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• 1.问题描述
• 2.问题分析
• 3.算法设计
• 4.确定程序框架
• 5.完整的程序
• 6.运行结果

1．问题描述

马克思手稿中有一道趣味数学问题：有30个人，其中有男人、女人和小孩，他们在同一家饭馆吃饭，总共花了50先令。已知每个男人吃饭需要花3先令，每个女人吃饭需要花2先令，每个小孩吃饭需要花1先令，请编程求出男人、女人和小孩各有几人。

2．问题分析

根据该问题的描述，可将该问题抽象为一个不定方程组。

设变量x、y和z分别代表男人、女人和小孩，则由题目的要求，可得到如下的方程组：

$\{\begin{array}{llccccc}x+y+c=30& & & & & & \stackrel{◯}{1}\\ 3x+2y+z=50& & & & & & \stackrel{◯}{2}\end{array}$

其中，方程①表示男人、女人和小孩加起来总共有30个人；方程②表示30个人吃饭总共花了50先令。

用方程②-方程①，可得：

2x+y=20　③

由方程③可知，x取值范围为[0,10]。

3．算法设计

在问题分析中，我们抽象出了一个不定方程组，显然得到了不定方程组的解，该问题也就解决了。但不定方程组中包含了x、y、z三个变量，而方程只有两个，因此不能直接求出x、y、z的值。

而由方程③，我们得到了x的取值范围，因此可将x的有效取值依次代入不定方程组中（即方程①、②、③）中，能使三个方程同时成立的解即为该问题的解。为实现该功能，只需使用一个for循环语句即可。

4．确定程序框架

不定方程组的求解过程代码如下：

# 将变量x的可能取值依次代入方程组
for x in range(0, 10+1):y = 20 - 2*x            # 方程③，当x一定时，可确定y值z = 30 -x - y   # 方程①，当x、y一定时，可确定z值# 代入方程②检验，当前获得的x、y、z是否为不定方程组的一组解if 3*x + 2*y + z == 50:number += 1print("%2d:%4d%5d%6d" % (number, x, y, z))

上面的代码中对于for循环中每个给定的x值，可先通过方程③确定y值，再将当前确定的x和y值代入方程①中确定z值。此时，变量x、y、z都有确定的值了，但它们的值的组合不一定是不定方程组的解，还需要代入方程②中进行验证，只有同时满足方程①、②、③的解才是不定方程组的解。

程序流程图如图所示。

5．完整的程序

根据上面的分析，编写程序如下：

%%time
# 马克思手稿中的数学题if __name__=="__main__":# 变量x、y和z分别代表男人、女人和小孩print("    Men  Women  Children ")number = 0                                      # 可能的值的组数# 将变量x的可能取值依次代入方程组for x in range(0, 10+1):y = 20 - 2*x                                # 方程③，当x一定时，可确定y值# 方程①，当x、y一定时，可确定z值z = 30 -x-y# 代入方程②检验，当前获得的x、y、z是否为不定方程组的一组解if 3*x + 2*y + z == 50:number += 1print("%2d:%4d%5d%6d" % (number, x,y, z))

    Men  Women  Children 1:   0   20    102:   1   18    113:   2   16    124:   3   14    135:   4   12    146:   5   10    157:   6    8    168:   7    6    179:   8    4    18
10:   9    2    19
11:  10    0    20
CPU times: user 527 µs, sys: 14 µs, total: 541 µs
Wall time: 336 µs

6．运行结果

由输出结果可知，该不定方程组的解共有11组，即男人、女人和小孩的可能组合共有11种情况。