P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数题解-编程知识

P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数题解

题目

形如 $2^{p}-1$ 的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数， $2^{p}-1$ 不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

任务：输入P(1000<P<3100000)，计算 $2^{p}-1$ 的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

输入输出格式

输入格式

文件中只包含一个整数P(1000<P<3100000)

输出格式

第一行：十进制高精度数 $2^{p}-1$ 的位数。

第2∼11行：十进制高精度数 $2^{p}-1$ 的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）

不必验证 $2^{p}-1$ 与P是否为素数。

输入输出样例

输入样例

输出样例

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

解析

这道题可以分为两个模块，第一个模块为求的位数，第二个模块为求的后500位（不足补零）。我们主要来解决第一个模块：

一、求位数

首先我们知道 $2^{p}-1$ 和 $2^{p}$ 有着相同的位数，因为2的次方满足了最后一位不为零的要求，所以减一后位数并不会改变，那么我们可以直接求 $2^{p}$ 的位数。那么怎么求位数呢？我们不妨设 $k=2^{p}$ ,根据 $10^{n}$ 的位数为n+1,我们只要想办法把 $k=2^{p}$ 中的底数2改为10，指数加一就是位数了。由此想到用10的几次方来代替2，那么就不难想到 $10^{log_{10}2}=2$ ,这样便可以把 $k=2^{p}$ 中的2代换掉，变为 $k=\left ( 10^{log_{10}2} \right )^{p}$ .根据乘方的原理，将p乘进去，原式便可化为我们最终想要的形式 $k=10^{log_{10}2\ast p}$

了，所以位数就是 $log_{10}2\ast p+1$ （C++中cmath库自带log10()函数）

二、求最后500位数

根据快速幂的模板加上高精度乘法就可以直接解决。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int p,f[1001],res[1001],sav[1001];
void result1(){memset(sav,0,sizeof(sav));for(int i=1;i<=500;i++){for(int j=1;j<=500;j++){sav[i+j-1]+=res[i]*f[j];//sav[]数组作为一个中间变量 }}for(int i=1;i<=500;i++){sav[i+1]+=sav[i]/10;sav[i]%=10;}memcpy(res,sav,sizeof(res));//把sav中的值赋给res中 
}
void result2(){memset(sav,0,sizeof(sav));for(int i=1;i<=500;i++){for(int j=1;j<=500;j++){sav[i+j-1]+=f[i]*f[j];//f自乘 }}for(int i=1;i<=500;i++){sav[i+1]+=sav[i]/10;sav[i]%=10;}memcpy(f,sav,sizeof(f));//把sav中的值赋给f中 
}
int main(){cin>>p;cout<<(int)(log10(2)*p+1)<<endl;res[1]=1;//存储最终的答案 f[1]=2;//存储快速幂中的base while(p!=0){//快速幂模板 if(p%2==1){result1();}p/=2;result2();}res[1]-=1;//最终的结果求得是2^p-1 for(int i=500;i>=1;i--){if(i!=500&&i%50==0){cout<<endl;cout<<res[i];}else{cout<<res[i];}}return 0;
}

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