探索数据结构：解锁计算世界的密码-编程知识

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所属专栏：数据结构与算法
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前言

随着应用程序变得越来越复杂和数据越来越丰富，几百万、几十亿甚至几百亿的数据就会出现，而对这么大对数据进行搜索、插入或者排序等的操作就越来越慢，人们为了解决这些问题，提高对数据的管理效率，提出了一门学科即：数据结构与算法

1. 什么是数据结构

**数据结构(Data Structure)**是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

下标是常见的数据结构:

名称	定义
数组（Array）	数组是一种聚合数据类型，它是将具有相同类型的若干变量有序地组织在一起的集合。
链表（Linked List）	链表是一种数据元素按照链式存储结构进行存储的数据结构，这种存储结构具有在物理上存在非连续的特点。
栈（Stack）	栈是一种特殊的线性表，它只能在一个表的一个固定端进行数据结点的插入和删除操作
队列（Queue）	队列和栈类似，也是一种特殊的线性表。和栈不同的是，队列只允许在表的一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作。
树（Tree）	树是典型的非线性结构，它是包括，2 个结点的有穷集合 K
堆（Heap）	堆是一种特殊的树形数据结构，一般讨论的堆都是二叉堆。
图（Graph）	图是另一种非线性数据结构。在图结构中，数据结点一般称为顶点，而边是顶点的有序偶对

2. 什么是算法

**算法(Algorithm)😗*就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

算法一般分为：排序，递归与分治，回溯，DP，贪心，搜索算法

算法往往数学密切相关，就如数学题一样，每道数学题都有不同的解法，算法也是同理。

3. 复杂度分析

3.1 算法评估

我们在进行算法分析时，常常需要完成两个目标**。一个是找出问题的解决方法，另一个就是找到问题的最优解**。而为了找出最优解，我们就需要从两个维度分析：

时间效率：算法运行的快慢
空间效率：算法所占空间的大小

3.2 评估方法

评估时间的方法主要分为两种，一种是实验分析法，一种是理论分析法。

(1) 实验分析法

实验分析法简单来说就是将不同种算法输入同一台电脑，统计时间的快慢。但是这种方法有两大缺陷：

无法排查实验自身条件与环境的条件的影响：比如同一种算法在不同配置的电脑上的运算速度可能完全不同，甚至结果完全相反。我们很难排查所有情况。
成本太高：同一种算法可能在数据少时表现不明显，在数据多时速率较快

(2) 理论分析法

由于实验分析法的局限性，就有人提出了一种理论测评的方法，就是渐近复杂度分析(asymptotic complexity analysis)，简称复杂度分析。

这种方法体现算法运行所需的时间（空间）资源与输入数据大小之间的关系，能有效的反应算法的优劣。

4. 时间复杂度与空间复杂度

4.1 时间复杂度

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

为了准确的表述一段代表所需时间，我们先假设赋值(=)与加号(+)所需时间为1ns，乘号(×)所需时间为2ns，打印所需为3ns。

让我们计算如下代码所需总时间：

int main()
{int i = 1;//1nsint n = 0;//1nsscanf("%d", &n);for (i = 0; i < n; i++){printf("%d ", i);//3ns}return 0;
}

计算时间如下：
$T (n) = 1 + 1 + 3 \times n = 3 n + 2$

但是实际上统计每一项所需时间是不现实的，并且由于是理论分析，当n—>∞时，其余项皆可忽略，T(n)的数量级由最高阶决定。所以我们计算时间复杂度时，可以简化为两个步骤：

忽略除最高阶以外的所有项。
忽略所有系数。

而上述代码时间可以记为O(n)，这种方法被称为大O的渐进表示法。如果计算机结果全是常数，则记为O(1)。

并且计算复杂度时，有时候会出现不同情况的结果，这是应该以最坏的结果考虑。

4.2 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度的表示也遵循大O的渐进表示法

让我们计算一下冒泡排序的空间复杂度

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

通过观察我们可以看出，冒泡排序并没有开辟多余的空间，所以空间复杂度为O(1).

5. 复杂度分类

算法的复杂度有几个量级，表示如下：
$O(1) < O( log N) < O(N) < O(Nlog N) < O(N 2 ) < O(2^N) < O(N!)$

从左到右复杂度依次递增，算法的缺点也就越明显

图示如下：

5.1 常数O(1)阶

常数阶是一种非常快速的算法，但是在实际应用中非常难实现

以下是一种时间复杂度与空间复杂度皆为O(1)的算法：

int main()
{int a = 0;int b = 1;int c = a + b;printf("两数之和为%d\n", c);return 9;
}

5.2 对数阶O(logN)

对数阶是一种比较快的算法，它一般每次减少一半的数据。我们常用的二分查找算法的时间复杂度就为O(logN)

二分查找如下：

int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums是数组，size是数组的大小，target是需要查找的值
{int left = 0;int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内，[left, right]while (left <= right) {	//当left == right时，区间[left, right]仍然有效int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出if (nums[middle] > target) {right = middle - 1;	//target在左区间，所以[left, middle - 1]} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1;	//target在右区间，所以[middle + 1, right]} else {	//既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了return middle;}}//没有找到目标值return -1;
}

空间复杂度为O(logN)的算法，一般为分治算法

比如用递归实现二分算法：

int binary_search(int ar[], int low, int high, int key)
{if(low > high)//查找不到return -1;int mid = (low+high)/2;if(key == ar[mid])//查找到return mid;else if(key < ar[mid])return Search(ar,low,mid-1,key);elsereturn Search(ar,mid+1,high,key);
}

每一次执行递归都会对应开辟一个空间，也被称为栈帧。

5.3 线性阶O(N)

线性阶算法，时间复杂度与空间复杂度随着数量均匀变化。

遍历数组或者链表是常见的线性阶算法，以下为时间复杂度为O(N)的算法：

int main()
{int n = 0;int count = 0;scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; i++){count += i;//计算0~9的和}return 0;
}

以下为空间复杂度为O(N)的算法

int main()
{int n = 0;int count = 0;scanf("%d", &n);int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n);//开辟大小为n的空间if (p == NULL){perror("malloc fail");return -1;}free(p);p=NULL;return 0;
}

5.4 线性对数阶O(NlogN)

无论是时间复杂度还是空间复杂度，线性对数阶一般出现在嵌套循环中，即一层的复杂度为O(N)，另一层为O(logN)

比如说循环使用二分查找打印：

int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums是数组，size是数组的大小，target是需要查找的值
{int left = 0;int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内，[left, right]while (left <= right) {	//当left == right时，区间[left, right]仍然有效int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出if (nums[middle] > target) {right = middle - 1;	//target在左区间，所以[left, middle - 1]}else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1;	//target在右区间，所以[middle + 1, right]}else {	//既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了printf("%d ", nums[middle]);}}//没有找到目标值return -1;
}
void func(int nums[], int size, int target)
{for (int i = 0; i < size; i++){binary_search(nums, size, target);}
}

空间复杂度为O(NlogN)的算法，最常见的莫非归并排序

void Merge(int sourceArr[],int tempArr[], int startIndex, int midIndex, int endIndex){int i = startIndex, j=midIndex+1, k = startIndex;while(i!=midIndex+1 && j!=endIndex+1) {if(sourceArr[i] > sourceArr[j])tempArr[k++] = sourceArr[j++];elsetempArr[k++] = sourceArr[i++];}while(i != midIndex+1)tempArr[k++] = sourceArr[i++];while(j != endIndex+1)tempArr[k++] = sourceArr[j++];for(i=startIndex; i<=endIndex; i++)sourceArr[i] = tempArr[i];
}//内部使用递归
void MergeSort(int sourceArr[], int tempArr[], int startIndex, int endIndex) {int midIndex;if(startIndex < endIndex) {midIndex = startIndex + (endIndex-startIndex) / 2;//避免溢出intMergeSort(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex);MergeSort(sourceArr, tempArr, midIndex+1, endIndex);Merge(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex, endIndex);}
}

5.5 平方阶O(N²)

平方阶与线性对数阶相似，常见于嵌套循环中，每层循环的复杂度为O(N)

时间复杂度为O(N²)，最常见的就是冒泡排序

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

计算过程如下;
$T(N)=1+2+3+......+n-1=(n^2-n)/2=O(n^2)$

空间复杂度为O(N²)，最简单的就是动态开辟。

{int n = 0;int count = 0;scanf("%d", &n);int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n*n);//开辟大小为n的空间if (p == NULL){perror("malloc fail");return -1;}free(p);p=NULL;return 0;
}

5.6 指数阶O(2^N)

指数阶的算法效率低，并不常用。

常见的时间复杂度为O(2^N)的算法就是递归实现斐波拉契数列：

int Fib1(int n)
{if (n == 1 || n == 2){return 1;}else{return Fib1(n - 1) + Fib1(n - 2);}
}

粗略估计
$T(n)=2^0+2^1+2^2+.....+2^(n-1)=2^n-1=O(2^N)$

值得一提的是斐波拉契的空间复杂度为O(N)，因为在递归至最深处后往回归的过程中，后续空间都在销毁的空间上建立的，这样能大大提高空间的利用率。

空间复杂度为O(2^N)的算法一般与树有关，比如建立满二叉树

TreeNode* buildTree(int n) {if (n == 0)return NULL;TreeNode* root = newTreeNode(0);root->left = buildTree(n - 1);root->right = buildTree(n - 1);return root;
}

5.7 阶乘阶O(N!)

阶乘阶的算法复杂度最高，几乎不会采用该类型的算法。

这是一个时间复杂度为阶乘阶O(N!)的算法

int func(int n)
{if (n == 0)return 1;int count = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {count += func(n - 1);}return count;
}

示意图：

空间复杂度为阶乘阶O(N!)的算法并不常见，这里就不在一一列举。