康托展开(以及相关例题和代码)-编程知识

1.定义

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆（划重点，要考的）的。

当然了通俗易懂的来说的话，康托展开就相当于给每个全排列加个序号，每个全排列都有其自己独特的编号，比如说123456的编号为1,123465的编号为2（这时候是不是感觉有一点儿深搜的感觉，就相当于其全排列编号就是其是第几个全排列式子，反正我是这么理解的，个位酌情理解即可）

2.康托展开式

这里我们来讲解一下这里的ai指的都是啥，我们的ai指的是对于全排列中的从右往左的第i个数，有多少个本来该出现在前面的数没有出现，比如说54231这个排列方式，此时的a5应为4，因为5的前面本应该有4个数，但是一个也没有了，因此a5=4，那么5就可以固定了，再看a2，，前面三个数都已经固定了，看后续的，3的前面只有一个1，没有出现过，所以a2=1；，因此我们就可以通过上述公式来计算其康拓表达式的值，但是我们算出来了，还需加上一个1，因为每个全排列的序号最低为1，而也就是按顺序的全排列表，其康托展开式的值为0,12345，其康托展开式的值为0

3.康托展开式代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;//先把阶乘算出来
int f[20];
void jiecheng(int n)
{f[0] = f[1] = 1; // 0的阶乘为1for(int i = 2; i <= n; i++) f[i] = f[i - 1] * i;
}//康托展开
int kangtuo()
{int ans = 1;  //注意，因为 12345 是算作0开始计算的，最后结果要把12345看作是第一个int len = str.length();for(int i = 0; i < len; i++)
{int tmp = 0;//用来计数的for(int j = i + 1; j < len; j++)
{if(str[i] > str[j]) tmp++;//计算str[i]是第几大的数，或者说计算有几个比他小的数}ans += tmp * f[len - i - 1];}return ans;
}int main()
{jiecheng(10);string str = "52413";cout<<kangtuo()<<endl;
}

4.康托展开式的逆运算

ps：这里由于例子太难写了，所以直接借鉴ltrbless-CSDN博客神牛博客里面的一些例子了

在一开始，我么就已经说过了，康托展开式是全排列和自然数的双射，那么自然是可逆的

这里直接开栗子：

如果初始序列是12345（第一个），让你求第107个序列是什么。（按字典序递增）

这样计算：

先把107减1，因为康托展开里的初始序列编号为0
然后计算下后缀积：
1 2 3 4 5
5！ 4！ 3！ 2！1！ 0！
120 24 6 2 1 1

106 / 4! = 4 ······ 10 有4个比它小的所以因该是5 从（1，2，3，4，5）里选
10 / 3! = 1 ······ 4 有1个比它小的所以因该是2 从（1， 2， 3， 4）里选
4 / 2! = 2 ······ 0 有2个比它小的所以因该是4 从（1， 3， 4）里选
0 / 1! = 0 ······ 0 有0个比它小的所以因该是1 从（1，3）里选
0 / 0! = 0 ······ 0 有0个比它小的所以因该是3 从（3）里选

所以编号107的是 52413


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;//算出阶乘
int f[20];
int x, num;void jie_cheng(int n)
{f[0] = f[1] = 1; // 0的阶乘为1for(int i = 2; i <= n; i++) f[i] = f[i - 1] * i;
}//康托逆展开vector<char> vec; //存需要排列的字符
void rev_kangtuo(int k) //输出序号为 k 的字符序列
{int n = vec.size(), len = 0;string ans = "";k--; // 算的时候是按 12345 是第0位for(int i = 1; i <= n; i++){int t = k / f[n - i]; // 第 i 位需要 第 t + 1 大的数k %= f[n - i];        //剩下的几位需要提供的排列数ans += vec[t] ; //  vec[t] 就是第 t + 1 大的数vec.erase(vec.begin() + t); 
//用过就删了，不用vector用暴力也可以，就是说枚举，然后一个一个的比较大小，并记录有几个没用过的字符且字典序比它小}cout << ans << '\n';
}// 假设展开后不超过10位
int main()
{jie_cheng(10); // 预处里好阶乘scanf("%d", &x); // 输入需要逆展开的数字/************康托逆展开***********/for(int i = 1; i <= 10; i++){if(x / f[i] == 0) // 求出 x 逆展开所需的最小的位数，方便下面的初始化{num = i;break;}}for(int i = 1; i <= num; i++) vec.push_back(i + '0'); //输入的位数只要不小于num就可以rev_kangtuo(x);
}

5.康托展开的例题

今天就先列举一个，后续会将另一个例题补上

题解：这题看题就是需要用到bfs这应该是我们脑子里面首先想到的，其次呢，这题有个不一样的地方就是需要用到康托展开，去吧每一种全排列的编号记录下来，然后用ans数组记录其相应的步骤，然后最后输出就好了（这里要注意的的是，你输入的12345678，但其实是12348765），因此我们需要在后面给他转换一下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include<string>
#include <queue>
using namespace std;
string start,end1;//初始的目标状态，和改变后的目标状态
string step[1000000];//用于记录整个流程的操作
int vis[1000000];//判断是否已经到达这个状态
int num[10]={1},pos[10];//num数组用于计算阶乘,pos数组用于装start中的每个数字在其start中的位置struct node
{string step;//用于记录执行的操作string str;//目标字符串int hash;//对应的康托展开值
};int ni(string &s)//求逆序数
{int sum=0;for(int i=0;i<7;i++){int cnt=0;for(int j=i+1;j<8;j++){if(s[i]>s[j])cnt++;}sum+=cnt*num[7-i];}return sum;
}//执行三种操作
void doa(string &s)
{for(int i=0;i<4;i++){swap(s[i],s[i+4]);}
}void dob(string &s)
{char tmp=s[3];for(int i=2;i>=0;i--){s[i+1]=s[i];}s[0]=tmp;tmp=s[7];for(int i=6;i>=4;i--){s[i+1]=s[i];}s[4]=tmp;
}void doc(string &s)
{char tmp=s[1];s[1]=s[5];s[5]=s[6];s[6]=s[2];s[2]=tmp;
}//广搜执行三种操作，找到每一种状态的操作放方式
void bfs()
{memset(vis,0,sizeof(vis));node now,next;queue<node>q;now.step = "";now.str = start;now.hash = ni(start);q.push(now);vis[ni(start)]=1;step[ni(start)]="";while(!q.empty()){now=q.front();q.pop();string t;int cnt;t=now.str;doa(t);cnt=ni(t);while(vis[cnt]==0){vis[cnt]=1;next=now;next.step+='A';step[cnt]=next.step;next.str=t;next.hash=cnt;q.push(next);}t=now.str;dob(t);cnt=ni(t);while(vis[cnt]==0){vis[cnt]=1;next=now;next.step+='B';step[cnt]=next.step;next.str=t;next.hash=cnt;q.push(next);}t=now.str;doc(t);cnt=ni(t);while(vis[cnt]==0){vis[cnt]=1;next=now;next.step+='C';step[cnt]=next.step;next.str=t;next.hash=cnt;q.push(next);}}
}
int main()
{for(int i=1;i<10;i++){num[i]=num[i-1]*i;}start="12345678";bfs();while(cin>>start>>end1){swap(start[4], start[7]);swap(start[6], start[5]);swap(end1[4], end1[7]);swap(end1[6], end1[5]);for (int i = 0; i < 8; i++){pos[start[i]-'0'] = i + 1;}for (int i = 0; i < 8; i++){end1[i] = pos[end1[i]-'0'];//存储每个数在start数组的位置 }int cnt;cnt=ni(end1);cout << step[cnt] << endl;}return 0;
}