能控性与能观性

2023年11月25日
#controlsys

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1. 能控性

1.1 能控性（可控性）的引入

能控性问题 系统内部的所有状态是否可受输入的影响而改变？
可控性与可达性的对比

• 可控性：由任意非零状态转到零状态（可以找到一个输入量 $u$ 使得）
• 可达性：由零状态转移到任意非零状态
  对LTI系统：可控性 $\iff$ 可达性
  对离散或时变系统：可控性 $\nLeftrightarrow$ 可达性

1.2 LTI系统的可控性

Gram矩阵判据
$$系统完全能控\iff W_c(0,t_1)={\int }_0^{t_1}{e}^{-At}B{B}^{\mathrm{T}}{e}^{-A^{\mathrm{T}}t}\mathrm{d}t非奇异$$

秩判据
$$系统完全能控\iff \text{rank}([B,AB,A^{2}B,\cdots ,A^{n-1}B])=n$$

[!example]-
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& -4& -3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$$
$$\begin{array}{rl}{Q}_c=& [BAB{A}^{2}B]\\ & \\ =& \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& -1& 1\\ 0& 1& -1& 1& 1& -7\\ -1& 1& 1& -7& 1& 15\end{array}\right]\\ & \\ \text{rank}(Q_c)=& 3\end{array}$$
所以系统状态完全能控。

PBH秩判据
$$系统完全能控\iff \text{rank}([{\lambda }_{i}I-A,B])=n$$

Jordan规范型时候的判据

1. 若系统矩阵 $A$ 为对角阵，且特征值两两相异
   $$系统完全能控\iff B矩阵无全零行$$
2. 若系统矩阵 $A$ 为Jordan规范型
   $$\begin{array}{rl}& 系统完全能控\iff \\ & \\ 1.& A矩阵每个Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行不是全零行，且\\ & \\ 2.& A矩阵相同特征值的Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行线性无关\end{array}$$

[!example]-
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ {\dot{x}}_8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}-1& 1& & & & & & \\ & -1& & & & & & \\ & & -1& & & & & \\ & & & -1& & & & \\ & & & & 2& 1& & \\ & & & & & 2& & \\ & & & & & & 2& \\ & & & & & & & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ x_8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 4\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 3& 3\\ 8& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right]$$
第 $2，3，4，6，7，8$ 行 $B$ 矩阵满足条件 $1$
第 $2，3，4$ 行 $B$ 矩阵行线性无关，满足条件 $2$
第 $6，7$ 行 $B$ 矩阵行线性无关，满足条件 $2$
所以该LTI系统完全能控。

[!example]-
元素 $b_i\ne 0,i=1,2,3,4$ ，且两两相异，判断系统可控性
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_3\\ {\dot{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_1& & \\ & & {\lambda }_1& \\ & & & {\lambda }_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right]u$$
解：
由于 ${\lambda }_1$ 有四个Jordan块， $b_i\ne 0$ ，满足条件 $1$ ，但 $b_i$ 均为常数，即 $B$ 矩阵行线性相关，不满足条件 $2$ ，所以系统不完全可控。

1.3 LTV系统的可控性

通过秩判据，LTV系统的可控性秩判据矩阵如下：
$$\begin{array}{rl}\text{rank}(A)=& n\\ & \\ B_1(t)=& B(t)\\ & \\ B_i(t)=& -A(t)B_{i-1}(t)+{\dot{B}}_{i-1}(t),i=1,\cdots ,n\\ & \\ Q_c(t)=& [B_1(t)\cdots B_n(t)]\\ & \\ \text{rank}(Q_c(t))=& n⟺系统状态完全能控\end{array}$$

[!example]-
判断下列系统是否为完全能控
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{ccc}t& 1& 0\\ 0& t& 0\\ 0& 0& t^2\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]u,t\in [0,2]$$
解：由题可得
$$A(t)=\left[\begin{array}{ccc}t& 1& 0\\ 0& t& 0\\ 0& 0& t^2\end{array}\right],B(t)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$
$$B_1(t)=B(t)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$
$$B_2(t)=-A(t)B_1(t)+{\dot{B}}_1(t)=\left[\begin{array}{c}-1\\ -t\\ -t^2\end{array}\right]$$
$$B_3(t)=-A(t)B_2(t)+{\dot{B}}_2(t)=\left[\begin{array}{c}2t\\ t^2-1\\ t^4-2t\end{array}\right]$$
$$Q_c(t)=[B_1(t)B_2(t)B_3(t)]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 2t\\ 1& -t& t^2-1\\ 1& -t^2& t^4-2t\end{array}\right]$$
$$\text{rank}(Q_c)=3,t\in [0,2]$$
系统状态完全能控。

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2. 能观性

2.1 能观性（可观性）引入

可观性问题 系统内部的所有状态是否可以被输出所反映？

[!example]-
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1=& 4x_1+2u\\ & \\ {\dot{x}}_2=& -2x_2\\ & \\ y=& x_1\end{array}$$
由于输入量 $u$ 不能影响状态 $x_2$ ，所以系统不完全可控。
由于只有状态 $x_1$ 被输出， $x_2$ 无输出，所以系统不可观。
如果不外加输入，则状态方程的解
$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)=& e^{4t}{x}_1(0),状态x_1不稳定\end{array}$$
若令 $u=-3x_1$ ，则
$$\begin{array}{rl}{x}_1(t)=& e^{-2t}{x}_1(0),状态x_1稳定了\end{array}$$
如果输出 $y=x_2$ ， $x_1$ 没有被输出，则无法实现使状态 $x_1$ 趋于稳定的控制律 $u=-3x_1$ ，所以只有当 $x_1$ 可观，才能有 $u=-3x_1$ 。

由上面的例子，可以得到结论：

• 状态可控，则可以让不稳定的状态趋于稳定
• 状态可观，则可以实现让状态趋于稳定的控制律 $u$

即可控决定了状态能否稳定，可观决定了让状态稳定的控制量 $u$ 能否实现。

2.2 LTI系统的可观性

Gram矩阵判据
$$系统完全能观\iff W_o(0,t_1)={\int }_0^{t_1}{e}^{-A^{\mathrm{T}}t}{C}^{\mathrm{T}}C{e}^{-At}\mathrm{d}t非奇异$$

秩判据
$$系统完全能观\iff \text{rank}(\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right])=n$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 2& 0& 8\end{array}\right]$$

[!example]-
$$\begin{array}{rl}{Q}_o=& \left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\end{array}\right]\\ & \\ =& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 2& 0& 8\\ -2& 1& -8\\ -4& 2& -16\\ 4& -4& 16\\ 8& -8& 32\end{array}\right]\\ & \\ \text{rank}(Q_o)=& 2\end{array}$$
所以系统状态不是完全能观的。

PBH秩判据
$$系统完全能控\iff \text{rank}(\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{i}I-A\\ C\end{array}\right])=n$$

Jordan规范型时候的判据

1. 若系统矩阵 $A$ 为对角阵，且特征值两两相异
   $$系统完全能控\iff C矩阵无全零列$$
2. 若系统矩阵 $A$ 为Jordan规范型
   $$\begin{array}{rl}& 系统完全能观\iff \\ & \\ 1.& A矩阵每个Jordan块的首列对应的C矩阵的列不是全零列，且\\ & \\ 2.& A矩阵相同特征值的Jordan块的首列对应的C矩阵的列线性无关\end{array}$$

[!example]-
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ {\dot{x}}_8\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cccccccc}3& 1& & & & & & \\ & 3& & & & & & \\ & & 3& & & & & \\ & & & 3& & & & \\ & & & & 2& 1& & \\ & & & & & 2& & \\ & & & & & & 2& \\ & & & & & & & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ ⋮\\ x_8\end{array}\right]\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{cccccccc}2& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 2& 4& 0& 7\\ 0& 0& 0& 3& 3& 0& 1& 0\end{array}\right]x\end{array}$$
第 $1，3，4，5，7，8$ 列 $C$ 矩阵满足条件 $1$
第 $1，3，4$ 列 $C$ 矩阵满足条件 $2$
第 $5，7$ 列 $C$ 矩阵满足条件 $2$
所以该LTI系统完全能观。

2.3 LTV系统的可观性

通过秩判据，LTV系统的可观性秩判据矩阵如下：
$$\begin{array}{rl}\text{rank}(A)=& n\\ & \\ C_1(t)=& C(t)\\ & \\ C_i(t)=& C_{i-1}(t)A(t)+{\dot{C}}_{i-1}(t),i=1,\cdots ,n\\ & \\ Q_c(t)=& \left[\begin{array}{c}{C}_1(t)\\ ⋮\\ C_n(t)\end{array}\right]\\ & \\ \text{rank}(Q_c(t))=& n⟺系统状态完全能观\end{array}$$

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3. 状态向量的非奇异线性变换

LTI系统$$\begin{array}{rl}& \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ & y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$
线性变换$$\begin{array}{ll}\dot{\bar{x}}=\bar{A}\bar{x}+\bar{B}u& x=T\bar{x}\\ y=\bar{C}\bar{x}+\bar{D}u& \end{array}$$
其中
$$\begin{array}{rl}\bar{A}=& T^{-1}AT\\ & \\ \bar{B}=& T^{-1}B\\ & \\ \bar{C}=& CT\\ & \\ \bar{D}=& D\bar{x}(0)=T^{-1}{x}_0\end{array}$$
系统的状态描述改变了，系统矩阵 $A$ 也改变了。使用 $x=T\bar{x}$ 的写法是出于习惯，这样变换矩阵相当于过渡矩阵，过渡矩阵的每一列列向量相当于新的坐标轴的基向量。[[坐标变换与相似变换#1. 基变换与坐标变换]]
非奇异线性变换的不变性

1. 可控性不变
2. 可观性不变
3. 特征值不变
4. 传递函数不变
5. $D$ 矩阵不变

两个推导：

[!info]- proof
$$\begin{array}{rl}|\lambda I-A|=& 0\\ & \\ |\lambda P^{-1}IP-P^{-1}AP|=& 0\\ & \\ |P^{-1}(\lambda I)P-P^{-1}AP|=& 0\\ & \\ |P^{-1}(\lambda I-A)P|=& 0\\ & \\ |P^{-1}||\lambda I-A||P|=& 0\Rightarrow |\lambda I-A|=0\end{array}$$

[!info]- proof
$$\begin{array}{rl}G(s)=& C(sI-A{)}^{-1}B-D\\ & \\ G^{\prime }(s)=& CP(sI-P^{-1}AP{)}^{-1}{P}^{-1}B-D\\ & \\ =& CP(P^{-1}(sI-A)P{)}^{-1})P^{-1}B-D\\ & \\ =& CP{P}^{-1}(sI-A{)}^{-1}P{P}^{-1}B-D\\ & \\ =& C(sI-A{)}^{-1}B-D\end{array}$$

3.1 LTI能控性分解

当系统不完全能控时，选择变换矩阵 $P$ ，使得系统能控的部分与不能控的部分在状态方程的写法上分开。
$$x=P\bar{x}$$
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_c\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{c}}\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{A}}_c& {\bar{A}}_{12}\\ 0& {\bar{A}}_{\bar{c}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\bar{B}}_c\\ 0\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{C}}_c& {\bar{C}}_{\bar{c}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_c\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{c}}\end{array}\right]\end{array}$$

P矩阵的选择如下：

1. 选择能控性秩判据矩阵中线性无关的列做为 $P$ 矩阵的前几列
2. 构造出与前几列线性无关的向量做为 $P$ 矩阵的后几列

直观上是将可控的状态从不可控的状态的动态中分离，使得不可控状态的动态不含可控状态，而可控状态的动态可能会受不可控状态的影响。
能控性分解的步骤

1. 求能控性秩判据矩阵，得到系统不完全能控
2. 构造 $P$ 矩阵，并求出 $P^{-1}$ 矩阵
3. 求出线性变换后的系统，写出系统的能控部分的状态方程

[!example]-
$$\begin{array}{rl}\dot{x}=& \left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 4& -3\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]x\end{array}$$
$$\text{rank}(Q_c)=\text{rank}([bAb{A}^{2}b])=\text{rank}(\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -4\\ 0& 0& 0\\ 1& 3& 8\end{array}\right])=2$$
$$\therefore P=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 3& 0\end{array}\right],P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$
$$\bar{A}=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}0& -4& 2\\ 1& 4& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
$$\bar{B}=P^{-1}B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
$$\bar{C}=C{P}^{-1}=[12-1]$$
$$\bar{x}=P^{-1}x=\left[\begin{array}{c}3x_1+x_3\\ -x_1\\ x_2\end{array}\right]$$

[!example]-
Reduce the state equation 化简状态方程
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 4& -1\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]u,y=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]x$$
to a controllable one. Is the reduced equation observable? 到一个能控的形式，这个化简后的方程能观吗？
解：由题可得
$$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 4& -1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],C=[11]$$
$$Q_c=[BAB]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right]$$
选择
$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right],P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$$
$$\bar{A}=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 4& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& -5\end{array}\right]$$
$$\bar{B}=P^{-1}B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\bar{C}=CP=[21]$$
因此对 $\bar{x}=P^{-1}x$ 有
$$\dot{\bar{x}}=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& -5\end{array}\right]\bar{x}+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]u$$
$$y=[21]\bar{x}$$
方程可以被简化为
$${\dot{\bar{x}}}_1=3{\bar{x}}_1+u+4{\bar{x}}_2$$
$$y=2{\bar{x}}_1+{\bar{x}}_2$$
此时系统是能观的。

3.2 LTI能观性分解

当系统不完全能观时，选择变换矩阵 $P$ ，使得系统能观的部分与不能观的部分在状态方程的写法上分开。
$$\bar{x}=Px$$
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_o\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{o}}\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{A}}_o& 0\\ {\bar{A}}_{21}& {\bar{A}}_{\bar{o}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\bar{B}}_o\\ {\bar{B}}_{\bar{o}}\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{cc}{\bar{C}}_o& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_o\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{o}}\end{array}\right]\end{array}$$

P矩阵的选择如下：

1. 选择能观性秩判据矩阵中线性无关的行做为 $P$ 矩阵的前几行
2. 构造出与前几行线性无关的行向量做为 $P$ 矩阵的后几行

能控性分解的步骤

1. 求能观性秩判据矩阵，得到系统不完全能观
2. 构造 $P$ 矩阵，并求出 $P^{-1}$ 矩阵
3. 求出线性变换后的系统，写出系统的能控部分的状态方程

[!example]-
$$\begin{array}{rl}\dot{x}=& \left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 4& -3\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\end{array}\right]x\end{array}$$
$$\text{rank}(Q_o)=\text{rank}(\left[\begin{array}{c}c\\ cA\\ c{A}^2\end{array}\right])=\text{rank}(\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -3& 2\\ 4& -7& 4\end{array}\right])=2$$
$$\therefore P=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -3& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right],P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 2& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
$$\bar{A}=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -2& 3& 0\\ -5& 3& 2\end{array}\right]$$
$$\bar{B}=P^{-1}B=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$$
$$\bar{C}=C{P}^{-1}=[100]$$
$$\bar{x}=P^{-1}x=\left[\begin{array}{c}3x_1-x_2+x_3\\ 2x_1-x_2\\ x_3\end{array}\right]$$

3.3 Kalman分解定理

可以通过等价变换将任一状态方程变换为以下标准型
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{\bar{x}}}_{co}(t)\\ {\dot{\bar{x}}}_{c\bar{o}}(t)\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{c}o}(t)\\ {\dot{\bar{x}}}_{\bar{c}\bar{o}}(t)\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cccc}{\bar{A}}_{co}& 0& {\bar{A}}_{13}& 0\\ {\bar{A}}_{21}& {\bar{A}}_{c\bar{o}}& {\bar{A}}_{23}& {\bar{A}}_{24}\\ 0& 0& {\bar{A}}_{\bar{c}o}& 0\\ 0& 0& {\bar{A}}_{43}& {\bar{A}}_{\bar{c}\bar{o}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\bar{x}}_{co}(t)\\ {\bar{x}}_{c\bar{o}}(t)\\ {\bar{x}}_{\bar{c}o}(t)\\ {\bar{x}}_{\bar{c}\bar{o}}(t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\bar{B}}_{co}\\ {\bar{B}}_{c\bar{o}}\\ 0\\ 0\end{array}\right]u(t)\\ & \\ y(t)=& \left[\begin{array}{cccc}{\bar{C}}_{co}& 0& {\bar{C}}_{\bar{c}o}& 0\end{array}\right]\bar{x}(t)+Du(y)\end{array}$$

[!example]-
Reduce the state equation
$$\begin{array}{rl}\dot{x}=& \left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2& 1\\ 0& 0& 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 0& 1\end{array}\right]x\end{array}$$
to a controllable and observable equation.
解：方程可以被重写成成
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_5\\ {\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_3\\ {\dot{x}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 0& 0& 1& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& 0& 0\\ 1& 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ x_5\\ x_1\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]u$$
$$y=[11010]\overline{\stackrel{ˉ}{x}}$$
方程还可以被化简成
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ x_5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]$$
$$y=[11]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ x_5\end{array}\right]+[010]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]$$
这个方程是即能控又能观的。

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5. 其他

5.1 对偶定理

矩阵对系统 $(A,B)$ 能控，当且仅当矩阵对系统 $(A^{\mathrm{T}},B^{\mathrm{T}})$ 能观时。此时 $B^{\mathrm{T}}$ 相当于 $C$ 矩阵。

5.2 能控性能观性和传递函数的关系

考虑一个对角型的SISO系统
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_3\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]u\\ & \\ y=& \left[\begin{array}{ccc}{c}_1& c_2& c_3\end{array}\right]x\end{array}$$
其中 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne {\lambda }_3$ 。
显然，如果要系统可控，则要 $b_1,b_2,b_3\ne 0$ 。
要系统可观，则有 $c_1,c_2,c_3\ne 0$ 。传递函数如下；
$$\begin{array}{rl}\frac{Y(s)}{U(s)}=& C(sI-A{)}^{-1}B\\ & \\ =& \left[\begin{array}{ccc}{c}_1& c_2& c_3\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}s-{\lambda }_1& & \\ & s-{\lambda }_2& \\ & & s-{\lambda }_3\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]\\ & \\ =& [\frac{c_1}{s-{\lambda }_1}\frac{c_2}{s-{\lambda }_2}\frac{c_3}{s-{\lambda }_3}]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]\\ & \\ =& \frac{c_1{b}_1}{s-{\lambda }_1}+\frac{c_2{b}_2}{s-{\lambda }_2}+\frac{c_3{b}_3}{s-{\lambda }_3}\end{array}$$
如果 $b_1=0$ ，则状态 $x_1$ 不可控，这会导致 $c_1{b}_1$ 等于 $0$ ，相当于传递函数存在零极点相消，导致特征方程阶数降低。
SISO几个结论；

• 当SISO传递函数有零极点相消时，系统不可控或不可观
• 当SISO传递函数有零极点相消时，系统传递函数极点是系统矩阵 $A$ 的特征值的真子集
• SISO的LTI系统可控可观的充要条件：系统传递函数没有零极点相消
• SISO的LTI系统可控可观时，没有零极点相消，传递函数极点与 $A$ 的特征值完全一致

[!example]-
$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+1}{(s+1)(s+3)}=\frac{0}{s+1}+\frac{1}{s+3}$$
系统的不可控可观实现：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}-1& \\ & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u\\ & \\ y=& [101]x\end{array}$$
系统的可控不可观实现：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}-1& \\ & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right]u\\ & \\ y=& [01/10]x\end{array}$$
系统的不可控不可观实现：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=& \left[\begin{array}{cc}-1& \\ & -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 10\end{array}\right]u\\ & \\ y=& [01/10]x\end{array}$$

5.3 一些题目

[!info]- proof
设有单变量定常系统 $\dot{x}=Ax+by,y=cx$ ，已知 $(A,b)$ 能控，试问是否存在 $c$ 使得 $(A,c)$ 总是能观的。请加以论证，并举一个例子来支持你的论证。
证明：
由于系统能控，则通过线性变换 $\hat{x}=Q_c^{-1}x$, 将系统变换为能控规范型
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& & & -a_0\\ 1& 0& & & -a_1\\ 0& 1& \ddots & & -a_2\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & 1& -a_{n-1}\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]u,y=\hat{c}x$$
其中 $Q_c=\left[\begin{array}{ccccc}b& Ab& A^{2}b& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right],\hat{c}=c{Q}_c$
要使系统总是能观，只要$\hat{c}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]$，即系统具有能观标规范式，也就是 $c$ 满足
$c=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]Q_c^{-1}$。

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下链

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