证明：指数函数和阶乘谁增长的更快？-编程知识

证明：指数函数和阶乘谁增长的更快？

先说结论，阶乘增长速度比指数函数快，也就是说：

$\lim_{n \to \infty }\frac{a^n}{n!}=0$

可以用简单的指数函数y=4^x的图形和阶乘函数图形做一个对比，可以发现，在自变量取值比较小的时候，指数函数（红色）是大于阶乘的，但是当自变量取值逐渐增加时，阶乘函数后来居上，增长率和数值上远远大于了指数函数。

这个规律是不是对所有整数为底的指数函数都适用呢？不管底数多大，指数函数最终追不上阶乘函数，根据本文开头的结论，答案是肯定的。这里证明以一下：

$\boldsymbol{0\leq \frac{a^n}{n!}=\frac{a\cdot a\cdot a \cdot a \cdot \cdot a }{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot n}=\frac{a\cdot a\cdot a \cdot a \cdot \cdot a }{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot a}\times \frac{a\cdot a\cdot a \cdot a \cdot \cdot a }{(a+1)\cdot (a+2) \cdot (a+3) \cdot (a+4) \cdot \cdot n}=M\cdot \frac{a\cdot a\cdot a \cdot a \cdot \cdot a }{(a+1)\cdot (a+2) \cdot (a+3) \cdot (a+4) \cdot \cdot n}=}$

$\boldsymbol{M\cdot \frac{a\cdot a\cdot a \cdot a \cdot \cdot a }{(a+1)\cdot (a+2) \cdot (a+3) \cdot (a+4) \cdot \cdot n}=M\cdot \frac{a}{a+1}\cdot \frac{a}{a+2}\cdot \cdot \frac{a}{n}\leq M\cdot \frac{a}{n}=0}$