一.topk问题

取N个数中最大(小)的前k个值,N远大于k

这道题可以用堆的方法来解决,首先取这N个数的前k个值,用它们建堆

时间复杂度O(k)

之后将剩余的N-k个数据依次与堆顶数据进行比较,如果比堆顶数据大,则将堆顶数据覆盖后向下调整

时间复杂度(N-k)*log(N)

总共的时间复杂度为O(N*log(N))

void adjustDown(HeapDataType* p, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;if (p[child] > p[child + 1])child++;while (child <= size){if (child + 1 <= size && p[parent] > p[child]){Swap(&p[parent], &p[child]);parent = child;child = child * 2 + 1;if (p[child] > p[child + 1])child++;}else break;}
}
void heapTopk(HeapDataType* p, int size)
{int k;scanf_s("%d", &k);for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)adjustDown(p, k, i);while (size - k > 0){if (p[size - 1] > p[0])p[0] = p[size - 1];adjustDown(p, k, 0);size--;}
}

二.链式二叉树

用数组建堆只能用在完全二叉树的情况下,那其他情况该怎么办?

显然顺序表已经行不通了,那我们不妨换链表试试

链式二叉树是一种用链表结构存储二叉树的方式，每个节点包含一个值以及左右子节点的指针。其遍历方式分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。

1.前序遍历(根->左子树->右子树)

以这个图为例

首先访问根的数据,也就是1

然后访问1的左子树,也就是以2为根节点的树,然后再访问2的左子树,也就是以3为根节点的树,直到访问到空节点,

同理访问右子树

1->2->3->N->N->N->4->5->N->N->6->N->N

void preTreeNode(TNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);preTreeNode(root->left);preTreeNode(root->right);
}

2.中序遍历(左子树->根->右子树)

首先访问1的左子树,也就是以2为根节点的树,然后访问2的左子树,也就是以3为根节点的树,直到访问到空,最后回到根节点1,然后同理去访问右子树

N->3->N->2->N->1->N->5->N->4->N->6->N

void inTreeNode(TNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}inTreeNode(root->left);printf("%d ", root->data);inTreeNode(root->right);
}

3.后序遍历(左子树->右子树->根)

N->N->3->N->2->N->N->5->N->N->6->4->1

void postTreeNode(TNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}postTreeNode(root->left);postTreeNode(root->right);printf("%d ", root->data);
}

三.双路递归

1.概念及应用场景

双路递归是一种算法思想，指的是在递归过程中同时处理两个子问题，从而提高递归的效率和性能。例如，在归并排序中，可以同时对左半部分和右半部分进行排序，然后将它们合并成一个有序的序列，从而实现排序的目的。
 
归并排序是一种基于分治思想的排序算法，其基本思想是将一个数组分成两半，对每一半进行排序，然后将排序后的两个半数组合并成一个有序的数组。归并排序可以用于内排序和外排序，其时间复杂度为 O(nlogn)，是一种稳定的排序算法。

在处理一些问题时，双路递归比单路递归更有效率，例如在归并排序中，双路递归可以同时对左半部分和右半部分进行排序，然后将它们合并成一个有序的序列，从而减少了排序的时间复杂度。
 
另外，在一些搜索问题中，双路递归也可以更快地找到目标元素，例如在二叉搜索树中，可以同时从左子树和右子树进行搜索，从而更快地找到目标元素。
 
总的来说，双路递归适用于那些可以将问题拆分成两个子问题，并且可以同时处理这两个子问题的情况。在这种情况下，双路递归可以减少递归的次数，提高算法的效率。但是，使用双路递归也需要注意一些问题，例如递归深度的增加和内存的消耗等。

2.与单路递归的区别

单路递归和双路递归都有各自的优缺点，下面是它们的一些特点：
 
- 单路递归的优点：
 

• - 代码简单易懂，容易理解和实现。
• - 适用于一些简单的问题，如斐波那契数列、阶乘等。

- 单路递归的缺点：
 

• - 可能会出现栈溢出的情况，尤其是在处理大数据量时。
• - 对于某些问题可能会出现重复计算，导致效率低下。

- 双路递归的优点：

 

• - 可以减少重复计算，提高效率。
• - 可以处理一些复杂的问题，如二叉树的遍历、图的深度优先搜索等。

- 双路递归的缺点：

 

• - 代码相对复杂，不易理解和维护。
• - 可能会消耗更多的内存，尤其是在处理大规模数据时。

 
需要根据具体情况选择使用单路递归还是双路递归。如果问题规模较小，单路递归可能更适合；如果问题规模较大或需要更高的效率，双路递归可能更合适。同时，还需要考虑程序的内存使用情况和算法的可扩展性等因素。

3.空间复用

空间复用是指在不同的时间段内，不同的用户共享相同的一组资源，这样可以降低成本，提高资源利用率。空间复用是多用户接入的重要技术，它可以实现数据、信号、频率、时间等方面的共享。
 
以LTE通信为例，空间复用是利用两个较大的天线阵元或赋形波束之间的不相关性，向一个终端/基站并行发射多个数据流，以实现链路容量的提高。

双路递归中的空间复用是指在递归过程中重复利用之前开辟的空间，以减少内存使用量。以 longlong Fib(size_t N) 函数为例，该函数的作用是计算斐波那契数列中第 N 个数的值。在递归计算 Fib(2) 时，会开辟一块空间来存储计算结果；在计算 Fib(1) 时，会复用 Fib(2) 开辟的空间；在计算 Fib(5) 时，会复用 Fib(4) 开辟的空间，依此类推。通过这种方式，可以有效减少内存的使用，提高程序的运行效率。
 
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