本笔记来自北航诸兵老师的课程
课程地址：模型预测控制（2022春）lecture 1-1 Unconstrained MPC
接上一篇：【MPC学习笔记】01：MPC简介（Lecture 1_1 Unconstrained MPC）

1 详细介绍

1.1 状态方程

对 LTI 离散系统：
$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)x\in {\mathbb{R}}^n,u\in R^p$$

对传统控制系统，连续系统是好处理的，离散系统是要额外考虑其他因素的
对MPC，则是反过来，离散系统是好处理的，连续系统是要额外考虑其他因素的

假设：

• $A,B$ 可控（Stablizable）
• 状态和控制输入不存在约束（本节讨论无约束MPC）

Define：
$x(i|k),u(i|k)$: Prediction of $i$steps ahead from time $k$ (比如，在时刻 $k$ 预测下一时刻的状态，记为 $x(1|k)$，当前时刻的输入，记为 $u(0|k)$)
预测：
$$\begin{array}{rl}x(1|k)& =Ax(0|k)+Bu(0|k)\\ x(2|k)& =Ax(1|k)+Bu(1|k)=A[Ax(0|k)+Bu(0|k)]+Bu(1|k)\\ & =A^{2}x(0|k)+ABu(0|k)+Bu(1|k)\\ & ⋮⋮⋮\\ x(i|k)& =A^{i}x(0|k)+A^{i-1}Bu(0|k)+A^{i-2}{B}^{2}u(1|k)+\cdots +Bu(i-1|k)\end{array}$$

In compact form:
$$X(k)=Fx(k)+\Phi U(k)$$
$$X(k)\triangleq \left[\begin{array}{c}x(1|k)\\ x(2|k)\\ ⋮\\ x(N|k)\end{array}\right]U(k)\triangleq \left[\begin{array}{c}u(0|k)\\ u(1|k)\\ ⋮\\ u(N-1|k)\end{array}\right]$$

$X(k)$ 式中的 $x(k)$ 也即 $x(0|k)$
$\triangleq$ : 表示定义为
$N$ : Control/Predictive horizon，实际上二者有区别，但这里不做区分

1.2 Cost Function

这里cost function 的控制/预测时域是一个有限的数
$$\begin{array}{rl}J(k)& =\sum _{i=1}^N||x(i|k)|{|}_Q^2+||u(i-1|k)|{|}_R^2\\ & =X^T(k)\mathcal{Q}X(k)+U^T(k)\mathcal{R}U(k)\end{array}$$
假设$Q$和$R$是正定的，是权重
$$\mathcal{Q}=\left[\begin{array}{cccc}Q& & & \\ & Q& & \\ & & \ddots & \\ & & & Q\end{array}\right]\mathcal{R}=\left[\begin{array}{cccc}R& & & \\ & R& & \\ & & \ddots & \\ & & & R\end{array}\right]$$
将 $X(k)=Fx(k)+\Phi U(k)$ 代入 $J(k)$ 有
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}J(k)& =(Fx(k)+\Phi U(k){)}^T\mathcal{Q}(Fx(k)+\Phi U(k))+U^T(k)\mathcal{R}U(k)\\ & =(x(k{)}^T{F}^T+U(k{)}^T{\Phi }^T)(\mathcal{Q}Fx(k)+\mathcal{Q}\Phi U(k))+U^T(k)\mathcal{R}U(k)\\ & =x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}Fx(k)+U(k{)}^T{\Phi }^T\mathcal{Q}Fx(k)+x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}\Phi U(k)+U(k{)}^T{\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi U(k)+U^T(k)\mathcal{R}U(k)\\ & =x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}Fx(k)+2x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}\Phi U(k)+U(k{)}^T({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R})U(k)\end{array}\end{array}$$

$Fx(k)$ 和 $\Phi U(k)$ 维数相同（是系统状态的维数*N），而$\mathcal{Q}$是一个对角方阵，故$U(k{)}^T{\Phi }^T\mathcal{Q}Fx(k)=x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}\Phi U(k)=一个标量$，故红色部分相加相当于其中一个乘2

1.3 状态变量 $u(k)$ 的求解

Minimize the control function by predictive control series:
（可以不严谨地理解为：让$J$最小，相当于求$J$在$J$对$U$导数为0 点的值）
$${\nabla }_U{|}_{U=U^{\ast }}=\frac{\partial J}{\partial U}{|}_{U=U^{\ast }}=0$$
$$\frac{\partial J}{\partial U}=0+2x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}\Phi +2U(k{)}^T({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R})$$
令$\frac{\partial J}{\partial U}=0$，可得：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}\Phi +U(k{)}^T({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R})=0\\ (x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}\Phi +U(k{)}^T({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R}){)}^T=0\\ (x(k{)}^T{F}^T\mathcal{Q}\Phi {)}^T+({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R}{)}^{T}U(k)=0\\ {\Phi }^T\mathcal{Q}Fx(k)+({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R})U(k)=0\\ ({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R})U(k)=-{\Phi }^T\mathcal{Q}Fx(k)\\ U(k)=-({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R}{)}^{-1}{\Phi }^T\mathcal{Q}Fx(k)\end{array}\end{array}$$
即：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}U(k)=-({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R}{)}^{-1}{\Phi }^T\mathcal{Q}Fx(k)\\ (R>0,Q\ge 0;orR\ge 0,Q>0,and\Phi isfullyranked)\end{array}\end{array}$$

满足括号里的条件，$({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R})$才可逆

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{u}^{\ast }(k)& =-\left[\begin{array}{ccc}{I}_{p\times p}& 0& \cdots 0\end{array}\right]({\Phi }^T\mathcal{Q}\Phi +\mathcal{R}{)}^{-1}{\Phi }^T\mathcal{Q}Fx(k)\\ & =-K_{mpc}x(k)\end{array}\end{array}\end{array}$$
取 $u^{\ast }(k)$ ，则在 $U(k)$ 前乘一个分块矩阵，对角线上的第一个分块是一个单位阵，维度为控制输入的维度 $p$ ,如果不是多输入而是单输入，则 $p=1$ 。
$u^{\ast }(k)$ 最后化简为一个常数矩阵 $K_{mpc}$ （因为 $\Phi$, $\mathcal{Q}$, $\mathcal{R}$, $F$这些全部是已知量）乘上 $k$ 时刻的状态变量，从形式上看是状态反馈。
因此，无约束线性MPC实际上是一个线性反馈控制。

1.4 举例

写一段matlab程序，即可求解 $F$，$\Phi$ 和$u^{\ast }(k)$。但问题是，求解出来的$u^{\ast }(k)$是否能保证系统是稳定的？
对于有稳定性的判定，有李雅普诺夫直接法和李雅普诺夫间接法，见下：

1. $>0和<0$ 分别指的是正定和负定
2. 验证稳定性的前提是$K_{mpc}$ 存在
3. 可优化性 并不决定 可稳定性（两种可能的原因见下a和b），所以这里验证稳定性的操作是必要的。
4. 优化是在一段时间上进行的，在这段时间内，$x$不一定由大变小，也可能先变小再变大，从而不收敛
5. 对于非最小相位系统，系统响应方向可能相反，N取得不够大时，预测不能反映真实运动趋势，那么优化的不是系统真正的性能，导致不稳定的情况发生

本例采用李雅普诺夫间接法在离散时间系统下的判据
当$N$的取值越来越小，如下面这个例子所示， 特征值超出了单位圆，从而不稳定。

知道如何判断稳定性后，现在的问题变成了：每一次优化后，都要去验证一下系统的稳定性呢？有没有一种机制，保证每一次算出来的$K$都保证系统的稳定性？