今日复习内容：做真题 + 复习动态规划

完全背包问题是背包问题的一个重要变体。

1.问题描述

给定一个背包，容量为C，一组物品，每个物品有自己的重量wi和价值vi，完全背包问题要求在不超过背包容量的情况下，放入物品的总价值最大。

2.动态规划解法

使用动态规划是解决完全背包问题的常用方法。定义状态dp[i][j]表示前i个物品，在背包容量为j时能够获得的最大价值。

状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - wi] + vi)

这里的状态转移方程与0-1背包类似，但不同之处在于在计算第i个物品时，背包容量可以多次减去wi。

3.时间复杂度

动态规划解法的时间复杂度为O(NC)，其中N是物品的数量，C是背包的容量。因为对于每个物品和每个背包容量都需要计算状态，所以是一个二维的动态规划问题。

例题1：小明的背包2

题目描述：

小明有一个容量为V的背包。

这天他去商场购物，商场一共有N种物品，第i种物品的体积为wi,价值为vi，每种物品都有无限多个。

小明想知道在购买的物品总体积不超过V的情况下所能获得的最大价值是多少，请你帮他算算。

输入描述：

输入第一行包含两个正整数N和V，表示商场的物品数量和小明的背包容量。

第2至N + 1行包含两个正整数w和v，表示物品的体积和价值。

1 <= N <= 10^3，1 <= V <= 10^3，1 <= wi,vi <= 10^3.

输出描述：

输出一行整数表示小明所能获得的最大价值。

参考答案：

N,V = map(int,input().split())
dp = [[0] * (V + 1) for i in range(N + 1)]for i in range(1,N + 1):w,v = map(int,input().split())for j in range(V + 1):if j < w:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - w] + v)print(dp[N][V])

运行结果：

我还可以把它优化一下：

N,V = map(int,input().split())
dp = [0] * (V + 1)
for i in range(1,N + 1):w,v = map(int,input().split())for j in range(w,V + 1):dp[j] = max(dp[j],dp[j - w] + v)print(dp[V])

多重背包问题是背包问题的另一种变体，与0-1背包问题和完全背包问题不同，多重背包问题允许每种物品放入背包的数量有限制。

1.问题描述

给定一个容量为C的背包，一组物品，每个物品都有自己的重量wi，价值vi和数量限制ni，多重背包问题要求在不超过背包容量的情况下，放入物品的总价值最大。

2.动态规划解法

多重背包问题也可以使用动态规划来解决，但相比于完全背包问题，状态转移方程需要更多的考虑。

定义状态dp[i][j]表示前i个物品，在背包容量为j时能够获得的最大价值。

状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - k * wi] + k * vi)，其中k的取值范围是 0 <= k <= ni，表示第i个物品放入背包的数量。

例题2：小明的背包3

题目描述：

小明有一个容量为V的背包。

这天他去商场购物，商场一共有N件商品，第i件物品的体积为wi，价值为vi，数量为si。

小明想知道在购买的物品的总体积不超过V的情况下所能获得的最大价值是多少，请你帮他算算。

输入描述：

输入第一行包含两个正整数N,V，表示商场的商品数量和背包容量。

第2至N + 1 行包含三个正整数w,v,s，表示物品的体积和价值。

1 <= N <= 10^2，1 <= V <= 2 * 10^2，1 <= wi,vi,si <= 2 * 10^2

输出描述：

输出一行整数表示小明所能获得的最大价值。

参考答案：

N,V = map(int,input().split())
dp = [[0] * (V + 1) for i in range(N + 1)]
for i in range(1,N + 1):w,v,s = map(int,input().split())for j in range(V + 1):for k in range(min(s,j // w) + 1):dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j - k * w] + k * v)print(dp[N][V])

运行结果：

二维费用背包问题是背包问题的一个扩展，与经典的0-1背包问题，完全背包问题和多重背包问题不同，它增加了物品的两个维度的费用。

1.问题描述

给定一个背包容量C，一组物品，每个物品具有两个维度的费用wi和ci，以及对应的价值vi。二维费用背包问题要求在不超过背包容量的情况下，放入物品的总价值最大。

2.动态规划解法

二维费用背包问题可以用动态规划来解决。定义状态dp[i][j][k]表示前i个物品，在背包容量为j时和第二维费用为k时获得的最大价值。

状态转移方程为dp[i][j][k] = max(dp[i - 1][j][k],dp[i - 1][j - wi][k - ci] + vi)

这里的状态转移方程表示在选择放入第i个物品时，可以选择放入或不放入，并考虑背包容量和第二维费用的限制。

3.时间复杂度

动态规划解法的时间复杂度是O(NCM)，其中N是物品的数量，C是背包容量的上限，M是第二维费用的上限。因为需要考虑每个物品，每个背包容量和每个第二维费用的情况，所以是一个三维的动态规划问题。

例题3：小蓝的神秘行囊

题目描述：

小蓝是一名著名的探险家，他即将踏上一场寻宝的冒险旅程，他的目的是寻找和收集各种神秘的宝物。他有一个神秘的行囊，能够装载各种物品。然而，这个行囊有一个特殊的规定：它的最大容量是V，并且他能承载的最大重量是M。

小蓝来到一个古老的城堡，里面有N件神秘的宝物，每件宝物只能被取走一次，每件宝物都有特定的体积vi，重量mi和价值wi。

面对眼前的宝物，小蓝需要做出决定：将哪些宝物放入他的行囊，使得宝物的总体积不超过行囊的体积，总重量不超过行囊的最大承重量，且价值总和最大。

你的任务是帮助小蓝决定应该选择哪些宝物，并输出这些宝物的最大价值和。

输入描述：

第一行是3个正整数N,V,M，用空格隔开，分别表示宝物的数量，行囊的容量和行囊所能承载的最大重量。

接下来的N行，每行有3个整数vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示每个宝物的体积，重量和价值。

数据范围保证：0 < N <= 1000,0 < V,M <= 100,0 < vi,wi <= 100,0 < wi <= 1000。

输出格式：

输出一个整数，表示可以装入行囊的宝物的最大总价值。

参考答案：

N,V,M = map(int,input().split())
dp = [[0] * (M + 1) for i in range(V + 1)]
for i in range(N):v,m,w = map(int,input().split())for j in range(V,v - 1,-1):for k in range(M,m - 1,-1):dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j - v][k - m] + w)print(dp[V][M])

运行结果：

分组背包是背包问题的一种变体，与0-1背包问题，完全背包问题等有所不同。在分组背包问题中，物品被视为若干组，每组中的物品只能选择一个放入背包。

1.问题描述

给定一个容量为C的背包，若干组物品，每组中的物品有自己的重量wi和价值vi，每组物品只能选择一个放入背包。分组背包问题要求在不超过背包容量的情况下，放入背包的总价值最大。

2.动态规划解法

分组背包问题同样可以使用动态规划来解决。定义dp[i][j]表示前i组物品，在背包容量为j时能够获得的最大价值。

价值转移方程为:

dp[i][j]=max(dp[i−1][j],max(k=1到ni)​​dp[i−1][j−wi,k​]+vi,k​)

其中ni表示第i组物品的数量，wi,k表示第i组中第k个物品的重量，vi,k表示第i组中第k个物品的价值。

3.时间复杂度

动态规划的时间复杂度是O(GC)，其中G是组数，C是背包的容量。因为需要考虑每组物品和每个背包容量的情况，所以是一个二维的动态规划问题。

例题4：小明的背包5

题目描述：

小明有一个容量为V的背包。

这天他去商场购物，商场一共有N组物品，第i组里有si件物品，物品的体积为w，价值为v，对于每一组只能购买一件物品。

小明想知道在购买的物品总体积不超过V的条件下所能获得的最大价值是多少，请你帮他算算。

输入描述：

输入第一行包含两个正整数N和V，表示商场物品的数量和小明背包的容量。

接下来有N组数据，对于每组数据的输入如下：

第一行输入一个整数s，表示该组的物品个数；

接下来s行每行包含两个整数w,v，表示物品的体积和价值。

 1 <= N,V <= 10^2，1 <= s <= 10^2,1 <= w,v <= 10^3

输出描述：

输出一行整数表示小明所能获得的最大价值。

参考答案：

N,V = map(int,input().split())
dp = [[0] * (V + 1) for i in range(N + 1)]
for i in range(1,N + 1):s = int(input())for _ in range(s):w,v = map(int,input().split())for j in range(V + 1):if j < w:dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j])else:dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - w] + v)print(dp[N][V])

运行结果：

 

OK，这篇就写到这里，我得加快一点复习速度了，下一篇继续！