质数（素数）

定义

判断是否为质数

暴力写法，试除法

基本思想

从定义出发，判断是否为质数
1、小于2的数，统一返回false
2、遍历 i 从2到小于n（即除去1和n）
判断是否有n % i == 0 的，表示这中间有i可以整除，如果有，返回false

最后返回true

具体写法

优化

基本思想（时间复杂度根号n）

利用质数的性质，当d能被n整除时，n/d 也能被n整除，
所以，只需要判断从2到根号n有无能让d整除的数即可

具体写法

这里的 i 就是上面的d，循环 i 判断是否有数能让n整除，也就是上面的判断d是否能让n整除

分解质因数

分析题意

质因子分解，就是输出几组质数并输出他们对应的数量，他们乘积等于输入的数

暴力写法

基本思想

直接循环所有从2到等于n的数，如果能找到一个被n整除的 i ，那么 i 一定是一个质数，这里与上面判断质数的代码要区分开，
上面写到：
for循环里，if（n % i == 0） return false
因为上面是判断n是否为质数，跟 i 没有关系
而本题的重点不在n，而是他的因子 i，所以这里当可以整除时， i 一定是一个质数，这句话就不会与上面矛盾了

具体代码

纠正：int x 改为 int n
循环i从2到小于等于n，其中如果找到了一个i能被n整除，那么这个i一定是质数，他就是我们要找的质因子之一（具体原因见上方“基本思想”），之后循环计算 i 的次数即可
循环计算质数次数时：
首先定义一个计数器s=0；
之后，while循环，条件是n 还可以整除 i
条件成立，就更新n 为 n/i，（因为题设是多个质因子的乘积，所以要进行下一步判断的话，要先将已经判断出来的 i 除去）
之后计数器++
输出质子以及出现的次数

优化

基本思想（时间复杂度小于等于根号n）

利用性质：n中最多只包含一个大于根号n的质因子
证明：如果有两个大于跟好n的质因子，那么这两个相乘，一定大于n，不成立，所以该性质成立，我们可以利用这个性质进行优化

具体代码

将for循环的 i ，从2开始循环到 小于等于n/i
然后，其他的不变，在for循环结束之后，如果n>1（因为n在上面的过程中，不断的被除开，不断的变小，被除开的原因见上面“未优化时具体代码的解释”）,那么这个n就是那个大于根号n的质因子，他的个数永远为1，因为只存在一个大于根号n的质因子

tip：puts（“”）；可以输出一行回车
同时puts（“字符串”）；可以输出字符串

筛质数（区别于判断质数，这个是筛选出来并保存，质数的数目较多）

基本思想

从2开始，删除后面2的倍数、删除3的倍数、4、5…
最后留下的都是质数，
因为假设p被留下了，那么就是前面2到p-1都没能把p删掉，也就是前面的倍数都没有p，所以p也就没有除去1和本身以外的因子，所以p一定是质数

具体代码

纠正：17行 primes【】= i
prime数组用来存放质数
cnt用来移动prime数组里的坐标，同时也在计数
st数组用来记录某个数是否被删掉了

首先从2到小于等于n遍历 i
之后 直接判断是否st[i]为假，如果是，那么放入prime数组中，并且cnt++
if之后，使用for循环对倍数进行删除：
初始化 j 为 i+i ; j <=n ; j += i
st[j]=true
初始化为 i 的2倍，之后递增条件是在 j 的基础上依次加 i，这样就可以找到 i 的所有倍数

优化（埃氏算法）

基本思想（时间复杂度约为n）

我们的目的是删掉合数，
任何一个合数都会被筛掉，因为质数的倍数包括所有的合数，任何一个合数都有一个质因子
所以我们只需要删除出来前面质数的倍数即可

具体代码

纠正：17行 primes【】= i
将for循环放入if里面即可

优化2（线性筛法）

基本思想

埃氏筛法：
我们的目的是删掉合数，
任何一个合数都会被筛掉，因为质数的倍数包括所有的合数，任何一个合数都有一个质因子
所以我们只需要删除出来前面质数的倍数即可

线性筛法的思路仍然是删掉质数的倍数 ， 但是这种算法是根据每个最小质因子的倍数去筛，效率更高

具体代码

仍然是for循环 i 从2到小于等于 n
之后if不变
改变一下第二个for循环 ：
j初始化为0 ；之后primes[j]<= n/i ；j++
然后标记st[primes[ j ] * i ]=true; （删除每个最小质因子的倍数）
之后加一个if （i % primes[ j ] == 0） break; （这一步可以保证primes[ j ]是 i 的最小质因子）

注意点：关于筛质数的三个算法中，只有该算法的第二个for循环不同于其他两个，前两个的第二个for循环都一样，只是位置不同，要特别注意

约数

求一个数的所有约数

试除法

注意返回值是一个vector容器

首先是for循环从1到小于等于n
if i能被n整除
那么这个i就是一个约数，加入到容器中
另外这里需要一个特判：如果 i != n / i ，就把n / i 加到容器中，（因为约数不同于质数，约数是成对出现的，当我们找到一个 i 之后，可以顺势将其成对的另一个也加入到容器，前提是 i != n / i ，保证是两个成对的约数不相同时才加进去）

约数个数

基本思想

对于一个数N，可以写成多项的多次相乘的形式，这样的话，约数个数就是各个指数各自加一之后相乘的结果
原因：因为约数也就是N的因子，当N写成上图这种形式的时候，随便去掉一个p的一个次幂，相当于提出来了一个p的一次，而剩下的部分，还是N的因子，也还是N的约数，而a1次方的话，有0到a1一共（a1+1）种提法，所以所有的提法排列组合的个数，就是约数的个数

具体题目+代码

题目以及分析

该题是一个n个整数乘积的原始数，所以，我们在求这个数的约数个数时，要先将乘积得到的结构进行分解，分解成指数相乘形式，具体我们可以先对每一个数进行分解，每个数分解出来指数形式之后，存入一个map里，这样依次进行下去，就可以得到一个个的底数和次幂组合，拿到这些组合，就可以计算约数个数或者约数之和

代码

首先，操作的目标放在每一个输入进来的数，依次对其进行分解，分解的方式采用质因子分解：（实际上与上面的质因子分解如出一辙）：
对于n个循环，每输入一个x，
我们对其进行一个for循环，i 从2到 小于等于 x / i
for循环里while循环，如果有x % i ==0
更新x（去除掉 i 部分）
同时primes[ i ] ++，i 的map值就是以 i 为底的组合中的次幂部分
for循环之后，就是对那个大于根号x的质子的特判，将其加入到primes的map中

之后就是根据题设套不同的公式，这里是求约数的个数，带入约数的个数公式即可，如上图

tips：

typedef long long LL；
数据范围巨大的数会用到LL

10的9次方+7，表示为： 1e9+7

约数之和

基本思想

具体代码

核心代码与上面的一样，不同的是公式的计算
for循环里面使用迭代器
对于每一个prime，先取出来first 以及 second
然后计算出他的p的0+p的1+p的2+p的3+…：
while（a–）t = （t * p +1），这样的话就可以得到p的0+p的1+p的2+p的3+…，上图取mod，是为了在这里取一次，可以节省效率
之后将while得到的t，乘入res，并取模，即可

具体while中的公式效果见下图：

求最大公约数

基本思想（欧几里得算法）

重要的是上图第二行被框住的部分
a 和 b 的最大公约数，可以转化为求b 和 a mod b 的最大公约数

具体代码

一行的模版
直接返回 b ？gcd（b, a % b ） : a
当b不为0时，返回gcd（b , a % b）,递归下去
当b等于0，返回a即可

欧拉函数

公式法求欧拉函数

定义

1~n中与n互质的数的个数，就是欧拉函数

关于互质：

基本思想

求f（N）时，1、对N质因数分解
2、套入公式
对于公式的证明，见数论知识（2）视频
时间复杂度：根号N
（如果求n个数的欧拉函数，那么最终的时间复杂度就是n乘根号N）

例题+代码

主要就是先：质因子分解
之后套用欧拉函数的公式即可

补充：其中在while进行质因子操作之前的对于res的计算：
按照公式应该是：res = res * （1-1/ i ）
经过化简才成为上图的样子

筛法求欧拉函数

基本思想

借鉴“线性筛质数”的代码，在线性筛法的基础上进行改造

适用场景：

如果题目分别求1~N每个数的欧拉函数，那么时间复杂度就会变成N倍的根号N，当我们使用筛法求欧拉函数的方法的时候，就可以把时间复杂度优化成O(N)

例题+代码

上图是单纯的一个线性筛质数法的代码，接下来，在这个的基础上进行添加代码，

首先，要加一个数组用来存放每个数的欧拉函数（即1~某个数中与该数互质的个数）
之后增加的第一行，phi[1]=1;（数学规定，1的互质数只有一个）
之后是增加的第二行，phi[i]=i-1;（如果 i 是质数，那么1~i 中与 i 互质的数有i-1个，除了 i 本身，其他都与 i 互质）

之后是增加的第三行， 当i % primes[ j ]时 ，phi[ primes[j] i ] = phi[ i ] 星 primes[ j ]；（具体解释见下图）

当i % primes[ j ]时，根据欧拉函数的公式，primes[j]（之后简称pj），pji的欧拉函数比 i 自己的欧拉函数要多出一个pj
因为欧拉函数的公式是与质因子以及括号里的自变量有关，由于i % primes[ j ]，所以pj是 i 的一个质因子，所以，pji的质因子底数与 i 的质因子底数一模一样，只不过pji的质因子中pj的指数多一，但是欧拉函数并不考虑指数，所以二者质因子部分并无差异，只是在括号里的自变量不同，从而推出来上面的式子

当 i % primes[ j ] 不等于0时，这时借鉴上面的分析，pj*i的欧拉函数比 i的欧拉函数多了一个pj以及（1-1/pj），化简可得，上图红色公式，所以有了增加的第四行代码

欧拉定理

如下公式即是欧拉定理

推论：

当p为质数的时候，会有这样的推论，因为p如果是质数，有p的欧拉函数是p-1

快速幂

求a的k次方modp

基本思想

使用快速幂，可以在O(log K)的时间复杂度下得到a的k次方 mod p 的结果
具体步骤：
1、首先我们预处理出来a的（2的0次）次方、a的（2的1次）次方、…a的（2的log K次）次方，这些mod p的结果
2、之后，我们可以将任何一个a的k次方，使用这些预处理出来的结果表示出来，具体原理依据二进制，任何一个十进制的k，都可以写成二进制的k，也就可以写成2的各个次方的和，也就可以写成多个a的（2的某次方）的乘积，从而就可以用那些以及预处理出来的数据，对任何一个数据进行表示

而对于log k个预处理出来的数据，得到的方式如下：

可以看到，每个数都是前一个数的平方得到的，或者可以直接使用mod p 之后的最终结果
都是前一个结果平方后再mod p 得到的
如下是一个例子：

例题+代码

tips：int 能承载的范围是10的9次方，即1e9，所以，一旦有超过这个范围的数据，就要使用long long来接管了

k & 1，是用来查看k的个位数是否为1
k >> 1，是用来消除k的个位数

首先，初始化res=1，
之后while（k）{
if 如果k的个位是1，那么表示这里有二进制要使用当前预处理的数据，那么就将答案乘以当前的a，同时mod p， 即 res = res *a % p
判断完之后，更新k，将其个位删除，即k >> 1
之后更新下一个预处理的数据，a = a *a % p
}
最后返回res

快速幂求逆元

例题+代码

基本思想

关于逆元

由逆元的定义可以得到下图：，在mod m的情况下，a/b的余数等于a*x的余数，则x是b在mod m下的逆元，其实根据定义的描述就可以知道，逆元的定义与a无关，所以可以进行化简

化简之后，可以得到，当b * x 在mod p的情况下等于1的话，则x称为b在mod p下的逆元，
特殊的，如果p是一个质数，那么就可以得到b在mod p下的逆元就是b的（p-2）次方，如下图：
（ps：虽然我们是在求b的（p-2）次方，但是为了保证答案的唯一性，我们要求出b的（p-2）次方 mod p，推到这里，就可以用上面的“快速幂求a的k次方mod p”，带入“底数”、“次方”、“模”）

具体代码

（ps：虽然我们是在求b的（p-2）次方，但是为了保证答案的唯一性，我们要求出b的（p-2）次方 mod p，推到这里，就可以用上面的“快速幂求a的k次方mod p”，带入“底数”、“次方”、“模”），
据此可知，我们带入a p-2 p 即可计算出a的p-2次方mod p的结果，该结果就是答案

特别注意：此类型有无解的情况，即a%p为0时，即a是p的倍数，那么无逆元，按题目要求输出即可

扩展欧几里得算法

使用扩展欧几里得算法求裴蜀定理中的系数x，y

裴蜀定理

对于任意的正整数a，b，一定存在整数非零x，y。使得ax+by=（a，b）。这里的（a，b）表示a b的最大公约数gcd（a，b）
此时x，y所组合出来的数既是a b的最大公约数，同时也是能组合出来的最小的数，
之后其他x，y组合出来的都是（a，b）的倍数

例题+代码

首先注意，比欧几里得算法多了两个引用类型的系数
引用就是变量起别名
之后，将基础版的欧几里得算法扩展开，并加入了一些新的代码
1、在b等于0的时候，得到一组系数x=1，y=0；
2、递归时，不再直接return递归，而是拿到递归的值，同时递归传入时的系数要额外注意，注意他们的顺序（b，a%b，y，x）；
3、要更新y的值，y -= a/b *x；
4、最后返回递归的结果d
5、由于参数是引用，所以x，y通过参数返回了回去

tips：本题的答案不唯一，因为根据裴蜀定理，是存在“x与y”，具体x与y有几个，不确定，所以例题中也说明，本题答案不唯一

使用扩展欧几里得算法求线性同余方程

线性同余方程

线性同余方程，就是上图中第一个方程，ax在mod m的情况下，余数是b，这就构成了一个线性同余方程，最后求出x的值

代码基本思想

根据线性同余方程，想要求出x，那么可以对其进行变换，
设y是任意一个整数，那么一定有上图第二行的式子
之后，移项，得到第三行的式子
之后，将负号并入到y中，（因为y是任意一个整数）
所以就有了最后一行的式子（y还是y’都无所谓，都是表示任意一个整数）

这时就转化成了扩展欧几里得算法，但是没完全转化，要对b进行讨论：
如果b能整除（a，m），那么就是有解，系数乘以对应的倍数即可
如果不能整除，就是无解
（上图中的d表示a和m的最大公约数）

代码

所以，拿到a和m之后，传入exgcd，得到系数x y，之后用d接住，这个d就是a和m的最大公约数，
之后分类讨论有无解，以及解对应的倍数，
如果b%d不等于0，那么无解
如果等于0，那么输出x*（b/d），注意要取模，然后由于超了范围，转为LL