算法沉淀——动态规划之其它背包问题与卡特兰数（leetcode真题剖析）

在这里插入图片描述

算法沉淀——动态规划之其它背包问题与卡特兰数

  • 二维费用的背包问题
    • 01.一和零
    • 02.盈利计划
  • 似包非包
    • 组合总和 Ⅳ
  • 卡特兰数
    • 不同的二叉搜索树

二维费用的背包问题

01.一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

  • 1 <= strs.length <= 600
  • 1 <= strs[i].length <= 100
  • strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
  • 1 <= m, n <= 100

思路

问题转化为二维费用的01背包问题：

  1. 状态表示：
    • dp[i][j][k] 表示从前 i 个字符串中挑选，字符 0 的个数不超过 j，字符 1 的个数不超过 k，所有的选法中，最大的长度。
  2. 状态转移方程：
    • 根据最后一步的状况，分两种情况讨论：
      • 不选第 i 个字符串：相当于去前 i - 1 个字符串中挑选，并且字符 0 的个数不超过 j，字符 1 的个数不超过 k。此时的最大长度为 dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]。
      • 选择第 i 个字符串：接下来在前 i - 1 个字符串中挑选，字符 0 的个数不超过 j - a，字符 1 的个数不超过 k - b 的最大长度，然后在这个长度后面加上字符串 i。此时 dp[i][j][k] = dp[i - 1][j - a][k - b] + 1。需要特判这种状态是否存在。
    • 综上，状态转移方程为：dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - a][k - b] + 1)。
  3. 初始化：
    • 当没有字符串的时候，没有长度，因此初始化为 0。
  4. 填表顺序：
    • 保证第一维的循环从小到大即可。
  5. 返回值：
    • 根据状态表示，返回 dp[l][m][n]。

代码

class Solution {
public:int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {int l=strs.size();vector<vector<vector<int>>> dp(l+1,vector<vector<int>>(m+1,vector<int>(n+1)));for(int i=1;i<=l;i++){int a=0,b=0;for(char ch:strs[i-1])if(ch=='0') a++;else b++;for(int j=m;j>=0;j--)for(int k=n;k>=0;k--){dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k];if(j>=a&&k>=b) dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i-1][j-a][k-b]+1);}}return dp[l][m][n];}
};

02.盈利计划

题目链接：https://leetcode.cn/problems/profitable-schemes/

集团里有 n 名员工，他们可以完成各种各样的工作创造利润。

第 i 种工作会产生 profit[i] 的利润，它要求 group[i] 名成员共同参与。如果成员参与了其中一项工作，就不能参与另一项工作。

工作的任何至少产生 minProfit 利润的子集称为 盈利计划 。并且工作的成员总数最多为 n 。

有多少种计划可以选择？因为答案很大，所以 返回结果模 10^9 + 7 的值。

示例 1：

输入：n = 5, minProfit = 3, group = [2,2], profit = [2,3]
输出：2
解释：至少产生 3 的利润，该集团可以完成工作 0 和工作 1 ，或仅完成工作 1 。
总的来说，有两种计划。

示例 2：

输入：n = 10, minProfit = 5, group = [2,3,5], profit = [6,7,8]
输出：7
解释：至少产生 5 的利润，只要完成其中一种工作就行，所以该集团可以完成任何工作。
有 7 种可能的计划：(0)，(1)，(2)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，以及 (0,1,2) 。

提示：

  • 1 <= n <= 100
  • 0 <= minProfit <= 100
  • 1 <= group.length <= 100
  • 1 <= group[i] <= 100
  • profit.length == group.length
  • 0 <= profit[i] <= 100

思路

  1. 状态表示：
    • dp[i][j][k] 表示从前 i 个计划中挑选，总人数不超过 j，总利润至少为 k，有多少种选法。
  2. 状态转移方程：
    • 根据最后一位的元素，有两种选择策略：
      • 不选第 i 位置的计划：此时只能在前 i - 1 个计划中挑选，总人数不超过 j，总利润至少为 k。此时有 dp[i - 1][j][k] 种选法。
      • 选择第 i 位置的计划：在前 i - 1 个计划中挑选的限制变成了，总人数不超过 j - g[i]，总利润至少为 max(0, k - p[i])。此时有 dp[i - 1][j - g[i]][max(0, k - p[i])] 种选法。
    • 注意特殊情况：
      • 如果 j - g[i] < 0，说明人数过多，状态不合法，舍去。
      • 对于 k - p[i] < 0，说明利润太高，但问题要求至少为 k，因此将其取 max(0, k - p[i])。
    • 综上，状态转移方程为：dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] + dp[i - 1][j - g[i]][max(0, k - p[i])]。
  3. 初始化：
    • 当没有任务时，利润为 0。在这种情况下，无论人数限制为多少，都能找到一个「空集」的方案。因此初始化 dp[0][j][0] 为 1，其中 0 <= j <= n。
  4. 填表顺序：
    • 根据状态转移方程，保证 i 从小到大即可。
  5. 返回值：
    • 根据状态表示，返回 dp[l][m][n]，其中 l 表示计划数组的长度。

代码

class Solution {const int MOD=1e9+7;
public:int profitableSchemes(int n, int m, vector<int>& group, vector<int>& profit) {int l = group.size();vector<vector<vector<int>>> dp(l+1,vector<vector<int>>(n+1,vector<int>(m+1)));for(int j=0;j<=n;j++) dp[0][j][0]=1;for(int i=1;i<=l;i++)for(int j=0;j<=n;j++)for(int k=0;k<=m;k++){dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k];if(j>=group[i-1]) dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-group[i-1]][max(0,k-profit[i-1])];dp[i][j][k]%=MOD;}return dp[l][n][m];}   
};

似包非包

组合总和 Ⅳ

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：

  • 1 <= nums.length <= 200
  • 1 <= nums[i] <= 1000
  • nums 中的所有元素 互不相同
  • 1 <= target <= 1000

思路

注意这里题目意思容易混淆概念，其实这里是一个排列问题而并非组合问题，所以应该是普通的动态规划问题

  1. 状态表示：
    • dp[i] 表示总和为 i 时，一共有多少种排列方案。
  2. 状态转移方程：
    • 对于 dp[i]，根据最后一个位置划分，选择数组中的任意一个数 nums[j]，其中 0 <= j <= n - 1。
    • 当 nums[j] <= i 时，排列数等于先找到 i - nums[j] 的方案数，然后在每一个方案后面加上一个数字 nums[j]。
    • 因为有很多个 j 符合情况，状态转移方程为：dp[i] += dp[i - nums[j]]，其中 0 <= j <= n - 1。
  3. 初始化：
    • 当和为 0 时，我们可以什么都不选，即「空集」一种方案，因此 dp[0] = 1。
  4. 填表顺序：
    • 根据状态转移方程，从左往右填表。
  5. 返回值：
    • 根据状态表示，返回 dp[target] 的值。

代码

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<double> dp(target+1);dp[0]=1;for(int i=1;i<=target;i++)for(int& x:nums)if(x<=i) dp[i]+=dp[i-x];return dp[target];}
};

卡特兰数

不同的二叉搜索树

题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

  • 1 <= n <= 19

思路

  1. 状态表示：
    • dp[i] 表示当结点数量为 i 个时，一共有多少颗 BST。
  2. 状态转移方程：
    • 对于 dp[i]，选择每一个结点 j 作为头结点，分析不同头结点的 BST 数量。
    • 根据 BST 的定义，j 号结点的左子树的结点编号在 [1, j-1] 之间，有 j-1 个结点，右子树的结点编号在 [j+1, i] 之间，有 i-j 个结点。
    • 因此，j 号结点作为头结点的 BST 种类数量为 dp[j-1] * dp[i-j]。
    • 综合每一个可能的头结点，状态转移方程为：dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]，其中 1 <= j <= i。
  3. 初始化：
    • dp[0] 表示空树，也是一颗二叉搜索树，因此 dp[0] = 1。
    • 针对 i 从 1 开始的情况，需要通过 dp[j-1] * dp[i-j] 来计算。
  4. 填表顺序：
    • 从左往右填表，保证每一步都有所依赖的子问题的解。
  5. 返回值：
    • 返回 dp[n] 的值，表示结点数量为 n 时的 BST 种类数量。

代码

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n+1);dp[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];return dp[n];}
};

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.hqwc.cn/news/518825.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系编程知识网进行投诉反馈email:809451989@qq.com，一经查实，立即删除！

相关文章

登录校验-过滤器-拦截器

登录校验-过滤器-拦截器

会话技术 会话&#xff1a;用户打开浏览器&#xff0c;访问Wb服务器的资源&#xff0c;会话建立&#xff0c;直到有一方断开连接&#xff0c;会话结束。在一次会话中可以包含多次请求和响应。 会话跟踪&#xff1a;一种维护浏览器状态的方法&#xff0c;服务器需要识别多次请求…
阅读更多...
【MySQL知识体系】第2章 数据库与表的创建（一）

【MySQL知识体系】第2章 数据库与表的创建（一）

第2章 数据库与表的创建 2.1 数据库操作 2.2 表操作 文章目录 第2章 数据库与表的创建2.1 数据库操作2.1.1 创建第一个数据库2.1.2 更新数据库名称&#xff08;数据库创建后无法修改名称&#xff09;2.1.3 删除数据库2.1.4 取个合适的数据库名称 第2章 数据库与表的创建 2.1 数…
阅读更多...
抖音商家短视频直播流量变现运营SOP地图

抖音商家短视频直播流量变现运营SOP地图

【干货资料持续更新&#xff0c;以防走丢】 抖音商家短视频直播流量变现运营SOP地图 部分资料预览 资料部分是网络整理&#xff0c;仅供学习参考。 抖音运营资料合集&#xff08;完整资料包含以下内容&#xff09; 目录 【提升短视频运营效率的专业指南】 高效运营&#xf…
阅读更多...
浅谈Linux进程隐藏

浅谈Linux进程隐藏

浅谈Linux进程隐藏 文章目录 浅谈Linux进程隐藏前言环境变量的绕过常用的命令在哪里环境变量的调用前置知识的了解Netstat伪装怎么去甄别 LD_PRELOAD简单实例check.c重载函数设置LD_PERLOAD删除环境变量LD_PERLOAD PS的隐藏readdir函数如何HOOK编译并验证 LD_PRELOAD的其他利用…
阅读更多...
运算符重载（Operator Overloading）

运算符重载（Operator Overloading）

定义 在C中&#xff0c;运算符重载&#xff08;Operator Overloading&#xff09;是一种允许程序员为自定义数据类型重新定义或重载已有的运算符的功能。通过运算符重载&#xff0c;我们可以使得自定义类型的对象能够像内置类型&#xff08;如int、float等&#xff09;一样使用…
阅读更多...
基于yolov5的柿子成熟度检测系统，可进行图像目标检测，也可进行视屏和摄像检测（pytorch框架）【python源码+UI界面+功能源码详解】

基于yolov5的柿子成熟度检测系统，可进行图像目标检测，也可进行视屏和摄像检测（pytorch框架）【python源码+UI界面+功能源码详解】

功能演示&#xff1a; 基于yolov5的柿子成熟度检测系统&#xff0c;系统既能够实现图像检测&#xff0c;也可以进行视屏和摄像实时检测_哔哩哔哩_bilibili &#xff08;一&#xff09;简介 基于yolov5的柿子成熟度检测系统是在pytorch框架下实现的&#xff0c;这是一个完整的…
阅读更多...
AES加密学习

AES加密学习

AES&#xff08;高级加密标准&#xff09;是一种对称密钥加密算法&#xff0c;用于加密和解密数据。它被广泛应用于各种安全领域&#xff0c;包括但不限于网络通信、数据存储和软件保护。 历史背景 AES是由比利时密码学家Joan Daemen和Vincent Rijmen设计的Rijndael算法演变而…
阅读更多...
MySQL实战45讲——30答疑文章（二）：用动态的观点看加锁

MySQL实战45讲——30答疑文章（二）：用动态的观点看加锁

目录 不等号条件里的等值查询 等值查询的过程 怎么看死锁&#xff1f; 怎么看锁等待&#xff1f; update 的例子 小结 上期问题时间 提示 文章摘自林晓斌老师《MySQL实战45讲》&#xff0c;作为笔记而用&#xff0c;故有加一些自己的理解。在第[20]和[21]篇文章中&…
阅读更多...
加油！你也可以成为学生口中的“好老师”

加油！你也可以成为学生口中的“好老师”

在教育的道路上&#xff0c;每一位教师都承载着塑造未来的重要使命。而成为学生口中的“好老师”&#xff0c;无疑是每位教育工作者的追求和荣耀。那么&#xff0c;如何才能成为这样的“好老师”呢&#xff1f; 一、热爱教育&#xff0c;关爱学生 成为“好老师”的首要条件是对…
阅读更多...
Freecad Assembly4装配模型设计入门

Freecad Assembly4装配模型设计入门

一、基本信息 本文内容&#xff1a;学习Assembly4装配模型设计功能。 2024年3月7日 最新版Freecad 0.21.2 最新版 Assembly4 0.50.8 下载地址&#xff1a;stoneold/FreeCAD_Assembly4 最新版 Assembly4 示例教程 下载地址&#xff1a;FreeCAD_Examples: Freecad Assmbly4 …
阅读更多...
安全防御第七次作业

安全防御第七次作业

拓扑图如图所示&#xff1a; 问题&#xff1a;在FW7和FW8之间建立一条IPSEC通道保证10.0.2.0/24网段 可以正常访问到192.168.1.0/24 注&#xff1a;基础配置我在此省略了 一、NAT配置 FW4&#xff1a; FW6&#xff1a; 二、在FW4上做服务器映射 三、配置IPSEC FW5&#xff…
阅读更多...
Vue+SpringBoot打造考研专业课程管理系统

Vue+SpringBoot打造考研专业课程管理系统

目录 一、摘要1.1 项目介绍1.2 项目录屏 二、功能模块2.1 数据中心模块2.2 考研高校模块2.3 高校教师管理模块2.4 考研专业模块2.5 考研政策模块 三、系统设计3.1 用例设计3.2 数据库设计3.2.1 考研高校表3.2.2 高校教师表3.2.3 考研专业表3.2.4 考研政策表 四、系统展示五、核…
阅读更多...
推荐文章
最新文章

Copyright @ 2022~2023