FRM模型十八：Merton模型-编程知识

FRM模型十八：Merton模型

文章目录

莫顿模型介绍（Merton）
- 假设
- 表达式
- 信用利差及违约距离
代码实现

莫顿模型介绍（Merton）

莫顿模型是评估信用风险的一大重要理论。莫顿模型认为，债券是否违约这一行为归根到底是一种选择。当违约的好处>不违约的好处，就会选择违约；当违约的好处<不违约的好处，就会选择不违约。

假设

金融市场是完美市场，无税收、摩擦和破产成本。
公司仅依靠一种零息债券和股票进行融资。
违约只发生在到期日
无风险利率恒定
标的资产价格服从对数正态分布

表达式

当债券到期时，公司必须支付债券的本息。如果不能支付，那么公司破产，股票无价值，公司资产归债券持有人所有。如果到期后公司足额支付债券的本息，剩余部分属于股票持有人。

假设一家公司到期后需要支付100million给债券持有人。
如果到期时公司价值为120million，债券持有人会收到100million，股票持有人会收到20million。
如果到期时公司价值为80million，债券持有人会收到80million，股票持有人会收到0.

因此只有当公司价值>债券面值时，股票持有人才会获得收益。这种收益结构类似我们学过的一种金融工具——期权。

$S_{T}=Max(V_{T}-F,0)$
在这里插入图片描述
期权的定价又可以使用BSM模型计算，所以股票价值：
$E=VN(d_{1})-Ke^{-rt}N(d_{2})$
债券价值：
$B = VN(-d_{1})+Ke^{-rt}N(d_{2})$
其中V表示公司价值，K表示债券面值， $\sigma$ 表示股权价值波动率。
$d_{1}=\frac{In(\frac{V}{Ke^{-rT}})}{\sigma \sqrt{T}}+\frac{\sigma\sqrt{T}}{2}$

$d_{2}=\frac{In(\frac{V}{Ke^{-rT}})}{\sigma \sqrt{T}}-\frac{\sigma\sqrt{T}}{2}$

信用利差及违约距离

根据前面的公式可以反向推导信用利差及违约距离的计算公式。
$-\frac{1}{T}In(\frac{K}{V}-r)$
$d_{2}=\frac{In(V)-In(K)+(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\approx\frac{InV-InK}{\sigma}$

代码实现

举个例子：假设公司A的资本结构包括两部分：面值为100million的零息债券以及股票。当前公司A的资产的市场价格为130million，每年的波动率为30%。公司B的资本结构包括两部分：面值为250million的零息债券以及股票。当前公司B的资产的市场价格为400million，每年的波动率为25%。假设一年到期，哪家公司更容易违约？

import numpy as np
import math
from scipy import statsdef MertonCal(FirmValue, Debt, sigma, r, t):d1 = math.log(FirmValue/(Debt * math.exp(-r*t)), math.e)/(sigma * np.sqrt(t)) + 0.5 * sigma * np.sqrt(t)d2 = math.log(FirmValue/(Debt * math.exp(-r*t)), math.e)/(sigma * np.sqrt(t)) - 0.5 * sigma * np.sqrt(t)N_d1 = stats.norm.cdf(d1)N_d2 = stats.norm.cdf(d2)E = FirmValue * N_d1 - Debt * np.exp(-r * t) * N_d2B = FirmValue * (1 - N_d1) + Debt * np.exp(-r * t) * N_d2CreditSpread = -1/t * math.log(Debt/FirmValue - r, math.e)DtD = (math.log(FirmValue, math.e) - math.log(Debt, math.e))/sigmareturn E, B, CreditSpread, DtDV_a = 130
V_b = 400
D_a = 100
D_b = 250
sigma_a = 0.3
sigma_b = 0.25
r = 0.01
t = 1E_a, B_a, CreditSpread_a, DtD_a = MertonCal(V_a, D_a, sigma_a, r, t)
E_b, B_b, CreditSpread_b, DtD_b = MertonCal(V_b, D_b, sigma_b, r, t)
print("A公司的违约距离为%.4f"%(DtD_a))
print("B公司的违约距离为%.4f"%(DtD_b))