算法沉淀——队列+宽度优先搜索（BFS）（leetcode真题剖析）

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算法沉淀——队列+宽度优先搜索（BFS）

  • 01.N 叉树的层序遍历
  • 02.二叉树的锯齿形层序遍历
  • 03.二叉树最大宽度
  • 04.在每个树行中找最大值

队列 + 宽度优先搜索算法（Queue + BFS）是一种常用于图的遍历的算法，特别适用于求解最短路径或最少步数等问题。该算法通常用于在图中寻找从起点到目标点的最短路径。

基本思想：

  1. 初始化队列： 将起始节点放入队列中。
  2. BFS遍历： 从队列中取出一个节点，遍历与该节点相邻且未访问过的节点，将其加入队列。
  3. 标记已访问： 标记已访问的节点，避免重复访问。
  4. 重复步骤2和3： 直到队列为空。

这个算法适用于无权图的最短路径问题。在搜索的过程中，每一层级的节点都会被依次访问，直到找到目标节点。

具体步骤：

  1. 将起始节点加入队列。
  2. 进行循环直到队列为空： a. 从队列中取出一个节点。 b. 如果该节点是目标节点，返回结果。 c. 否则，将与该节点相邻且未访问过的节点加入队列，并标记为已访问。

这种算法适用于许多场景，例如迷宫问题、游戏中的寻路问题、网络路由算法、树问题等。在这些问题中，它能够有效地找到最短路径或最优解。

01.N 叉树的层序遍历

题目链接：https://leetcode.cn/problems/n-ary-tree-level-order-traversal/

给定一个 N 叉树，返回其节点值的层序遍历。（即从左到右，逐层遍历）。

树的序列化输入是用层序遍历，每组子节点都由 null 值分隔（参见示例）。

示例 1：
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输入：root = [1,null,3,2,4,null,5,6]
输出：[[1],[3,2,4],[5,6]]

示例 2：

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输入：root = [1,null,2,3,4,5,null,null,6,7,null,8,null,9,10,null,null,11,null,12,null,13,null,null,14]
输出：[[1],[2,3,4,5],[6,7,8,9,10],[11,12,13],[14]]

提示：

  • 树的高度不会超过 1000
  • 树的节点总数在 [0, 10^4] 之间

思路

在树的层序遍历中经常要使用到的就是队列和宽度优先搜索算法，这是一道经典的队列和宽度优先搜索算法模板题

  1. 初始化一个空的二维向量 ret 用于存储层次遍历的结果。

  2. 如果根节点 root 为空，直接返回空向量 ret。

  3. 创建一个队列 q 并将根节点入队。

  4. 进入主循环，该循环将处理每一层的节点： a. 获取当前队列的大小，即当前层的节点数。 b. 创建一个临时向量 tmp

    用于存储当前层的节点值。 c. 对于当前层的每个节点：

    • 出队一个节点 t。
    • 将节点值 t->val 存入 tmp。
    • 将该节点的所有子节点入队，如果子节点非空。 d. 将 tmp 存入 ret。

  5. 返回最终的层次遍历结果 ret。

代码

/*
// Definition for a Node.
class Node {
public:int val;vector<Node*> children;Node() {}Node(int _val) {val = _val;}Node(int _val, vector<Node*> _children) {val = _val;children = _children;}
};
*/class Solution {
public:vector<vector<int>> levelOrder(Node* root) {vector<vector<int>> ret;queue<Node*> q;if(!root) return ret;q.push(root);while(q.size()){int n=q.size();vector<int> tmp;for(int i=0;i<n;++i){Node* t=q.front();tmp.push_back(t->val);for(Node* x:t->children) if(x) q.push(x);q.pop();}ret.push_back(tmp);}return ret;}
};

02.二叉树的锯齿形层序遍历

题目链接：https://leetcode.cn/problems/binary-tree-zigzag-level-order-traversal/

给你二叉树的根节点 root ，返回其节点值的 锯齿形层序遍历 。（即先从左往右，再从右往左进行下一层遍历，以此类推，层与层之间交替进行）。

示例 1：

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输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出：[[3],[20,9],[15,7]]

示例 2：

输入：root = [1]
输出：[[1]]

示例 3：

输入：root = []
输出：[]

提示：

  • 树中节点数目在范围 [0, 2000] 内
  • -100 <= Node.val <= 100

思路

这一题我们仔细理解题意，我们不难发现这题和上一题的区别就是，在偶数行时需要逆序，所以我们只要再添加一个偶数列逆序的操作即可，其余同上。

  1. 引入一个标志变量 flag，用于标识当前层次是奇数层还是偶数层。初始化为0。
  2. 初始化一个队列 q 用于层次遍历，以及一个二维向量 ret 用于存储结果。
  3. 如果根节点 root 为空，直接返回空向量 ret。
  4. 将根节点入队。
  5. 进入主循环，该循环处理每一层的节点： a. 获取当前队列的大小，即当前层的节点数，用 s 表示。 b. 递增 flag。 c. 创建一个临时向量 tmp 用于存储当前层的节点值。 d. 对于当前层的每个节点：
    • 出队一个节点 t。
    • 将节点值 t->val 存入 tmp。
    • 如果节点 t 的左子节点非空，将其入队。
    • 如果节点 t 的右子节点非空，将其入队。 e. 如果 flag 为偶数，反转 tmp 中的元素顺序。 f. 将 tmp 存入 ret。
  6. 返回最终的层次遍历结果 ret。

代码

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:vector<vector<int>> zigzagLevelOrder(TreeNode* root) {queue<TreeNode*> q;vector<vector<int>> ret;if(!root) return ret;q.push(root);int flag=0;while(q.size()){int s=q.size();flag++;vector<int> tmp;for(int i=0;i<s;++i){TreeNode* t=q.front();tmp.push_back(t->val);q.pop();if(t->left) q.push(t->left);if(t->right) q.push(t->right);}if(flag%2==0) reverse(tmp.begin(),tmp.end());ret.push_back(tmp);}return ret;}
};

03.二叉树最大宽度

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-width-of-binary-tree

给你一棵二叉树的根节点 root ，返回树的 最大宽度 。

树的 最大宽度 是所有层中最大的 宽度 。

每一层的 宽度 被定义为该层最左和最右的非空节点（即，两个端点）之间的长度。将这个二叉树视作与满二叉树结构相同，两端点间会出现一些延伸到这一层的 null 节点，这些 null 节点也计入长度。

题目数据保证答案将会在 32 位 带符号整数范围内。

示例 1：
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输入：root = [1,3,2,5,3,null,9]
输出：4
解释：最大宽度出现在树的第 3 层，宽度为 4 (5,3,null,9) 。

示例 2：
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输入：root = [1,3,2,5,null,null,9,6,null,7]
输出：7
解释：最大宽度出现在树的第 4 层，宽度为 7 (6,null,null,null,null,null,7) 。

示例 3：
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输入：root = [1,3,2,5]
输出：2
解释：最大宽度出现在树的第 2 层，宽度为 2 (3,2) 。

提示：

  • 树中节点的数目范围是 [1, 3000]
  • -100 <= Node.val <= 100

思路

这道题最大的坑点在于如果二叉树极度不平衡，若使用模拟的方式，空节点也进行插入操作去计算的话，空间是远远不够的，所以这里我们不能像前面两题这样操作，我们可以通过计算每层插入节点的头和尾下标差值，并使用vector来模拟队列操作，每次都覆盖前一层，以防超出内存，还有计算差值，我们使用无符号整型，这样我们可以避免数据溢出带来的计算错误的值

  1. 定义一个队列 q，其中每个元素是一个 pair，包含一个二叉树节点指针和该节点在完全二叉树中的编号。
  2. 将根节点和其对应编号 1 放入队列 q 中。
  3. 初始化一个变量 ret 用于存储最大宽度。
  4. 进入主循环，该循环用于遍历二叉树的每一层。 a. 获取当前队列的首尾元素，即队列中最左边和最右边的节点及其编号。 b. 计算当前层的宽度，即 y2 - y1 + 1，其中 y1 是最左边节点的编号，y2 是最右边节点的编号。 c. 更新 ret，取 ret 和当前层宽度的较大值。 d. 创建一个临时队列 tmp。 e. 遍历队列 q 中的每个节点：
    • 如果节点有左子节点，将左子节点及其编号（编号乘以 2）加入 tmp。
    • 如果节点有右子节点，将右子节点及其编号（编号乘以 2 加 1）加入 tmp。 f. 将 tmp 赋值给队列 q。
  5. 返回最终的宽度 ret。

代码

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:int widthOfBinaryTree(TreeNode* root) {vector<pair<TreeNode*,unsigned int>> q;q.push_back({root,1});unsigned int ret=0;while(q.size()){auto& [x1,y1]=q[0];auto& [x2,y2]=q.back();ret=max(ret,y2-y1+1);vector<pair<TreeNode*,unsigned int>> tmp;for(auto& [x,y]:q){if(x->left) tmp.push_back({x->left,y*2});if(x->right) tmp.push_back({x->right,y*2+1});}q=tmp;    }return ret;}
};

04.在每个树行中找最大值

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-largest-value-in-each-tree-row/

给定一棵二叉树的根节点 root ，请找出该二叉树中每一层的最大值。

示例1：
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输入: root = [1,3,2,5,3,null,9]
输出: [1,3,9]

示例2：

输入: root = [1,2,3]
输出: [1,3]

提示：

  • 二叉树的节点个数的范围是 [0,104]
  • -231 <= Node.val <= 231 - 1

思路

根据前面几个题型，我们不难想到，无非就是在层序遍历的基础上增加一个每层的最大值计算，在之前的基础上增加条件即可。

  1. 定义一个队列 q，其中每个元素是二叉树节点指针。
  2. 将根节点放入队列 q 中。
  3. 初始化一个空的数组 ret，用于存储每一层的最大值。
  4. 进入主循环，该循环用于遍历二叉树的每一层。 a. 初始化一个变量 m 为 INT_MIN，用于记录当前层的最大值。 b. 获取当前队列的大小（即当前层的节点数）。 c. 遍历当前层的每个节点：
    • 弹出队列的首元素，即最左边的节点。
    • 更新 m，取 m 和当前节点值的较大值。
    • 如果节点有左子节点，将左子节点加入队列 q。
    • 如果节点有右子节点，将右子节点加入队列 q。 d. 将 m 添加到数组 ret 中。
  5. 返回最终的数组 ret，其中包含了每一层的最大值。

代码

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:vector<int> largestValues(TreeNode* root) {queue<TreeNode*> q;vector<int> ret;if(!root) return ret;q.push(root);while(q.size()){int m=INT_MIN;int n=q.size();for(int i=0;i<n;++i){auto t=q.front();q.pop();m=max(m,t->val);if(t->left) q.push(t->left);if(t->right) q.push(t->right);}ret.push_back(m);}return ret;}
};

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