class077 区间dp-下【算法】

class077 区间dp-下【算法】

算法讲解077【必备】区间dp-下

在这里插入图片描述

code1 括号区间匹配

// 完成配对需要的最少字符数量
// 给定一个由’[‘、’]‘、’(‘，’)‘组成的字符串
// 请问最少插入多少个括号就能使这个字符串的所有括号正确配对
// 例如当前串是 “([[])”，那么插入一个’]'即可满足
// 输出最少需要插入多少个字符
// 测试链接 : https://www.nowcoder.com/practice/e391767d80d942d29e6095a935a5b96b
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过

dp[L][R]
1)L位置和R位置匹配，dp[L+1][R-1]
2)枚举m dp[L][m]+dp[m+1][R]

package class077;// 完成配对需要的最少字符数量
// 给定一个由'['、']'、'('，')'组成的字符串
// 请问最少插入多少个括号就能使这个字符串的所有括号正确配对
// 例如当前串是 "([[])"，那么插入一个']'即可满足
// 输出最少需要插入多少个字符
// 测试链接 : https://www.nowcoder.com/practice/e391767d80d942d29e6095a935a5b96b
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;public class Code01_MinimumInsertionsToMatch {public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));String str = br.readLine();out.println(compute(str));out.flush();out.close();br.close();}// 时间复杂度O(n^3)public static int compute(String str) {char[] s = str.toCharArray();int n = s.length;int[][] dp = new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {dp[i][j] = -1;}}return f(s, 0, s.length - 1, dp);}// 让s[l...r]配对至少需要几个字符public static int f(char[] s, int l, int r, int[][] dp) {if (l == r) {return 1;}if (l == r - 1) {if ((s[l] == '(' && s[r] == ')') || (s[l] == '[' && s[r] == ']')) {return 0;}return 2;}// l...r字符数量 >= 3if (dp[l][r] != -1) {return dp[l][r];}// 可能性1 : [l]、[r]本来就是配对的int p1 = Integer.MAX_VALUE;if ((s[l] == '(' && s[r] == ')') || (s[l] == '[' && s[r] == ']')) {p1 = f(s, l + 1, r - 1, dp);}// 可能性2 : 基于每个可能的划分点，做左右划分int p2 = Integer.MAX_VALUE;for (int m = l; m < r; m++) {p2 = Math.min(p2, f(s, l, m, dp) + f(s, m + 1, r, dp));}int ans = Math.min(p1, p2);dp[l][r] = ans;return ans;}}

code2 664. 奇怪的打印机

// 涂色 & 奇怪打印机
// 假设你有一条长度为5的木板，初始时没有涂过任何颜色
// 你希望把它的5个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红
// 用一个长度为5的字符串表示这个目标：RGBGR
// 每次你可以把一段连续的木板涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色
// 例如第一次把木板涂成RRRRR
// 第二次涂成RGGGR
// 第三次涂成RGBGR，达到目标
// 返回尽量少的涂色次数
// 测试链接 : https://www.luogu.com.cn/problem/P4170
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/strange-printer/
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过

dp[L][R]:L…R刷出给定的颜色至少涂几次
1)[L]==[R]: dp[L][R-1]或dp[L+1][R]
2)[L]!=[R]：枚举m，dp[L][m]+dp[m+1][R]

package class077;// 涂色 & 奇怪打印机
// 假设你有一条长度为5的木板，初始时没有涂过任何颜色
// 你希望把它的5个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红
// 用一个长度为5的字符串表示这个目标：RGBGR
// 每次你可以把一段连续的木板涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色
// 例如第一次把木板涂成RRRRR
// 第二次涂成RGGGR
// 第三次涂成RGBGR，达到目标
// 返回尽量少的涂色次数
// 测试链接 : https://www.luogu.com.cn/problem/P4170
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/strange-printer/
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;public class Code02_Coloring {public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));String str = br.readLine();out.println(strangePrinter(str));out.flush();out.close();br.close();}// 时间复杂度O(n^3)// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/strange-printer/public static int strangePrinter(String str) {char[] s = str.toCharArray();int n = s.length;int[][] dp = new int[n][n];dp[n - 1][n - 1] = 1;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {dp[i][i] = 1;dp[i][i + 1] = s[i] == s[i + 1] ? 1 : 2;}for (int l = n - 3, ans; l >= 0; l--) {for (int r = l + 2; r < n; r++) {// dp[l][r]if (s[l] == s[r]) {dp[l][r] = dp[l][r - 1];// dp[l][r] = dp[l + 1][r];} else {ans = Integer.MAX_VALUE;for (int m = l; m < r; m++) {ans = Math.min(ans, dp[l][m] + dp[m + 1][r]);}dp[l][r] = ans;}}}return dp[0][n - 1];}}

code3 P3205 [HNOI2010] 合唱队

// 合唱队
// 具体描述情打开链接查看
// 测试链接 : https://www.luogu.com.cn/problem/P3205
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的所有代码，并把主类名改成"Main"，可以直接通过

dp[L][R]
[0]：表示[L]最后插入；[1]：表示[R]最后插入
dp[L][R][0]：以下之和
[L]<[L+1]?dp[L+1][R][0]:0
[L]<[R]?dp[L][R-1][1]:0
dp[L][R][1]：以下之和
[R]>[L+1]?dp[L][R-1][0]:0
[R]>[R-1]?dp[L][R-1][1]:0

返回dp[0][n-1][0]+dp[0][n-1][1]

package class077;// 合唱队
// 具体描述情打开链接查看
// 测试链接 : https://www.luogu.com.cn/problem/P3205
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的所有代码，并把主类名改成"Main"，可以直接通过import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;public class Code03_HeightAndChoir {public static int MAXN = 1001;public static int[] nums = new int[MAXN];public static int[][] dp = new int[MAXN][2];public static int n;public static int MOD = 19650827;public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {n = (int) in.nval;for (int i = 1; i <= n; i++) {in.nextToken();nums[i] = (int) in.nval;}if (n == 1) {out.println(1);} else {out.println(compute2());}}out.flush();out.close();br.close();}// 时间复杂度O(n^2)// 严格位置依赖的动态规划public static int compute1() {// 人的编号范围 : 1...n// dp[l][r][0] : 形成l...r的状况的方法数，同时要求l位置的数字是最后出现的// dp[l][r][1] : 形成l...r的状况的方法数，同时要求r位置的数字是最后出现的int[][][] dp = new int[n + 1][n + 1][2];for (int i = 1; i < n; i++) {if (nums[i] < nums[i + 1]) {dp[i][i + 1][0] = 1;dp[i][i + 1][1] = 1;}}for (int l = n - 2; l >= 1; l--) {for (int r = l + 2; r <= n; r++) {if (nums[l] < nums[l + 1]) {dp[l][r][0] = (dp[l][r][0] + dp[l + 1][r][0]) % MOD;}if (nums[l] < nums[r]) {dp[l][r][0] = (dp[l][r][0] + dp[l + 1][r][1]) % MOD;}if (nums[r] > nums[l]) {dp[l][r][1] = (dp[l][r][1] + dp[l][r - 1][0]) % MOD;}if (nums[r] > nums[r - 1]) {dp[l][r][1] = (dp[l][r][1] + dp[l][r - 1][1]) % MOD;}}}return (dp[1][n][0] + dp[1][n][1]) % MOD;}// 时间复杂度O(n^2)// 空间压缩public static int compute2() {if (nums[n - 1] < nums[n]) {dp[n][0] = 1;dp[n][1] = 1;}for (int l = n - 2; l >= 1; l--) {if (nums[l] < nums[l + 1]) {dp[l + 1][0] = 1;dp[l + 1][1] = 1;} else {dp[l + 1][0] = 0;dp[l + 1][1] = 0;}for (int r = l + 2; r <= n; r++) {int a = 0;int b = 0;if (nums[l] < nums[l + 1]) {a = (a + dp[r][0]) % MOD;}if (nums[l] < nums[r]) {a = (a + dp[r][1]) % MOD;}if (nums[r] > nums[l]) {b = (b + dp[r - 1][0]) % MOD;}if (nums[r] > nums[r - 1]) {b = (b + dp[r - 1][1]) % MOD;}dp[r][0] = a;dp[r][1] = b;}}return (dp[n][0] + dp[n][1]) % MOD;}}

code4 546. 移除盒子

// 移除盒子
// 给出一些不同颜色的盒子boxes，盒子的颜色由不同的正数表示
// 你将经过若干轮操作去去掉盒子，直到所有的盒子都去掉为止
// 每一轮你可以移除具有相同颜色的连续 k 个盒子（k >= 1）
// 这样一轮之后你将得到 k * k 个积分
// 返回你能获得的最大积分总和
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/remove-boxes/

boxes[l…r]范围上要去消除，前面跟着k个连续的和boxes[l]颜色一样的盒子
这种情况下，返回最大得分
int f(int[] boxes, int l, int r, int k)
1）前缀先消，尽量长
2）前缀跟后，枚举情况

package class077;// 移除盒子
// 给出一些不同颜色的盒子boxes，盒子的颜色由不同的正数表示
// 你将经过若干轮操作去去掉盒子，直到所有的盒子都去掉为止
// 每一轮你可以移除具有相同颜色的连续 k 个盒子（k >= 1）
// 这样一轮之后你将得到 k * k 个积分
// 返回你能获得的最大积分总和
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/remove-boxes/
public class Code04_RemoveBoxes {// 时间复杂度O(n^4)public static int removeBoxes(int[] boxes) {int n = boxes.length;int[][][] dp = new int[n][n][n];return f(boxes, 0, n - 1, 0, dp);}// boxes[l....r]范围上要去消除，前面跟着k个连续的和boxes[l]颜色一样的盒子// 这种情况下，返回最大得分public static int f(int[] boxes, int l, int r, int k, int[][][] dp) {if (l > r) {return 0;}// l <= rif (dp[l][r][k] > 0) {return dp[l][r][k];}int s = l;while (s + 1 <= r && boxes[l] == boxes[s + 1]) {s++;}// boxes[l...s]都是一种颜色，boxes[s+1]就不是同一种颜色了// cnt是总前缀数量 : 之前的相同前缀(k个) + l...s这个颜色相同的部分(s-l+1个)int cnt = k + s - l + 1;// 可能性1 : 前缀先消int ans = cnt * cnt + f(boxes, s + 1, r, 0, dp);// 可能性2 : 讨论前缀跟着哪个后，一起消掉for (int m = s + 2; m <= r; m++) {if (boxes[l] == boxes[m] && boxes[m - 1] != boxes[m]) {// boxes[l] == boxes[m]是必须条件// boxes[m - 1] != boxes[m]是剪枝条件，避免不必要的调用ans = Math.max(ans, f(boxes, s + 1, m - 1, 0, dp) + f(boxes, m, r, cnt, dp));}}dp[l][r][k] = ans;return ans;}}

code5 1000. 合并石头的最低成本

// 合并石头的最低成本
// 有 n 堆石头排成一排，第 i 堆中有 stones[i] 块石头
// 每次 移动 需要将 连续的 k 堆石头合并为一堆，而这次移动的成本为这 k 堆中石头的总数
// 返回把所有石头合并成一堆的最低成本
// 如果无法合并成一堆返回-1
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/minimum-cost-to-merge-stones/

(n-1)%(k-1)==0，才能合成1份

前1+(k-1)*z个合成1份
后面合成k-1份
最终k个合成1份
枚举z

package class077;// 合并石头的最低成本
// 有 n 堆石头排成一排，第 i 堆中有 stones[i] 块石头
// 每次 移动 需要将 连续的 k 堆石头合并为一堆，而这次移动的成本为这 k 堆中石头的总数
// 返回把所有石头合并成一堆的最低成本
// 如果无法合并成一堆返回-1
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/minimum-cost-to-merge-stones/
public class Code05_MinimumCostToMergeStones {// 时间复杂度O(n^3)// 优化策略来自于观察// l.....r最终会变成几份其实是注定的，根本就无法改变// 那么也就知道，满足(n - 1) % (k - 1) == 0的情况下，// 0....n-1最终一定是1份，也无法改变// 如果l.....r最终一定是1份// 那么要保证l.....m最终一定是1份，m+1...r最终一定是k-1份// 如果l.....r最终一定是p份（p>1）// 那么要保证l.....m最终一定是1份，那么m+1...r最终一定是p-1份// 怎么保证的？枚举行为中，m += k-1很重要！// m每次跳k-1！// 如果l.....r最终一定是1份// 就一定能保证l.....m最终一定是1份// 也一定能保证m+1...r最终一定是k-1份// 不要忘了，加上最后合并成1份的代价// 如果l.....r最终一定是p份// 就一定能保证l.....m最终一定是1份// 也一定能保证m+1...r最终一定是p-1份// 不用加上最后合并成1份的代价public static int mergeStones(int[] stones, int k) {int n = stones.length;if ((n - 1) % (k - 1) != 0) {return -1;}int[] presum = new int[n + 1];// 多补了一个0位置，l...r累加和 : presum[r+1] - presum[l]for (int i = 0, j = 1, sum = 0; i < n; i++, j++) {sum += stones[i];presum[j] = sum;}// dp[l][r] : l...r范围上的石头，合并到不能再合并（份数是确定的），最小代价是多少int[][] dp = new int[n][n];for (int l = n - 2, ans; l >= 0; l--) {for (int r = l + 1; r < n; r++) {ans = Integer.MAX_VALUE;for (int m = l; m < r; m += k - 1) {ans = Math.min(ans, dp[l][m] + dp[m + 1][r]);}if ((r - l) % (k - 1) == 0) {// 最终一定能划分成一份，那么就再加合并代价ans += presum[r + 1] - presum[l];}dp[l][r] = ans;}}return dp[0][n - 1];}}

code6 730. 统计不同回文子序列

// 统计不同回文子序列
// 给你一个字符串s，返回s中不同的非空回文子序列个数
// 由于答案可能很大，请你将答案对10^9+7取余后返回
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/count-different-palindromic-subsequences/

dp[i][j]：i…j有多少个不同的回文子序列
1）s[i]!=s[j]：dp[i][j-1]+dp[i+1][j]-dp[i+1][j-1]
2）s[i]==s[j]：
a：i…j中内部无a：dp[i+1][j-1]*2+2 ,*2是因为内部的回文子序列首尾添a依然是回文序列，+2是有a aa两个回文子序列
b：i…j中内部有1个a：dp[i+1][j-1]*2+1，+1是内部计算了a回文子序列
c：i…j中内部有不只1个a：dp[i+1][j-1]*2-dp[l+1][r-1]，l是i右边最近的a位置，r是j左边最近的a位置，
因为[l+1,r-1]已经被(l,r)包过一次,所以不需要(i,j)再包1次。

package class077;import java.util.Arrays;// 统计不同回文子序列
// 给你一个字符串s，返回s中不同的非空回文子序列个数
// 由于答案可能很大，请你将答案对10^9+7取余后返回
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/count-different-palindromic-subsequences/
public class Code06_CountDifferentPalindromicSubsequences {// 时间复杂度O(n^2)public static int countPalindromicSubsequences(String str) {int mod = 1000000007;char[] s = str.toCharArray();int n = s.length;int[] last = new int[256];// left[i] : i位置的左边和s[i]字符相等且最近的位置在哪，不存在就是-1int[] left = new int[n];Arrays.fill(last, -1);for (int i = 0; i < n; i++) {left[i] = last[s[i]];last[s[i]] = i;}// right[i] : i位置的右边和s[i]字符相等且最近的位置在哪，不存在就是nint[] right = new int[n];Arrays.fill(last, n);for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {right[i] = last[s[i]];last[s[i]] = i;}// dp[i][j] : i...j范围上有多少不同的回文子序列// 如果i>j，那么认为是无效范围dp[i][j] = 0long[][] dp = new long[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i][i] = 1;}for (int i = n - 2, l, r; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {if (s[i] != s[j]) {// a ..... b// i       j// 因为要取模，所以只要发生减操作就+mod，讲解041同余原理dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i + 1][j] - dp[i + 1][j - 1] + mod;} else {// s[i] == s[j]// a......a// i      jl = right[i];r = left[j];if (l > r) {// i...j的内部没有s[i]字符// a....a// i    j// (i+1..j-1) + a(i+1..j-1)a + a + aadp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] * 2 + 2;} else if (l == r) {// i...j的内部有一个s[i]字符// a.....a......a// i     lr     j// (i+1..j-1) + a(i+1..j-1)a + aadp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] * 2 + 1;} else {// i...j的内部不只一个s[i]字符// a...a....这内部可能还有a但是不重要....a...a// i   l                             r   j// 因为要取模，所以只要发生减操作就+mod，讲解041同余原理dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] * 2 - dp[l + 1][r - 1] + mod;}}dp[i][j] %= mod;}}return (int) dp[0][n - 1];}}

2023-11-22 21:49:27

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