【数据结构】二叉树---AVL树的实现

      

目录

一.  什么是AVL树

二.  AVL树的结点结构定义

三.  AVL树的动态平衡法

1. 左单旋转 --- RL(RotateLeft) 型调整操作

2. 右单旋转 --- RR(RotateRight) 型调整操作

3. 先左后右双旋转 --- RLR (RotateLeftRight) 型调整操作

4. 先右后左双旋转 --- RRL (RotateRightLeft) 型调整操作

四.  AVL树的插入操作

五.  AVL树的验证操作

六.  完整源代码

一.  什么是AVL树

AVL树，又称平衡二叉树。   

       它可以是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树：即它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度只差的绝对值不超过 1。 把二叉树上结点的平衡因子BF定义为该结点的左子树的高度和右子树的高度之差（即平衡二叉树上结点的平衡因子只可能是 -1、0 和 1）

       只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。

   说明：后面所用到的平衡因子的都是右子树的高的 - 左子树的高度

二.  AVL树的结点结构定义

       影响二叉搜索树平衡的操作只能是插入和删除，这里已插入为例，同样一组数据元素插  入的顺序不同，二叉搜索树的形状就不同。也就需要一种动态平衡方法，当插入操作破坏了平衡，便可以用来调整。这种方式需要在原来二叉搜索树结点中增加一个量为平衡因子(BF)

结点结构图：

在这里为了方便进行旋转操作对于AVL树的结点定义采用三叉链的结构：

//类模板结点的定义
template <class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<T>* _left;AVLTreeNode<T>* _right;AVLTreeNode<T>* _parent;   //指向当前结点的父节点的指针AVLTreeNode<T> _data;int _bf;                      //平衡因子//结点的构造函数AVLTreeNode(const T& data):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0),_data(data){}};

三.  AVL树的动态平衡法

        如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为以下四种：

1. 左单旋转 --- RL(RotateLeft) 型调整操作

      单向左旋平衡处理: 由于在subR这个结点的右子树上插入结点 ，subR的平衡因子由0变为1，p的平衡因子由1变为2，导致以p为根的子树失去平衡，则需进行一次向左的逆时针旋转操作

    链接操作：b链接到p的右；

                      p链接到subR的左；

                      subR成为当前树的根

注意：1. 链接时subRL为空的情况

           2. p可能是整棵树的子树 (p的上面可能还有结点) 或 整棵树的根 (p的上面无结点)

图示：

    //左单旋转void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//做左旋转（修改结点的指向）parent->_right = subRL;if (subRL)                  //若subRL不为空，则修改subRL中指向父节点的指针(_parent)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;//修改各结点中父指针(_parent)的指向Node* ppnode = parent->_parent;         //保存parent中父指针(_parent)的指向parent->_parent = subR;                 //修改parent中指向父节点的指针(_parent)if (parent == _root)                    //判断当前结点是否为根节点{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_right == parent){ppnode->_right = subR;}else{ppnode->_left = subR;}subR->_parent = ppnode;}//更新平衡因子parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}

2. 右单旋转 --- RR(RotateRight) 型调整操作

  单向右旋平衡处理: 由于在subL的左子树上插入结点，subL的平衡因子由 0变成 -1 ，p的平衡因子由 1 变为 -2，导致以p为根的子树失去平衡，则需进行一次向右的顺时针旋转操作。

   链接操作：b链接到p的左；

                     p链接到subL的右；

                     subL成为当前树的根

注意：1. 链接时subLR为空的情况

           2. p可能是整棵树的子树 (p的上面可能还有结点) 或 整棵树的根 (p的上面无结点)

图示：

	//右单旋转void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//做右旋转（修改结点的指向）parent->_left = subLR;if (subLR)                  //若subLR不为空，则修改subLR中指向父节点的指针(_parent)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;//修改各结点中父指针(_parent)的指向Node* ppnode = parent->_parent;     //保存parent中父指针(_parent)的指向parent->_parent = subL;             //修改parent中指向父节点的指针(_parent)if (parent == _root)                //判断当前结点是否为根节点{_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}//更改平衡因子parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}

3. 先左后右双旋转 --- RLR (RotateLeftRight) 型调整操作

  双向旋转(先左后右)平衡处理：由于在subL的右子树上插入结点，subL的平衡因子由 0 变为 1，p的平衡因子由 -1 变为 -2，导致以p为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转(先左旋后右旋)操作

   链接操作：左单旋：b链接到subL的右；

                                    subL链接到subLR的左；

                                    subLR链接到p的左

                      右单旋：c链接到p的左；

                                     p链接到subLR的右；

                                     subLR成为当前子树的根

图示：

    //先左后右双旋转void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;    //先保存旋转前subLR结点的平衡因子RotateL(parent->_left); //左单旋转RotateR(parent);        //右单旋转//更新旋转后的平衡因子if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

4. 先右后左双旋转 --- RRL (RotateRightLeft) 型调整操作

  双向旋转(先右后左)平衡处理：由于在subR的左子树上插入结点，subR的平衡因子由 0 变为 -1，p的平衡因子由 1 变为 2，导致以p为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转(先右旋后左旋)操作

   链接操作：右单旋：c链接到subR的左；

                                    subR链接到subRL的右；

                                    subRL链接到p的右

                     左单旋：b链接到p的右；

                                    p链接到subRL的左；

                                    subRL成为当前子树的根

     

图示：

    //先右后左双旋转void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;    //先保存旋转前subRL结点的平衡因子            RotateR(subR);          //右单旋转RotateL(parent);        //左单旋转//更新旋转后的平衡因子if (bf == 1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if(bf==0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

四.  AVL树的插入操作

        AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

       1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

       2. 调整节点的平衡因子      

        插入一个结点cur(当前要插入的结点)后，Parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，Parent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1;

分以下两种情况：  

      1. 如果cur插入到Parent的左侧，只需给 Parent 的平衡因子 减1 即可  

      2. 如果cur插入到Parent的右侧，只需给 Parent 的平衡因子 加1 即可  

此时：Parent的平衡因子可能有三种情况：0，1或-1， 2或-2  

      1. 如果Parent的平衡因子为 0，说明插入之前Parent的平衡因子为 1或-1，插入后被调整成 0，此时满足 AVL树的性质，插入成功  

      2. 如果Parent的平衡因子为 1或-1，说明插入前Parent的平衡因子一定为 0，插入后被更新成 1或-1，此时，以Parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新  

      3. 如果Parent的平衡因子为 2或-2，则Parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

bool Insert(const T& data)
{//为空树if (_root == nullptr){_root = new Node(data);return true;}//按照二叉搜索树的规则插入结点Node* parent = nullptr;  //记录插入结点的父节点Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_data < data){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_data > data){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//判断链接到父节点的那边cur = new Node(data);if (parent->_data > data){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//调整平衡因子 及 旋转调整 cur->_parent = parent; //修改当前结点(cur)的父指针（_parent）的指向while (parent){if (cur == parent->_left) //插入到父结点的左边，父节点的平衡因子--{parent->_bf--;}else                 //插入到父结点的左边，父节点的平衡因子--{parent->_bf++;}//if (parent->_bf == 0)   //若（插入节点后）当前结点的平衡因子为零，则不会影响此节点的父及祖先结点；{                       //说明当前这颗子树插入节点后，其高度没有发生变化，也就不需要向上更新平衡因子break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //若当前结点的平衡因子为1或-1，则会影响上面的祖先结点的平衡因子{											     //需要更新上面祖先的平衡因子cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//若当前结点的平衡因子为2或-2,则需做旋转调整{//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent); //左单旋转}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent); //右单旋转}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent); //先左单旋转，在右单旋转}else{RotateRL(parent); //先右单旋转，在左单旋转}break;}else            //说明插入之前AVL数就有问题{assert(false);}}return true;
}

五.  AVL树的验证操作

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

     1. 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

            验证方法：采用中序遍历即可

     2. 验证其为平衡树 每个节点子树高度差的绝对值不超过1

         (注意节点中如果没有平衡因子) 节点的平衡因子是否计算正确

            验证方法：1.验证每颗子树的左右高度差的绝对值是否超过 1（采用递归思想）；

                              2.验证结点的平衡因子是否正确

    //中序遍历void InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;InOrder(root->_left);cout << root->_data << endl;InOrder(root->_right);}//求树的高度int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftheight = _Height(root->_left);int rightheight = _Height(root->_right);return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;}// 验证AVL树的平衡bool _IsAVLTree1(Node* root) //前序遍历 {if (root == nullptr)return true;int leftheight = _Height(root->_left);  //左子树的高度int rightheight = _Height(root->_right); //右子树的高度//判断左右高度差是否超过1if (abs(rightheight - leftheight) >= 2){cout << root->_data << "不平衡" << endl;return false;}//判断结点的平衡因子是否有异常	if (rightheight - leftheight != root->_bf){cout << root->_data << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsAVLTree1(root->_left) && _IsAVLTree1(root->_right);}

六.  完整源代码

template <class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<T>* _left;AVLTreeNode<T>* _right;AVLTreeNode<T>* _parent;   //指向当前结点的父节点的int _bf;                      //平衡因子T _data;AVLTreeNode(const T& data):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0),_data(data){}};template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:AVLTree(): _root(nullptr){}bool Insert(const T& data){if (_root == nullptr){_root = new Node(data);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_data < data){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_data > data){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(data);if (parent->_data > data){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//调整平衡因子 及 旋转调整 cur->_parent = parent; while (parent){if (cur == parent->_left) //插入到父结点的左边，父节点的平衡因子--{parent->_bf--;}else                 //插入到父结点的左边，父节点的平衡因子--{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0)   {                       break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {											     //需要更新上面祖先的平衡因子cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent); //左单旋转}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent); //右单旋转}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent); //先左单旋转，在右单旋转}else{RotateRL(parent); //先右单旋转，在左单旋转}break;}else            //说明插入之前AVL数就有问题{assert(false);}}return true;}//左单旋转void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//做左旋转（修改结点的指向）parent->_right = subRL;if (subRL)                  //若subRL不为空，则修改subRL中指向父节点的指针(_parent)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;//修改各结点中父指针(_parent)的指向Node* ppnode = parent->_parent;         //保存parent中父指针(_parent)的指向parent->_parent = subR;                 //修改parent中指向父节点的指针(_parent)if (parent == _root)                    //判断当前结点是否为根节点{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_right == parent){ppnode->_right = subR;}else{ppnode->_left = subR;}subR->_parent = ppnode;}//更新平衡因子parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}//右单旋转void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//做右旋转（修改结点的指向）parent->_left = subLR;if (subLR)                  //若subLR不为空，则修改subLR中指向父节点的指针(_parent)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;   parent->_parent = subL;             if (parent == _root)              {_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}//更改平衡因子parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}//先左后右双旋转void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;    RotateL(parent->_left); RotateR(parent);        //更新旋转后的平衡因子if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}//先右后左双旋转void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;    RotateR(subR); RotateL(parent);   //更新旋转后的平衡因子if (bf == 1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if(bf==0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}//高度int Height(){return _Height(_root);}// AVL树的验证bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree1(_root);}//中序遍历void InOrder(){_InOrder(_root);}private:int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftheight = _Height(root->_left);int rightheight = _Height(root->_right);return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;}// AVL树的验证bool _IsAVLTree1(Node* root) //前序遍历 {if (root == nullptr)return true;int leftheight = _Height(root->_left);int rightheight = _Height(root->_right);if (abs(rightheight - leftheight) >= 2){cout << root->_data << "不平衡" << endl;return false;}if (rightheight - leftheight != root->_bf){cout << root->_data << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsAVLTree1(root->_left) && _IsAVLTree1(root->_right);}//中序遍历void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_data << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root;
};

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