1 傅里叶变换与频谱密度函数

• 非周期信号可以看成是 $T\to +\infty$ 的周期信号
  由于 $w\downarrow =\frac{2\pi }{T\uparrow }$，$T$ 无限大，则基波频率 $w$ 无限小，可以视为 $dw$
  在频谱图上：周期信号表现为离散谱，非周期信号表现为连续谱

---

$F_n$ 写做 $F(n{w}_0)$ 时叫谱系数

• 由于非周期信号的各频谱幅度无限小，但相对大小有异，则需要引入频谱密度函数
  由于
  $$F(n{w}_0)=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt$$
  两边同时乘以 $T$ 后得：

$$TF(n{w}_0)={\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt$$

其中：

$$TF(n{w}_0)=\frac{F(n{w}_0)}{f}$$

这样得到了单位频带上的频谱，即频谱密度函数:

$$F(jw)=TF(nw)$$

$f\downarrow =\frac{1}{T\uparrow }$，$T\to +\infty$，则 $f,w\to 0$，又因为 $TF(n{w}_0)\to 0$，且 $n{w}_0\to w_0$，根据洛必达法则得到频谱函数：

$$F(jw)=\underset{T\to +\infty }{\lim }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{e}^{-jnwt}\ast f(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-jwt}f(t)dt$$

2 傅里叶反变换

由于
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{F}_n{e}^{jn{w}_{0}t}=\underset{T\to +\infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{F_n}{w_0}{e}^{jn{w}_{0}t}{w}_0$$
其中 $w_0\to dw$（将提出来的 $w_0$ 变成 $dw$），$n{w}_0\to w_0$（$e^{jn{w}_{0}t}$ 变成 $e^{j{w}_{0}t}$），求和变对 $w_0$ 积分（$\sum$ 变成 $\int$）

$$f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F(n{w}_0)}{w_0}{e}^{j{w}_{0}t}d{w}_0$$

代入谱系数与频谱函数关系式得：

$$f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{F(jw)}{Tw}{e}^{j{w}_{0}t}dw=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(jw)e^{jwt}dw$$

记：

$\mathcal{F}[f(t)]=F(jw)$，${\mathcal{F}}^{-1}[F(jw)]=f(t)$

3 幅度频谱与相位频谱

• $F(jw)$ 一般是复函数
  $$F(jw)=|F(jw)|e^{j\phi (w)}$$