【Java 数据结构】优先级队列(堆)

优先级队列（堆）

  • 1. 优先级队列
    • 1.1 概念
  • 2. 优先级队列的模拟实现
    • 2.1 堆的概念
    • 2.2 堆的存储方式
    • 2.3 堆的创建
      • 2.3.1 堆向下调整
      • 2.3.2 堆的创建
      • 2.3.3 建堆的时间复杂度
    • 2.4 堆的插入与删除
      • 2.4.1 堆的插入
      • 2.4.2 堆的删除
    • 2.5 用堆模拟实现优先级队列
  • 3.常用接口介绍
    • 3.1 PriorityQueue的特性
    • 3.2 PriorityQueue常用接口介绍
  • 4. 堆的应用
    • 4.1 PriorityQueue的实现
    • 4.2 堆排序

1. 优先级队列

1.1 概念

前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，
在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

2. 优先级队列的模拟实现

JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

2.1 堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树。
    在这里插入图片描述

2.2 堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储
在这里插入图片描述
注意：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率比较低。

将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：

  • 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
  • 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
  • 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

2.3 堆的创建

2.3.1 堆向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？
在这里插入图片描述
仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。

向下过程(以小堆为例)：

  1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)
  2. 如果parent的左孩子存在，即:child < size， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在
    parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标将parent与较小的孩子child比较，如果：
    • parent小于较小的孩子child，调整结束
    • 否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子
      树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后继续步骤2。
      在这里插入图片描述
public void shiftDown(int[] array, int parent) {// child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右int child = 2 * parent + 1;int size = array.length;while (child < size) {// 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){child += 1;}// 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了if (array[parent] <= array[child]) {break;}else{// 将双亲与较小的孩子交换int t = array[parent];array[parent] = array[child];array[child] = t;// parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整parent = child;child = parent * 2 + 1;}}
}

注意：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

时间复杂度分析：
最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为log2（n）

2.3.2 堆的创建

那对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？
在这里插入图片描述
参考代码：

public static void createHeap(int[] array) {// 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整int root = ((array.length-2)>>1);for (; root >= 0; root--) {shiftDown(array, root);}
}

2.3.3 建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是
近似值，多几个节点不影响最终结果)：
在这里插入图片描述
因此：建堆的时间复杂度为O（N）

2.4 堆的插入与删除

2.4.1 堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

  1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
  2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质
    在这里插入图片描述
public void shiftUp(int child) {// 找到child的双亲int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) {// 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束if (array[parent] > array[child]) {break;}else{// 将双亲与孩子节点进行交换int t = array[parent];array[parent] = array[child];array[child] = t;// 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增child = parent;parent = (child - 1) / 1;}}
}

2.4.2 堆的删除

注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素。具体如下：

  1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
  2. 将堆中有效数据个数减少一个
  3. 对堆顶元素进行向下调整
    在这里插入图片描述

2.5 用堆模拟实现优先级队列

public class MyPriorityQueue {// 演示作用，不再考虑扩容部分的代码private int[] array = new int[100];private int size = 0;public void offer(int e) {array[size++] = e;shiftUp(size - 1);}public int poll() {int oldValue = array[0];array[0] = array[--size];shiftDown(0);return oldValue;}public int peek() {return array[0];}
}

3.常用接口介绍

3.1 PriorityQueue的特性

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线
程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue。
在这里插入图片描述
关于PriorityQueue的使用要注意：

  1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

import java.util.PriorityQueue;

  1. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出
    ClassCastException异常
  2. 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
  3. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
  4. 插入和删除元素的时间复杂度为O（log2(n)）
  5. PriorityQueue底层使用了堆数据结构
  6. PriorityQueue默认情况下是小堆—即每次获取到的元素都是最小的元素

3.2 PriorityQueue常用接口介绍

  1. 优先级队列的构造
    在这里插入图片描述
static void TestPriorityQueue(){
// 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();// 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacityPriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();list.add(4);list.add(3);list.add(2);list.add(1);// 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象// q3中已经包含了三个元素PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);System.out.println(q3.size());System.out.println(q3.peek());
}

注意：默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户提供比较器

// 用户自己定义的比较器：直接实现Comparator接口，然后重写该接口中的compare方法即可
class IntCmp implements Comparator<Integer>{@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o2-o1;}
}public class TestPriorityQueue {public static void main(String[] args) {PriorityQueue<Integer> p = new PriorityQueue<>(new IntCmp());p.offer(4);p.offer(3);p.offer(2);p.offer(1);p.offer(5);System.out.println(p.peek());}}

此时创建出来的就是一个大堆。
2. 插入/删除/获取优先级最高的元素
在这里插入图片描述

注意：以下是JDK 1.8中，PriorityQueue的扩容方式：

private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
private void grow(int minCapacity) {int oldCapacity = queue.length;// Double size if small; else grow by 50%int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?(oldCapacity + 2) :(oldCapacity >> 1));// overflow-conscious codeif (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
}private static int hugeCapacity(int minCapacity) {if (minCapacity < 0) // overflowthrow new OutOfMemoryError();return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?Integer.MAX_VALUE :MAX_ARRAY_SIZE;
}

优先级队列的扩容说明：

  • 如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
  • 如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
  • 如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容

4. 堆的应用

4.1 PriorityQueue的实现

用堆作为底层结构封装优先级队列

4.2 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

  1. 建堆
    • 升序：建大堆
    • 降序：建小堆
  2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

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