4.3.2 旋转的万花筒
【问题】 万花简的初始形状如图4-4(a)所示，其中的圆圈代表万花简的闪烁点，每旋转一次万花简形状就演变一次，演变的规则是在末端再生出同样的形状，如图4-4(b)和图4-4(c)所示，求第n次旋转后有多少个闪烁点?
【想法】 仔细观察万花简的演变过程，初始时有4个闪烁点，第1次旋转在初始闪烁点的基础上，每个分支端点又多了2个闪烁点。设Sn表示第n次旋转的闪烁点个数，每次旋转都是在上一次旋转的每个分支端点又多了2个闪烁点，初始时有3个分支端点，第1次旋转有3×2个分支端点，每次旋转分支端点都会翻倍，得到如下递推关系式：
【算法实现】 设函数Kale实现旋转的万花筒，变量lamps 表示上一次旋转后的闪烁点，变量 addLamp 表示当次旋转闪烁点的增量，程序如下。
#include <iostream>
using namespace std;
int Kale(int n)
{
int i, lamps = 4, addLamp = 3;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
addLamp *= 2;
lamps += addLamp;
}
return lamps;
}
int main( )
{
int n;
cout<<"请输入旋转次数：";
cin>>n;
cout<<"第"<<n<<"次闪烁点为"<<Kale(n)<<endl;
return 0;
}
【算法分析】 显然，算法Kale的时间复杂度为O(n)。
4.4.1 整数划分
【问题】 对于一个大于2的整数n,要求仅使用2的若干次幂的整数集合进行划分，使得集合中所有整数之和等于n，问可以有多少种划分?
【想法】列出一些整数的划分，寻找递推关系式：
2:(1, 1)，(2)(2种）
3:(1, 1, 1)，(1,2)(2种）
4:(1, 1, 1, 1),(1, 1, 2)，(2, 2)，(4)(4种）
5:(1, 1, 1.1, 1),(1, 1, 1, 2),(1, 2, 2)，(1, 4)(4种）
6:(1,1, 1,1, 1,1), (1,1,1,1,2),(1,1,2,2)，(1，1，4)，（2, 2,2)，(2,4)(6种）
7.(1,1,1,1,1,1,1),(1,1, 1,1,1,2)，(1,1,1,2,2)，(1,1,1,4),(1,2, 2,2),(1, 2,4)(6种）
令d，表示对整数n进行2的幂次划分的集合个数，观察上述划分实例，当n为奇数时，只需在整数n-1划分集合的每一个集合加上1;当n为偶数时，在整数n-1划分集合中的每一个集合加上1,得到最小数为1的所有划分，再将整数n/2划分集合的每一个集合中的元素翻倍，得到所有元素均为偶数的所有划分。因此有如下递推关系式：
【算法实现】 设函数 Devide 实现集合划分，数组 d[n+1]表示对整数n进行2的幂次划分的集合数，程序如下，
#include <iostream>
using namespace std;
int Devide(int n)
{
int i, d[n+1] = {0};
d[1] = 1; d[2] = 2;
for (i = 3; i <= n; i++)
if (i % 2 != 0) d[i] = d[i-1];
else d[i] = d[i-1] + d[i/2];
return d[n];
}
int main( )
{
int n;
cout << "请输入一个整数：";
cin >> n;
int result = Devide(n);
// 输出划分的结果
cout << "对 " << n << " 进行划分的结果为：" << result << endl;
return 0;
}
