意的52个整数中,存在两个整数,其和或者差能被100整除。

五、第1小题4分,第2小题8分,共12分)

  1. 请给出六次对称群 S 6 S_6 S6的所有共轭类,并给出每一类中各有多少不同的置换。
  2. 用m种颜色给一个7个珠子串成的串珠着色,问有多少不同的着色方案?请再给出m=2时的具体值。

2015.1

以下11题,每题10分,可任选其中10题作答。共100分

  1. 在如图的6x6棋盘格内上,放置6个棋子,要求不能在同行或同列中出现两个或两个以上的棋子,且在棋盘中有“X”的地方不能放置任何棋子,请问共有多少放置方法?

    X
    XX
    XX
    XX
    XX
  2. What is the coefficient(系数)of x 1 3 x 2 3 x 3 x 4 2 x_1^3x_2^3x_3x_4^2 x13x23x3x42 in the expansion of ( x 1 − x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 ) 9 (x_1-x_2+2x_3-2x_4)^9 x1x2+2x32x49 ?

  3. 从1至20这20个数中任选互不相邻的三个数,共有多少种选法?

  4. 已知一数列满足条件:$A_0=1,A_1=2,A_n-5A_{n-1}+6A_{n-2}=2^n ,试给出 ,试给出 ,试给出A_n$通项公式。

  5. F 1 = 1 , F 2 = 1 , F n = F n − 1 + F n − 2 ( n ≥ 3 ) F_1=1,F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\quad(n\geq3) F1=1,F2=1,Fn=Fn1+Fn2(n3)证明: F 5 n F_{5n} F5n是5的倍数。

  6. Find integers a,b,and c such that m 3 = a ( 3 m ) + b ( 2 m ) + c ( 1 m ) m^3=a(^m_3)+b(^m_2)+c(^m_1) m3=a(3m)+b(2m)+c(1m) for all m. Then sum the series ∑ i = 1 i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … … + n 3 \sum_{i=1}{i^3} = 1^3+2^3+3^3+……+n^3 i=1i3=13+23+33+……+n3

  7. 求1到1000 中不能被5、6、8整除的整数的个数。

  8. 证明把数A拆分成m项的拆分数,等于把n-m拆分成不多于m项的拆分数。

  9. 给出所有六次对称群 S 6 S_6 S6的全部共轭类,以及每个类中含有的不同置换的个数。

  10. 证明在边长为1的正方形中任取10个点,则必存在两个点,该两点的距离不大于 2 3 \frac{\sqrt2}{3} 32

  11. 用k种颜色给一个正五边形的顶点进行着色,共有多少不同的着色方案?再请给出只有黑、白(k=2)两种颜色时的每个具体染色方法。

更多真题

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