线性代数基础【4】线性方程组

第四章 线性方程组

一、线性方程组的基本概念与表达形式

二、线性方程组解的基本定理

定理1 设A为mXn矩阵,则

(1)齐次线性方程组AX=0 只有零解的充分必要条件是r(A)=n;

(2)齐次线性方程组AX=0 有非零解(或有无数个解)的充分必要条件是r(A)<n

推论1 设A为n阶矩阵,则

(1)齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是|A|≠0;

(2)齐次线性方程组AX=0有非零解(或有无数个解)的充分必要条件是|A|=0

注意:

①齐次线性方程组系数矩阵的秩相当于方程组中约束条件的个数,当 r(A)=n 时,表示齐次线性方程组中未知数的个数与约束条件的个数相等,即没有自由变量,故齐次线性方程组只有零解;当 r(A)<n 时,表示齐次线性方程组中约束条件的个数小于未知数的个数,即有自由变量,故齐次线性方程组有无数个解

定理2 设A为mxn矩阵,增广矩阵A增=(A:b),则

(1)非齐次线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是r(A增)=r(A),其中当r(A增)=r(A)=n时,非齐次线性方程组AX=b有唯一解;当r(增A)=r(A)<n 时,非齐次线性方程组AX=b有无数个解;

(2)非齐次线性方程组AX=b 无解的充分必要条件是r(A增)≠r(A)

推论2 设A是n阶矩阵,则

(1)非齐次线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是r(A增)=r(A)其中当|A|≠0时方程组有唯一解;当|A|=0 时,方程组有无数个解;

(2)非齐次线性方程组AX=b 无解的充分必要条件是r(A增)≠r(A)

注意:

三、线性方程组解的结构

1.设X1,X2,…,Xs为齐次线性方程组AX=0的一组解,则k1X1,+k2X2+…+ksxs也为齐次线性方程组AX=0的解,其中k1,k2,…,ks,为任意常数

2.设η0为非齐次线性方程组AX=b 的一个解,X1,X2,…,Xn为齐次线性方程组AX=0的一组解,则k1X1+k2X2+…+ksxs+η0为非齐次线性方程组 AX=b 的解

3.设η1,η2为非齐次线性方组AX=b 的两个解,则η2-η1为齐次性方组AX=0的一个解.

4.设X1,X2,…,Xs,为非齐次线性方程组AX=b的一组解,则k1X1+k2X2+…+ksXs为AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1.

5.设η1,η2,…,ηs,为非齐次线性方程组AX=b 的一组解,则 k1η1+k2η2+···+ksηs,为齐次线性方程组AX=0 的解的充分必要条件是 k1+k2+…+ks=0.

四、线性方程组的组解

1.齐次线性方程组 AX=0 的基础解系与通解

(1)基础解系——设r(A)=r<n,则AX=0 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组AX=0的一个基础解系,当r(A)=r时,AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r个

求齐次线性方程组的基础解系时,把其系数矩阵通过初等行变换进行阶梯化(系数矩阵进行初等行变换相当于方程组的同解变形),每行第一个非零元素所在的列对应的未知数是约束变量,其余变量为自由变量,从而可以确定基础解系(最好把每行第一个非零元素化为1(归一性),且其所在的列其余元素都化为零(排他性))

如:对齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 进行初等行变换,化为

则r(A)=3<5,方程组AX=0的基础解系含有n-r=5-3=2个线性无关的解向量,其中x1,x2,x3为约束变量,x4,x5为自由变量,(x4,x5)分别取(1,0)和(0,1),则基础解系为

ξ1=(-2,1,一3,1,0)^T ξ2=(3,-4,2,0,1)^T

又如:对齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A进行初等行变换,化为

则r(A)=2<5,方程组AX=0的基础解系含有n-r=5-2=3 个线性无关的解向量,其中x1,x3为约束变量,x2,x4,x5为自由变量,(x2,x4,x5)分别取(1,0,0),(0,1,0)及(0,0,1),则基础解系为

ξ1=(1,1;0,0,0)^T ξ2=(-2,0,-1,1,0)^T ξ3=(-4,0,2,0,1)^T

注意:

设A为mXn 矩阵且r(A)=r<n,所谓AX=0的基础解系,即满足如下三个条件的向量组:

(1)该向量组中每个向量都是AX=0的解;

(2)该向量组线性无关:

(3)该向量组所含解向量的个数等于n-r

(2)通解——设ξ1,ξ2,…,ξn-r为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,则称k1ξ1+k2ξ12+…+k(n-r)ξ(n-r),为齐次线性方程组AX=0的通解,其中k1,k2,…,k(n-r)为任意常数.

2.非齐次线性方程组AX=b的通解

设r(A)=r(A增)=r<n,且ξ1,ξ2,…,ξ(n-r)=b的导出方程组AX-0的一个基础解系,η0为AX=b 的一个解,则AX=b的通解为

k1ξ1+k2ξ2+…+k(n-r)ξ(n-r)+η0,其中k1,k2,…,k(n-r),为任意常数

注意:

五、线性方程组的理论延伸

定理1 设A是mXn矩阵,B是nXs矩阵,若AB=0则B的列向量组为方程组AX=0的解

定理2 设方程组AX=0与BX=0为同解方程组,则r(A)=r(B),反之不对

定理3 设方程组AX=0的解为BX=0的解,则r(A)≥r(B)

注意:

1.若方程组AX=0的解为方程组BX=0的解,方程组BX=0的解不全是方程组AX=0的解,则r(A)>r(B)

2.若方程组AX=0的解为方程组 BX=0的解,且r(A)=r(B),则方程组AX=0与方程组BX=0同解

定理4

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.hqwc.cn/news/341048.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系编程知识网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

你为什么还在用Promise.all?

请停止在JavaScript中使用Promise.all() 什么是JavaScript中的Promise 如果您偶然发现这篇文章,那么您可能已经熟悉了promise。 但是,对于那些JavaScript新手来说,让我们来详细说明一下。 从本质上讲,Promise对象表示异步操作的最终完成或失败。 有趣的是,当创建promise时,其值…

halcon 标定板像素当量的标定

背景&#xff1a;当镜头不是远心镜头时&#xff0c;FA镜头没法知道一个像素的尺寸。 1、标定板信息 标定板7*7&#xff0c;圆的直径是1.25mm&#xff0c;两个圆的距离是2.5mm&#xff0c;求出每排两两圆心距的像素距离&#xff0c;然后平均值。两点的真实距离为D&#xff0c;…

Spring Boot - Application Events 的发布顺序_ApplicationEnvironmentPreparedEvent

文章目录 Pre概述Code源码分析 Pre Spring Boot - Application Events 的发布顺序_ApplicationEnvironmentPreparedEvent 概述 Spring Boot 的广播机制是基于观察者模式实现的&#xff0c;它允许在 Spring 应用程序中发布和监听事件。这种机制的主要目的是为了实现解耦&#…

Tensorflow2.0笔记 - Tensor的数据索引和切片

主要涉及的了基础下标索引"[]",逗号",",冒号":",省略号"..."操作&#xff0c;以及gather,gather_nd和boolean_mask的相关使用方法。 import tensorflow as tf import numpy as nptf.__version__tensor tf.random.uniform([1,5,5,3],…

电脑可以连接网络但浏览器无法访问部分或全部网页

啾咪&#xff01;离大谱了&#xff0c;电脑一段时间没有用&#xff0c;最近打开却发现可以连接网络但是无法访问部分网页&#xff08;如CSDN&#xff09;&#xff0c;显示如下&#xff1a; 有三种解决方法&#xff1a; &#xff08;1&#xff09;清除DNS缓存 步骤&#xff1a;…

归并排序例题——逆序对的数量

做道简单一点的题巩固一下 归并排序实现步骤 将整个区间 [l, r] 划分为 [l, mid] 和 [mid1, r]。 递归排序 [l, mid] 和 [mid1, r]。 将左右两个有序序列合并为一个有序序列。 题目描述 给定一个长度为 n 的整数数列&#xff0c;请计算数列中的逆序对的数量。 逆序对的定义…

基础篇_开发命令行程序(输入输出,类型、变量、运算符,条件语句,循环语句,方法,package与jar)

文章目录 一. 输入输出1. System.out2. System.in3. Scanner4. 变量名5. 关键字 二. 类型、变量、运算符1. 字符与字符串字符值与字符串值转义字符文本块 2. 类型何为类型数字类型字符类型 3. 变量与运算符变量运算符 4. 练习 - 房贷计算器Math.pow()数字格式化查阅 Javadoc 三…

git 的安装

git 的安装 在我们开始使用 Git 前&#xff0c;需要将它安装在我们的电脑上。即便已经安装&#xff0c;最好将它升级到最新的版本。 我们可以通过软件包或者其它安装程序来安装&#xff0c;或者下载源码编译安装。 本文只介绍通过在 windows 上安装软件包的方式&#xff0c;其…

每日一题——LeetCode1103.分糖果 ||

方法一 个人方法&#xff1a; 有多少人就创建多大的数组并把数组的所有元素初始化为0&#xff0c;只要还有糖果&#xff0c;就循环给数组从头到尾添加糖果&#xff0c;每次分的糖果数递增1&#xff0c;最后可能刚好分完也可能不够&#xff0c;不够就还剩多少给多少。 var dis…

Maven和MyBatis框架简单实现数据库交互

MyBatis是一种基于Java语言的持久层框架&#xff0c;它的主要目的是简化与数据库的交互过程。MyBatis通过XML或注解配置来映射Java对象和数据库表之间的关系&#xff0c;并提供了灵活的查询方式和结果集处理机制。MyBatis还提供了事务管理、缓存机制、插件扩展等特性。 使用My…

电阻如何读取阻值

前言&#xff1a;大家经常见到的贴片电阻上的丝印有纯数字、数字与R组合、数字与除R之外的字母组合的&#xff0c;但大家知不知道这样的标注与贴片电阻的i精度相关&#xff1f;同一个阻值因为精度不同&#xff0c;标注也会不同。例如封装为0805的贴片电阻&#xff0c;丝印473和…

Vue-8、Vue事件处理

1、点击事件 <!DOCTYPE html> <html lang"en" xmlns:v-model"http://www.w3.org/1999/xhtml" xmlns:v-bind"http://www.w3.org/1999/xhtml"xmlns:v-on"http://www.w3.org/1999/xhtml"> <head><meta charset&quo…