刘谦春晚魔术的数学原理
文章目录
- 前言
- 魔术介绍
- 魔术揭秘
- STEP 1
- STEP 2
- STEP 3
- STEP 4
- STEP 5
- STEP 6
- STEP 7
- 总结
前言
2024 春晚刘谦的第二个魔术很多人跟着一起做了,都觉得非常神奇。我也跟着操作了一遍,结果一眼就让我看出了背后的数学原理。下面给大家介绍一下。
魔术介绍
先来介绍一下这个魔术是怎么做的。
首先准备 4 张不同的扑克牌,将这 4 张牌从中间一分为二,将两部分叠在一起。然后根据你的名字有几个字,就几张牌一张一张地依此从顶部放到底部。
接着拿起顶部的 3 张牌,插到牌堆的中间(随机位置,下同)。然后将最上面的一张牌拿出放好——这是最后要拼接牌的其中一部分。
放好后,按南北方,认为自己是南方人的把最上面的 1 张插入到中间,认为自己是北方人的把最上面的 2 张插入到中间,不确定的把最上面的 3 张插入到中间。
然后按男女,男生丢掉最上面 1 张,女生丢掉最上面 2 张。
接着将 7 张牌一张一张地依此从顶部放到底部。
然后重复如下操作:将第一张牌放到最下面,将第二张牌(此时在顶部)扔掉。直到手中只剩一张牌。
此时见证奇迹的时刻到了,手中剩下的一张牌跟之前拿出的牌刚好能拼成一张完整的牌。
魔术揭秘
这个魔术没有什么高深的数学原理,就是同余理论。我们要证明的就是最终选出的两张牌一定 m o d 4 \mod 4 mod4 同余。
我们来演示一下整个过程中牌型的变化。
STEP 1
为了便于演示,我们假设这 4 张牌为 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 A_1, A_2, A_3, A_4 A1,A2,A3,A4。将其一分为二叠在一起后,整个牌堆为 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 A_1, A_2, A_3, A_4, A_1, A_2, A_3, A_4 A1,A2,A3,A4,A1,A2,A3,A4。我们可以发现,此时配对的牌距离为 4 4 4。
STEP 2
接着根据名字字数依此将顶部牌放到底部是一个环形栈操作,无论执行多少次,都不影响配对牌之间的距离。这一步其实是个故弄玄虚的障眼法,让人误以为各自名字字数不同,大家的牌型是不同的。如果你将牌堆视为一个”环“,就会发现其实这一步没有改变牌型结构。以我自己为例,我的名字只有 2 个字,因此将两张牌依此从牌顶移到牌底后,整个牌堆变为 A 3 , A 4 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 1 , A 2 , A_3, A_4, A_1, A_2, A_3, A_4, A_1, A_2, A3,A4,A1,A2,A3,A4,A1,A2,。
STEP 3
接下来的一步很关键,将顶部的 3 张牌插到牌堆的中间随机位置,然后拿走顶部的牌。这里必须是 3 张,因为只有这样,拿走的牌才能与牌底的牌配对。此时我们只需要关注能与拿走的牌配对的牌的位置就行了,其余牌的位置都无关紧要。因此我们可以将牌堆简化为 C , C , C , C , C , C , A C, C, C, C, C, C, A C,C,C,C,C,C,A,其中 A 是我们关注的要配对的牌。
STEP 4
有了上面的化简,接下来的按南北方插入就很容发现这部操作不影响牌型。因为是插入,我们关注的牌 A A A 始终在底部。因此这也是一步故弄玄虚的障眼法。
STEP 5
接着男生丢掉最上面 1 张,女生丢掉最上面 2 张。此时会出现两种情况:
男生 C , C , C , C , C , A 女生 C , C , C , C , A \text{男生} \quad C, C, C, C, C, A \\ \text{女生} \qquad C, C, C, C, A 男生C,C,C,C,C,A女生C,C,C,C,A
后面我们会证明这个差异其实不重要,可以抹平。
STEP 6
将 7 张牌一张一张地依此从顶部放到底部。这依然是个”环形栈“操作,不改变牌型结构,但步最重要的作用是将底部牌移到一个正确的位置,为下一步做准备。移动后的牌型为:
男生 C , C , C , C , A , C 女生 C , C , A , C , C \text{男生} \quad C, C, C, C, A, C \\ \text{女生} \qquad C, C, A, C, C 男生C,C,C,C,A,C女生C,C,A,C,C
STEP 7
重复如下操作:将第一张牌放到最下面,将第二张牌(此时在顶部)扔掉。直到手中只剩一张牌。
这个过程相当于从环上(设位置下标从 1 1 1 开始)不断丢掉 m o d 2 ≡ 0 \mod 2 \equiv 0 mod2≡0 的牌。并且我们发现,男生只要做一次,牌型就会变为 C , C , A , C , C C, C, A, C, C C,C,A,C,C,跟女生的牌型一样。因此我们统一看女生的牌型变化即可
第一次 A , C , C , C 第二次 C , C , A 第三次 A , C 第四次 A \begin{align*} \text{第一次} \quad & A, C, C, C \\ \text{第二次} \quad & C, C, A \\ \text{第三次} \quad & A, C \\ \text{第四次} \quad & A \end{align*} 第一次第二次第三次第四次A,C,C,CC,C,AA,CA
大家可以发现,最终剩下的牌就是能够配对成功的牌。
总结
这个魔术就是个数学问题,中间有加入了一些故弄玄虚的障眼法。当我们摒弃掉这些迷惑人的手段,关注化简后问题的结构,一切就变得非常清晰了。魔术,也不过如此!