无线蜂窝通信系统的预编码设计问题中，经常提到用WMMSE方法设计多用户和速率最大化的预编码，其中最为关键的一步是将原和速率最大化问题转化为均方误差最小化问题，从而将问题由非凸变为关于三个新变量的凸的子问题，交替优化三个子问题即可求解。

对于一般的问题形式，该如何从原和速率最大化问题转化到均方误差最小化问题呢？

---

原论文的描述

An Iteratively Weighted MMSE Approach to Distributed Sum-Utility Maximization for a MIMO Interfering Broadcast Channel
等待有时间补充

WMMSE的简单应用

原beamforming优化问题

基于上述模型，我们研究了近场多用户通信，考虑当不同用户共享相似方向但距基站距离不同时实现可靠通信的可能性。这里的目的是设计传输波束图案以最大化可实现的总速率，反映每个通道使用可以可靠地传送的总比特数。基于不同的天线架构，对于给定的发射功率约束 $P_{max}>0$，感兴趣的任务可以写为：

max ⁡ { w ~ m } ∑ m = 1 M R m ( { w ~ j } j ∈ M ) s.t.  ∑ m = 1 M ∥ w ~ m ∥ 2 ≤ P max ⁡ , { w ~ m } ∈ W , (14) \begin{array}{l} \max _{\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}} \sum_{m=1}^{M} R_{m}\left(\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{j}\right\}_{j \in \mathcal{M}}\right) \\ \text { s.t. } \sum_{m=1}^{M}\left\|\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\|^{2} \leq P_{\max }, \quad\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\} \in \mathcal{W}, \end{array} \tag{14} max{w~m​}​∑m=1M​Rm​({w~j​}j∈M​) s.t. ∑m=1M​∥w~m​∥2≤Pmax​,{w~m​}∈W,​(14)
其中：

R m ( { w ~ j } j ∈ M ) = log ⁡ 2 ( 1 + ∣ a m H w ~ m ∣ 2 ∑ j ≠ m a m H w ~ j ∣ 2 + σ 2 ) R_{m}\left(\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{j}\right\}_{j \in \mathcal{M}}\right)=\log _{2}\left(1+\frac{\left|\mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{m}\right|^{2}}{\left.\sum_{j \neq m} \mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{j}\right|^{2}+\sigma^{2}}\right) Rm​({w~j​}j∈M​)=log2​ ​1+∑j=m​amH​w~j​ ​2+σ2 ​amH​w~m​ ​2​ ​

优化问题求解

对于全数字波束聚焦设计，可行的预编码集${\mathcal{W}}_{FD}$是无约束的，并且包括${\mathbb{C}}^N$中$M$个向量的所有组合。对于单用户情况，即 $M=1$，通过设置 ${\tilde{\mathbf{w}}}_1=\sqrt{P_{\max }}\frac{{\mathbf{a}}_1}{|{\mathbf{a}}_1|}$来最大化 (14) 中的速率。 。然而，对于$M>1$的一般情况，问题(14)是非凸的，因此很难找到最优解。然而，由于（14）与远场操作的干扰广播信道的相应和速率最大化之间的相似性，人们可以利用针对远场系统导出的工具。一种候选策略是使用加权和均方误差（W(S)MMSE）最小化方法[35]来处理问题（14），这保证了收敛到驻点。

通过利用总速率最大化和 MSE 最小化之间的关系 [WMMSE 35，Thm 1]，我们有以下引理。

引理 1：$\mathcal{W}={\mathcal{W}}_{FD}$ 的问题 (14) 等价于以下问题（在具有相同全局最优的意义上）

max ⁡ { w ~ m , u m , v m } ∑ m = 1 M log ⁡ 2 ( v m ) − v m e m ( u m , { w ~ m } ) s.t.  ∑ m = 1 M ∥ w ~ m ∥ 2 ≤ P max ⁡ , v m ≥ 0 , m ∈ M , (17) \begin{aligned} \max _{\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}, u_{m}, v_{m}\right\}} & \sum_{m=1}^{M} \log _{2}\left(v_{m}\right)-v_{m} e_{m}\left(u_{m},\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}\right) \\ \text { s.t. } & \sum_{m=1}^{M}\left\|\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\|^{2} \leq P_{\max }, \quad v_{m} \geq 0, m \in \mathcal{M}, \end{aligned} \tag{17} {w~m​,um​,vm​}max​ s.t. ​m=1∑M​log2​(vm​)−vm​em​(um​,{w~m​})m=1∑M​∥w~m​∥2≤Pmax​,vm​≥0,m∈M,​(17)

where $u_m$ and $v_m$ are auxiliary variables, and e m ( u m , { w ~ m } ) e_{m}\left(u_{m}\right. , \left.\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}\right) em​(um​,{w~m​}) is given by e m ( u m , { w ~ m } ) = ∣ 1 − u m a m H w ~ m ∣ 2 + ∑ j ≠ m ∣ u m a m H w ~ j ∣ 2 + σ 2 ∣ u m ∣ 2 e_{m}\left(u_{m},\left\{\tilde{\mathbf{w}}_{m}\right\}\right)=\left|1-u_{m} \mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{m}\right|^{2}+ \sum_{j \neq m}\left|u_{m} \mathbf{a}_{m}^{H} \tilde{\mathbf{w}}_{j}\right|^{2}+\sigma^{2}\left|u_{m}\right|^{2} em​(um​,{w~m​})= ​1−um​amH​w~m​ ​2+∑j=m​ ​um​amH​w~j​ ​2+σ2∣um​∣2 .

虽然问题（17）比问题（14）涉及更多的优化变量，但当其余两组固定时，每组优化变量都是凹的。因此，可以应用块坐标下降法来求解（17），得到总结为算法1的过程，该过程基于[35，Sec.3]中提出的方法。

算法1中，步骤4中的参数λp是与基站发射功率约束相关的拉格朗日乘数。 λp 的选择可以通过超参数优化方案来设置，例如使用二分法[27]、[35]。算法 1 忽略了通信发生在近场的事实，因为该属性仅封装在等效信道向量 {am} 中。尽管如此，正如我们在第四节中以数字方式展示的，这种优化方法以总速率为目标，并没有明确考虑最终的波束图案，它产生聚焦波束，允许多个用户在居住时以最小的交叉干扰共存。相同的角度方向。