---

【获取资源请见文章第5节：资源获取】

---

1. 原始HPO算法

此算法详细介绍请参考HPO算法介绍

2. 改进后的IHPO算法

2.1 Cubic映射初始化

标准的Cubic映射函数可以表示为下式所示：
$$x_{n+1}=b{x}_n^3-c{x}_n$$
其中，b，c为混沌影响因子，不同的b，c值Cubic映射的范围也不同。一般在$c\in (2.3,3)$时，Cubic映射产生的序列为混沌状态。此外，当b = 1时，$x_n\in (-2,2)$；当b = 4时，$x_n\in (-1,1)$。

经过对Cubic映射进行最大Lyapunov指数的计算分析，可以得到如下常用的Cubic映射表达式：
$$x_{n+1}=\rho x_n(1-x_n^2)$$
其中，$x_n\in (0,1)$；$\rho$为控制参数，Cubic映射的混沌性与参数$\rho$的取值有着很大的关系。
本文中，参数$\rho$的取值为$(1.5,3)$。经过实验，取$x_0=0.3,\rho =2.595$时，Cubic映射具有较好的混沌遍历性，仿真结果如下图所示：

2.2 透镜成像折射反向学习

透镜成像折射反向学习策略的思想来自于凸透镜成像的原理。通过基于当前坐标生成一个反向位置来扩展搜索范围，如图所示。

透镜成像折射反向学习原理图

在二维坐标中，x轴的搜索范围为(a, b)， y轴表示一个凸透镜。假设物体A在x轴上的投影为x，高度为h，通过透镜成像，另一侧的图像为A*， A* 在x轴上的投影为x*，高度为h*。通过以上分析，我们可以得到如下公式：
$$\frac{(a+b)/2-x}{x^{\ast }-(a+b)/2}=\frac{h}{h^{\ast }}$$
对上面公式进行转换，即可得到反向解x*的表达式为：
$$x^{\ast }=\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2k}-\frac{x}{k}$$
其中，$k=h/h^{\ast }$，$a$和$b$可以视为某维度的上下限。本文中的$k$是一个与迭代次数相关的动态自适应值。

2.3 强制切换策略

在原始HPO算法中，B参数扮演着十分重要的角色，它用于平衡算法的探索和开发能力。在原始HPO算法中，B取值固定为0.1，此值并不能反映算法目前适用于哪种更新公式，因此将其与随机数rand来比较从而决策出进行开发还是探索的方式并不妥。

本文提出了一种改进的B参数来替代原先的B参数，公式如下：
$$B=tanh\left|rand\times (\frac{F(i)-bF}{F(i)+bF})\right|$$
同时，考虑到这样的方式仍然可能陷入局部最优，所以为每个个体配置了一个计数器，如果连续迭代多次，都未能找到更优的解，就100%执行探索行为，而不执行开发行为。

3. 部分代码展示

clear;clc;close allSearch_no=30;   % Number of search agent
F_name='F14';    % Name of the test function F1-f23
M_Iter=500;    % Maximum number of iterations
[lb,ub,dim,fobj]=Get_F(F_name); %Give details of the underlying benchmark function[Best_FF,Best_P,HPO_Curve]=HPO(Search_no,M_Iter,lb,ub,dim,fobj);   [Best_FF_IHPO,Best_P_IHPO,IHPO_Curve]=IHPO(Search_no,M_Iter,lb,ub,dim,fobj);figure('Position',[454   445   694   297]);
subplot(1,2,1);
func_plot(F_name);
title('Parameter space')
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel([F_name,'( x_1 , x_2 )'])subplot(1,2,2);
semilogy(HPO_Curve,'Color','k','LineWidth',2)
hold on
semilogy(IHPO_Curve,'Color','r','LineWidth',2)
title('Convergence curve')
xlabel('Iteration');
ylabel('Best fitness function');
axis tight
legend('HPO','IHPO')

4. 仿真结果展示

5. 资源获取

可以获取完整代码资源。