1. 树型结构（了解）

1.1 树型结构定义（了解）

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树的定义包括以下要点：

1. 根节点（Root）：树中的一个特殊节点，它没有前驱节点，是整个树的起点。
2. 子树（Subtree）：除根节点外，树中的每个节点都可以看作是一棵子树的根节点。子树是一棵与原树类似的树，它包含了一部分原树中的节点和边。
3. 前驱节点（Parent）和后继节点（Children）：一个节点的前驱节点是其所在子树的根节点，而该节点称为前驱节点的后继节点。每个节点可以有零个或多个后继节点。
4. 叶节点（Leaf）：没有后继节点的节点称为叶节点，也称为终端节点。叶节点位于树的底部，它们没有子树。

它具有以下的特点：

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2. 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3. 树是递归定义的。
   注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

判断树形结构：

1.2 树型结构相关概念（重要）

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，只要知道是什么意思即可：

• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

1. 双亲表示法：在双亲表示法中，每个节点除了存储自己的数据外，还存储一个指向其父节点的指针。根节点的父节点指针为空。

class Node {int val; // 数据域Node parent;    // 当前节点的根节点
}

2. 孩子表示法：在孩子表示法中，每个节点除了存储自己的数据外，还存储一个指向其子节点的指针。叶子节点的子节点指针为空。这种表示方法可以方便地找到一个节点的孩子节点。

class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

3. 孩子双亲表示法： 在孩子双亲表示法中，每个节点除了存储自己的数据外，还存储一个指向其父节点和子节点的指针。这种表示方法可以方便地找到一个节点的父节点和孩子节点。

class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent;    // 当前节点的根节点
}

4. 孩子兄弟表示法： 在孩子兄弟表示法中，每个节点除了存储自己的数据外，还存储一个指向其第一个子节点和兄弟节点的指针。这种表示方法可以方便地找到一个节点的孩子节点和兄弟节点。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

树型结构在计算机科学和信息技术中有许多应用，包括：

1. 文件系统：计算机的文件系统通常使用树型结构来组织文件和文件夹，以便用户可以方便地浏览和管理文件。
   文件系统管理（目录和文件）
   
2. 数据库管理系统：数据库管理系统中的索引结构通常使用树型结构来快速定位和检索数据。
3. 网络路由：网络路由器使用树型结构来管理和转发数据包，以便在复杂的网络中找到最佳的路径。
4. 组织结构：企业和组织的组织结构通常可以用树型结构来表示，例如公司的部门和员工关系。
5. 编程语言中的数据结构：在编程中，树型结构经常用于表示数据的层次关系，如XML文档、JSON对象等。

总的来说，树型结构在计算机科学和信息技术中有着广泛的应用，可以帮助组织和管理复杂的数据和信息。

2. 二叉树（重点）

2.1 二叉树概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

每个节点最多有两个子节点，即左子节点和右子节点。这意味着每个节点最多可以有两个分支。左子树和右子树都是二叉树，它们也可以为空。

从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是$2^k-1$ ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

注意：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的 第i层上最多有 $2^{i-1}$(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^k-1$ ( k>=0 )
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 $n_0$ , 度为2的非叶结点个数为 $n_2$ ,则有$n_0$ ＝$n_2＋1$

公式证明：
假设一个树有N个结点，有$n_0$ 个叶子结点，有$n_1$个度为1的结点，有$n_2$个度为2的结点
公式1：结点总数 N = $n_0$ + $n_1$ + $n_2$；
公式2：一棵二叉树共有N-1条边，在一课二叉树中，度为0的结点结点产生0条边，$n_1$个度为1的结点产生$n_1$条边，$n_2$个度为2的结点产生$2n_2$条边，二叉树的总边数N - 1 = $n_1$ + $2n_2$.

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为$lo{g}_{2}n+1$ 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   (1) 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   (2)若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   (3)若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
6. 对于一颗完全二叉树。度为1的结点要么为1个，要么为0个；其中对于有偶数个结点的完全二叉树来说：度为1的结点一共有1个。对于奇数个结点的完全二叉树来说，度为1的结点一个0个

【题目考察】：

1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

答案：B

解析： 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 $n_0$ , 度为2的非叶结点个数为 $n_2$ ,则有$n_0$ ＝$n_2＋1$ ，二叉树中的叶子结点数比

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

答案：A

解析：对于有偶数个结点的完全二叉树来说：度为1的结点一共有1个。对于奇数个结点的完全二叉树来说，度为1的结点一个0个.这是偶数个结点的二叉树，假设度为0的结点个数为x，n0＝n2＋1，所以度为2的结点个数为x-1，所以2n=x+1+x-1，n=x。

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（ )

A 383

B 384

C 385

D 386

答案：B

解析：这题和上面那题差不多，但是这是奇数个结点的二叉树，假设度为0的结点个数为x，n0＝n2＋1 ，所以度为2的结点个数为x-1，所以767=x+x-1，x=384。

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A 11

B 10

C 8

D 12

解析：具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log以2为底的(531+1)上取整，2的9次方是512<532；2的10次方为1024>532。

2.4 二叉树的链式存储— 孩子表示法

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
首先介绍二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent;    // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

使用穷举法创建一颗二叉树( 孩子表示法)：

public class BinaryTree{public static class BTNode{BTNode left;BTNode right;int value;BTNode(int value){this.value = value;}}private BTNode root;// 将来这个引用指向的是根节点public BTNode createBinaryTree(){//创建结点BTNode node1 = new BTNode(1);BTNode node2 = new BTNode(2);BTNode node3 = new BTNode(3);BTNode node4 = new BTNode(4);BTNode node5 = new BTNode(5);BTNode node6 = new BTNode(6);//将结点连起来  root = node1;node1.left = node2;node2.left = node3;node1.right = node4;node4.left = node5;node5.right = node6;return root;}
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

二叉树的概念，二叉树是：

1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的
   
   从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
（1）NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
（2）LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
（3）LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似：
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

【代码】：
根据以上二叉树的三种遍历方式，给出以下二叉树的：

前序遍历结果：A B D E H C F G
中序遍历结果：D B E H A F C G
后序遍历结果：D H E B F G C A

public class BinaryTree {public static class TreeNode {public char value;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char value) {this.value = value;}}private TreeNode root;public TreeNode createTree() {TreeNode node1 = new TreeNode('A');TreeNode node2 = new TreeNode('B');TreeNode node3 = new TreeNode('C');TreeNode node4 = new TreeNode('D');TreeNode node5 = new TreeNode('E');TreeNode node6 = new TreeNode('F');TreeNode node7 = new TreeNode('G');TreeNode node8 = new TreeNode('H');TreeNode root = node1;node1.left = node2;node2.left = node4;node2.right = node5;node5.right = node8;node1.right = node3;node3.left = node6;node3.right = node7;return root;}//前序遍历public void preOrder(TreeNode root){if(root == null) {return ;}System.out.print(root.value +" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root){if(root == null) {return ;}inOrder(root.left);System.out.print(root.value +" ");inOrder(root.right);}//后序遍历public void postOrder(TreeNode root){if(root == null) {return ;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.value +" ");}
}public class Test {public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();BinaryTree.TreeNode treeNode = binaryTree.createTree();System.out.println("前序遍历:");binaryTree.preOrder(treeNode);System.out.println();System.out.println("中序遍历:");binaryTree.inOrder(treeNode);System.out.println();System.out.println("后序遍历:");binaryTree.postOrder(treeNode);System.out.println();}
}       运行结果：
前序遍历:
A B D E H C F G 
中序遍历:
D B E H A F C G 
后序遍历:
D H E B F G C A 

将遍历的结果不打印，而是存储到 List 中返回，代码实现：

 //前序遍历public List<Character> preOrder2(TreeNode root){List<Character> list = new ArrayList<>();if(root == null) {return list;}list.add(root.value);List<Character> leftTree = preOrder2(root.left);list.addAll(leftTree);List<Character> rightTree = preOrder2(root.right);list.addAll(rightTree);return list;}//中序遍历public List<Character> inOrder2(TreeNode root){List<Character> list = new ArrayList<>();if(root == null) {return list;}List<Character> leftTree = inOrder2(root.left);list.addAll(leftTree);list.add(root.value);List<Character> rightTree = inOrder2(root.right);list.addAll(rightTree);return list;}//后序遍历public List<Character> postOrder2(TreeNode root){List<Character> list = new ArrayList<>();if(root == null) {return list;}List<Character> leftTree = postOrder2(root.left);list.addAll(leftTree);List<Character> rightTree = postOrder2(root.right);list.addAll(rightTree);list.add(root.value);return list;}public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();BinaryTree.TreeNode treeNode = binaryTree.createTree();System.out.println("前序遍历:");List<Character> pre = binaryTree.preOrder2(treeNode);System.out.println(pre);System.out.println("中序遍历:");List<Character> in = binaryTree.inOrder2(treeNode);System.out.println(in);System.out.println("后序遍历:");List<Character> post = binaryTree.postOrder2(treeNode);System.out.println(post);}代码运行结果：
前序遍历:
[A, B, D, E, H, C, F, G]
中序遍历:
[D, B, E, H, A, F, C, G]
后序遍历:
[D, H, E, B, F, G, C, A]

2. 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

层序遍历代码实现：从上到下、从左到右依次进行遍历
借助队列实现：

1. 首先根元素入队
2. 当队列不为空的时候，将队列中的元素出队进行打印，出队的同时将出队元素的左右子树的根节点（不为空）进行入队
3. 然后进入下一次迭代，直到队列中没有元素
   
   

【代码】:

	 //层序遍历(借助队列)void levelOrder(TreeNode root) {//二叉树为空，不打印if (root == null) {return;}//创建辅助队列Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();//将头节点入队queue.offer(root);//迭代打印，直到队列为空while (!queue.isEmpty()) {//头节点出队TreeNode cur = queue.poll();//如果头节点的左子树的根节点不为空，就将该节点入队System.out.print(cur.val + " ");if (cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}//如果头节点的右子树的根节点不为空，就将该节点入队if (cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}}

【练习题目】：

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()

A: ABDHECFG

B: ABCDEFGH

C: HDBEAFCG

D: HDEBFGCA

答案：A

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E
B: F
C: G
D: H

答案：A
解析：先序遍历可以确定根结点的位置，在先序遍历中的第一个节点就是根结点。中序遍历可以确定左右子树，根节点的左边就是左子树，右边的就是右子树的结点。

题目延申：后序遍历也可以确定根结点的位置，在后序遍历中的最后一个节点就是根结点。

也就是说，我们要先通过前序遍历或者后序遍历找根节点，找到根节点之后，我们就去看中序遍历，以根节点为中心然后分左右子树。分完左右子树后，再重复这个步骤继续分子树的左右子树，直到叶子结点.

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce
B: decab
C: debac
D: abcde

答案：D
解析：刚刚是前序和中序，现在是中序和后序。

根据前序和后序，可以创建一个二叉树吗？
不可以！前序和后序只能确认根。没有中序就不可以确认左右子树，无法创建二叉树。

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA
B: CBAFED
C: DEFCBA
D: ABCDEF

答案：A
解析：

只有左子树，没有右子树。

2.5.3 二叉树的基本操作

1. 获取树中节点的个数

遍历思路：当我们以 前/中/后序 遍历这棵树的时候，会把每个节点都遍历到。每遍历一个节点就计数一次

    public static int nodeSize;/*** 获取树中节点的个数：遍历思路*/void size(TreeNode root) {if (root == null) {return;}nodeSize++;size(root.left);size(root.right);}

子问题的思路：

一棵二叉树的节点个数 = 左子树的节点个数 + 右子树的节点个数 + 根节点（1）

    /*** 获取节点的个数：子问题的思路** @param root* @return*/int size2(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}//左子树的节点个数加右子树的结点个数加根节点return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;}

2. 获取叶子节点的个数

遍历思路-求叶子结点个数：当我们以 前/中/后序 遍历这棵树的时候，会把每个节点都遍历到。每遍历一个节点就判断是否为叶子节点，如果是的话，那么就计数器就加一。

	/*获取叶子节点的个数：遍历思路*/public static int leafSize = 0;void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {if (root == null) {return;}if (root.left == null && root.right == null) {leafSize++;}getLeafNodeCount1(root.left);getLeafNodeCount1(root.right);}

子问题思路-求叶子结点个数：root左树的叶子节点个数+root右树的叶子节点个数=整棵树的叶子节点个数

	/*获取叶子节点的个数：子问题*/int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);}

3. 获取第K层节点的个数

root这棵树的第K层节点的个数 = 左子树的第k-1层节点的个数 + 左子树的第k-1层节点的个数，以此类推直到k=1

【代码】：

	/*获取第K层节点的个数*/int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {if (root == null) {return 0;}if (k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);}

4. 获取二叉树的高度

二叉树的深度和二叉左（右）子树的深度之间的关系。二叉树的深度等于左子树的深度与右子树的深度中的最大值 +1 。

	 /*获取二叉树的高度时间复杂度：O(N)*/int getHeight(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}

5. 检测值为value的元素是否存在

	// 检测值为value的元素是否存在TreeNode find(TreeNode root, char val) {if (root == null) {return null;}//首先判断根节点if(root.val == val) {return root;}//判断左子树是否存在与val相等的结点TreeNode left = find(root.left, val);//结果不为null时，证明存在与val相等的结点if(left != null) {return left;}//判断右子树是否存在与val相等的结点TreeNode right = find(root.right, val);if(right != null) {return right;}//代码执行到该处时，说明根节点，左子树，右子树都不存在与val相等的结点return null;}

6. 判断一棵树是不是完全二叉树

使用层序遍历中的辅助队列的方法：
借助队列实现：

1. 首先根元素入队
2. 当队列不为空的时候，将队列中的元素出队进行打印，出队的同时将出队元素的左右子树的根节点为空时，将空也进行入队
3. 然后进入下一次迭代，直到队列中出队的节点为null,此时停止循环
4. 判断队列中剩余元素，当剩余元素全为null时，该树为完全二叉树，当不完全为null时，说明该树不是完全二叉树

当为完全二叉树时：



我们发现队列中剩余元素全为null.

当不是完全二叉树时：



此时，我们发现队列中的元素不全为null

boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if (root == null) {return false;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {if (queue.peek() != null) {TreeNode cur = queue.poll();queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);} else {break;}}//判断队列中是否含有非空的元素，如果有就说明不是完全二叉树while (!queue.isEmpty()) {if(queue.peek() == null) {queue.poll();}else {return false;}}//此时，队列为空，说明队列中全是null，是完全二叉树return true;}