ZOJ 3537 Cake 【区间DP + 凸多边形三角剖分】-编程知识

ZOJ 3537 Cake 【区间DP + 凸多边形三角剖分】

Cake

题意

给定平面坐标上的 $n$ 个点，如果是凸多边形的话，就用最少的花费把这个多边形剖分成若干个三角形，剖分的线段端点只能是原多边形的顶点，一条线段的花费为： $|x_i + x_j| \times |y _i + y_j| mod p$

思路

首先我们使用 $A n d re w$ 算法判断一下是否为凸包。对于当前的顶点 $[0, n - 1]$ ，我们先看一条边： $\lrarr n - 1$ ，这条边肯定属于某个三角形，我们肯定要有一条线的端点之一是 $0$ ，另外一条线的端点之一是 $n - 1$ ，并且这两条线有一个公共端点 $\leq k \leq n - 2)$ ，因为只有这样，才能将这条边剖分成属于某个三角形，而那两条线段就是三角形的两条边，第三条边就是 $\lrarr n - 1$

那么这两条线就将我们的 $[0, n - 1]$ 区间的端点分成了两个部分： $[0, k]$ 和 $[k + 1, n - 1]$ ，这是两个子状态，我们可以使用 $d p [l] [r]$ 表示区间 $[l, r]$ 的三角剖分的最小花费

那么转移就可以枚举区间的分裂点 $k$

$min_{l + 1 \leq k \leq r - 1} (dp[l][k] + dp[k + 1][r] + cost(l, k) + cost(k, r))$ ， $cos t (l, k)$ 表示连接 $l$ 和 $k$ 的花费

注意如果 $\leq r$ 时， $cos t (l, r) = 0$ ，因为原本的多边形上已经有了这条边，不用而外花费去切割

跑区间 $D P$ 的时候，我们从长度为 $3$ 的区间开始，长度小于等于 $2$ 的区间花费都为 $0$ ，都不用切割

时间复杂度： $O(n^3)$

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;typedef long long ll;int mod;struct Point{int x,y;Point(int xx=0,int yy=0){x=xx,y=yy;}Point operator + (Point B){ //向量 +return Point(x+B.x,y+B.y);}Point operator - (Point B){	//向量 -return Point(x-B.x,y-B.y);}Point operator * (int k){ //向量等比例放大return Point(k*x,k*y);}bool operator == (Point B){ //unique 用到return x-B.x == 0 && y-B.y == 0;}bool operator < (Point B){return x-B.x < 0 || (x-B.x == 0 && y-B.y < 0);}
};int Cross(Point A,Point B){return A.x*B.y - A.y*B.x;
}int Convex_hull(Point* p,int n,Point* ch){ //ch[]储存凸包顶点n = std::unique(p,p+n) - p;	//去重std::sort(p,p+n); //排序int v = 0;/* 求下凸包 */fore(i,0,n){while(v>1 && Cross(ch[v-1]-ch[v-2],p[i]-ch[v-2]) <= 0)--v;ch[v++] = p[i];}int j = v;/* 求上凸包 */for(int i=n-2;i>=0;--i){while(v>j && Cross(ch[v-1]-ch[v-2],p[i]-ch[v-2]) <= 0)--v;ch[v++] = p[i];}if(n>1)	--v; //p[0]被加入了两次return v; //返回凸包顶点数
}Point p[500];
Point ch[500];int main(){std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);int n;while(std::cin >> n >> mod){fore(i, 0, n) std::cin >> p[i].x >> p[i].y;if(Convex_hull(p, n, ch) < n){ //不是凸包std::cout << "I can't cut.\n";continue;}if(n <= 3){std::cout << "0\n";continue;}std::vector<std::vector<int>> dp(n + 5, std::vector<int>(n + 5, INF));std::vector<std::vector<int>> dis(n + 5, std::vector<int>(n + 5, 0)); //连接两个顶点的costauto cal = [&](int i, int j) { //计算costreturn std::abs(ch[i].x + ch[j].x) * std::abs(ch[i].y + ch[j].y) % mod;};fore(i, 0, n)fore(j, i + 2, n)dis[i][j] = dis[j][i] = cal(i, j); //预计算costfore(i, 0, n) dp[i][i + 1] = 0;fore(len, 3, n + 1)fore(L, 0, n - len + 1){int R = L + len - 1;fore(k, L + 1, R)dp[L][R] = std::min(dp[L][R], dp[L][k] + dp[k][R] + dis[L][k] + dis[k][R]);}std::cout << dp[0][n - 1] << endl;}return 0;
}