P5076 【深基16.例7】普通二叉树（简化版）题解

题目

您需要写一种数据结构，来维护一些数（都是绝对值10^{9}以内的数）的集合，最开始时集合是空的。其中需要提供以下操作，操作次数q不超过10^{4}：

  1. 定义数x的排名为集合中小于x的数的个数+1。查询数x的排名。注意x不一定在集合里。
  2. 查询排名为x(x≥1) 的数。保证集合里至少有x个数。
  3. 求x的前驱（前驱定义为小于x，且最大的数）。若不存在则输出−2147483647。
  4. 求x的后继（后继定义为大于x，且最小的数）。若不存在则输出2147483647。
  5. 插入一个数x，本题的数据保证插入前x不在集合中。

保证执行1,3,4操作时，集合中有至少一个元素。

输入输出格式

输入格式

第一行是一个整数q，表示操作次数。

接下来q行，每行两个整数op,x，分别表示操作序号以及操作的参数x。

输出格式

输出有若干行。对于操作1,2,3,4，输出一个整数，表示该操作的结果。

输入输出样例

输入样例

7
5 1
5 3
5 5
1 3
2 2
3 3
4 3

输出样例

2
3
1
5

解析1

BST，二叉搜索树，又叫二叉排序树，是一棵空树或具有以下几种性质的树:

  1. 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值

  2. 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值

  3. 左、右子树也分别为二叉排序树

  4. 没有权值相等的结点。

第4条在数据中遇到多个相等的数我们可以多加一个计数器，就是当前这个值出现了几遍。

那么我们的每一个节点都包含以下几个信息:

  1. 当前节点的权值，也就是序列里的数

  2. 左孩子的下标和右孩子的下标，如果没有则为0

  3. 计数器，代表当前的值出现了几遍

  4. 子树大小和自己的大小的和

节点是这样的:

struct node{int val,ls,rs,cnt,siz;
}tree[500010];

其中val是权值，ls /rs是左/右孩子的下标，cnt是当前的权值出现了几次，siz 是子树大小和自己的大小的和。

以下均以递归方式呈现。

插入:

x是当前节点的下标，v是要插入的值。要在树上插入一个v的值，就要找到一个合适v的位置，如果本身树的节点内有代表v的值的节点，就把该节点的计数器加1 ，否则一直向下寻找，直到找到叶子节点，这个时候就可以从这个叶子节点连出一个儿子，代表v的节点。具体向下寻找该走左儿子还是右儿子是根据二叉搜索树的性质来的。

void add(int x,int v)
{tree[x].siz++;//如果查到这个节点，说明这个节点的子树里面肯定是有v的，所以siz++if(tree[x].val==v){//如果恰好有重复的数，就把cnt++，退出即可，因为我们要满足第四条性质tree[x].cnt++;return ;}if(tree[x].val>v){//如果v<tree[x].val，说明v实在x的左子树里if(tree[x].ls!=0)add(tree[x].ls,v);//如果x有左子树，就去x的左子树else{//如果不是，v就是x的左子树的权值cont++;//cont是目前BST一共有几个节点tree[cont].val=v;tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;tree[x].ls=cont;}}else{//右子树同理if(tree[x].rs!=0)add(tree[x].rs,v);else{cont++;tree[cont].val=v;tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;tree[x].rs=cont;}}
}

找前驱:

x是当前的节点的下标,val是要找前驱的值，ans是目前找到的比val小的数的最大值。

找前驱的方法也是不断的在树上向下爬找具体节点，具体爬的方法可以参考代码注释部分。

int queryfr(int x, int val, int ans) {if (tree[x].val>=val){//如果当前值大于val，就说明查的数大了，所以要往左子树找if (tree[x].ls==0)//如果没有左子树就直接返回找到的ansreturn ans;else//如果不是的话，去查左子树return queryfr(tree[x].ls,val,ans);}else{//如果当前值小于val，就说明我们找比val小的了if (tree[x].rs==0)//如果没有右孩子，就返回tree[x].val，因为走到这一步时，我们后找到的一定比先找到的大(参考第二条性质)return (tree[x].val<val) ? tree[x].val : ans//如果有右孩子，，我们还要找这个节点的右子树，因为万一右子树有比当前节点还大并且小于要找的val的话，ans需要更新if (tree[x].cnt!=0)//如果当前节数的个数不为0，ans就可以更新为tree[x].valreturn queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val);else//反之ans不需要更新return queryfr(tree[x].rs,val,ans);}
}

找后继

与找前驱同理，只不过反过来了，在这里我就不多赘述了。

int queryne(int x, int val, int ans) {if (tree[x].val<=val){if (tree[x].rs==0)return ans;elsereturn queryne(tree[x].rs,val,ans);}else{if (tree[x].ls==0)return (tree[x].val>val)? tree[x].val : ans;if (tree[x].cnt!=0)return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val);elsereturn queryne(tree[x].ls,val,ans);}
}

按值找排名:

这里我们就要用到 siz了，排名就是比这个值要小的数的个数再+1，所以我们按值找排名，就可以看做找比这个值小的数的个数，最后加上1即可。

int queryval(int x,int val)
{if(x==0) return 0;//没有排名 if(val==tree[x].val) return tree[tree[x].ls].siz;//如果当前节点值=val，则我们加上现在比val小的数的个数，也就是它左子树的大小 if(val<tree[x].val) return queryval(tree[x].ls,val);//如果当前节点值比val大了，我们就去它的左子树找val，因为左子树的节点值一定是小的 return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt;//如果当前节点值比val小了，我们就去它的右子树找val，同时加上左子树的大小和这个节点的值出现次数 //因为这个节点的值小于val，这个节点的左子树的各个节点的值一定也小于val 
}
//注:这里最终返回的是排名-1，也就是比val小的数的个数，在输出的时候记得+1

按排名找值:

因为性质1和性质2，我们发现排名为n的数在BST上是第n靠左的数。或者说排名为n的数的节点在BST中，它的左子树的siz与它的各个祖先的左子树的siz相加恰好=n (这里相加是要减去重复部分)。

所以问题又转化成上一段或者说的后面的部分

rk是要找的排名

int queryrk(int x,int rk)
{if(x==0) return INF; if(tree[tree[x].ls].siz>=rk)//如果左子树大小>=rk了，就说明答案在左子树里 return queryrk(tree[x].ls,rk);//查左子树 if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk)//如果左子树大小加上当前的数的多少恰好>=k，说明我们找到答案了 return tree[x].val;//直接返回权值 return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt);//否则就查右子树，同时减去当前节点的次数与左子树的大小 
}

删除:

具体就是利用二叉搜索树的性质在树上向下爬找到具体节点，把计数器-1。与上文同理。

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
int cont;
struct node{int val,siz,cnt,ls,rs;
}tree[1000010];
void add(int x,int v){tree[x].siz++;if(tree[x].val==v){tree[x].cnt++;return;}if(tree[x].val>v){if(tree[x].ls!=0){add(tree[x].ls,v);}else{cont++;tree[cont].val=v;tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;tree[x].ls=cont;}}else{if(tree[x].rs!=0){add(tree[x].rs,v);}else{cont++;tree[cont].val=v;tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;tree[x].rs=cont;}}
}
int queryfr(int x,int val,int ans){if(tree[x].val>=val){if(tree[x].ls==0){return ans;}else{return queryfr(tree[x].ls,val,ans);}}else{if(tree[x].rs==0){return tree[x].val;}return queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val);}
}
int queryne(int x,int val,int ans){if(tree[x].val<=val){if(tree[x].rs==0){return ans;}else{return queryne(tree[x].rs,val,ans);}}else{if(tree[x].ls==0){return tree[x].val;}return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val);}
}
int queryrk(int x,int rk){if(x==0){return INF;}if(tree[tree[x].ls].siz>=rk){return queryrk(tree[x].ls,rk);}if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk){return tree[x].val;}return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt);
}
int queryval(int x,int val){if(x==0){return 0;}if(val==tree[x].val){return tree[tree[x].ls].siz;}if(val<tree[x].val){return queryval(tree[x].ls,val);}return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt;
}
int main(){int n,opt,xx;cin>>n;while(n--){cin>>opt>>xx;if(opt==1){cout<<queryval(1,xx)+1<<endl;}else if(opt==2){cout<<queryrk(1,xx)<<endl;}else if(opt==3){cout<<queryfr(1,xx,-INF)<<endl;}else if(opt==4){cout<<queryne(1,xx,INF)<<endl;}else{if(cont==0){cont++;tree[cont].cnt=tree[cont].siz=1;tree[cont].val=xx;}else{add(1,xx);}}}return 0;
}

解析2

使用multiset，它是C++STL里的一种容器。头文件 #include<set>

multiset性质：

  • 里面的元素按顺序排列，默认升序。
  • 不去重（这点和set是不同的）。

常用方法

multiset<int>q;
//定义一个multiset，尖括号里写类型
//如果是自定义类型，需要重载小于号 q.insert(x);
//插入一个数 x q.clear();
//清空 q.erase(x);
//删除容器中的所有值为 x 的数 q.erase(it);
//删除容器中迭代器it指向的元素 q.empty();
//返回bool值，如果容器为空返回true，否则返回false q.size()
//返回元素个数q.begin();
//返回首个元素的迭代器 q.end();
//返回最后一个元素的下一个位置的迭代器 q.count(x);
//返回容器中 x 的个数 q.find(x);
//返回容器中第一个x的位置（迭代器），如果没有就返回q.end() q.lower_bound(x);
//返回容器中第一个大于等于x的数的迭代器 q.upper_bound(x);
//返回容器中第一个大于x的数的迭代器

分析题目

1. 查询 x 数的排名

用lower_bound方法，找到第一个x的位置。

然后从begin开始往后遍历容器，只要达到这个位置，就输出当前下标即可。

2.查询排名为 x 的数

遍历容器，只要当前排名到达x，就输出当前值。（因为multiset容器无法进行随机访问）

3.求 x 的前驱（前驱定义为小于 x，且最大的数）

前驱，也就是x的前一个。用lower_bound方法找到第一个x的位置，然后输出上一个就OK了。

4.求 x 的后继（后继定义为大于 x，且最小的数）

后继，也就是第一个大于x的数。用upper_bound方法，直接找到这个值。

5.插入一个数 x

直接用insert方法插入即可。

完整代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
multiset<int>q;
int n,t,x,order;
int main()
{q.insert(-0x7fffffff);q.insert(0x7fffffff);//提前放入这两个数，避免错误cin>>n;while(n--){cin>>t>>x;if(t==1){multiset<int>::iterator it=q.lower_bound(x);order=0;for(multiset<int>::iterator i=q.begin();i!=it;i++,order++);cout<<order<<endl;}else if(t==2){order=-1;for(multiset<int>::iterator it=q.begin();it!=q.end();it++){order++;if(order==x)cout<<*it<<endl;}}else if(t==3){multiset<int>::iterator it=q.lower_bound(x);cout<<*--it<<endl;}else if(t==4){cout<<*q.upper_bound(x)<<endl;}else{q.insert(x);}}return 0;
}

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