【拓扑空间】示例及详解2-编程知识

【拓扑空间】示例及详解2

设A是X的一个子集， $x\in A$

内点、邻域： $\exists open \ set\ U \subseteq A,x\in U \subseteq A$ ，则x是A的一个内点，A是x的一个领域

内部：A的所有的内点的集合称为A的内部，记 $A^o$

例1

证明： $A \subseteq B\Rightarrow A^o\subseteq B^o$

Proof:

$\forall x \in A^o,\exists\ open \ set \ U \subseteq A,x\in U \subseteq A \subseteq B\Rightarrow A^o \subseteq B^o$

例2

证明： $A^o$ 是包含在A中的所有开集的并集，因此是包含在A中的最大开集

Proof:

$let\ \left \{ U_i:i\in I \right \} is \ family \ of \ all \ open\ subset\ of\ A$

1. $\forall open\ set\ U_i\subseteq A$

$\forall x\in U_i,x\in U_i\subseteq A\Rightarrow x\in A^o\Rightarrow U_i\subseteq A^o\Rightarrow \cup_{i\in I}U_i \subseteq A^o$

2. $\forall x \in A^o\Rightarrow \exists open\ set\ U_i\subseteq A,x\in U_i\Rightarrow A^o \subseteq \cup_{i\in I}U_i$

$in\ sum,A^o=\cup_{i\in I} U_i,and \ A^o\ is \ the \ best \ open\ subset \ of\ A$

例3

证明： $A^o=A\Leftrightarrow A \ is \ open \ set$

Proof:

$let\ \left \{ U_i:i\in I \right \} is \ family \ of \ all \ open\ subset\ of\ A$

$A=A^o=\cup_{i\in I} U_i\Rightarrow A \ is \ open$

$A \ is \ open \Rightarrow \forall x\in A,\exists open\ set\ A,x\in A \subseteq A\Rightarrow A\subseteq A^o$

$\forall x \in A^o,x\in A \Rightarrow A^o \subseteq A$

$so,A^o=A$

$In \ sum,A^o=A\Leftrightarrow A \ is \ open \ set$

例4

证明： $A^o\cap B^o=(A\cap B)^o$

Proof:

$\forall x\in A^o\cap B^o,\exists open\ set\ u_1\ and\ u_2,x\in u_1\subseteq A ,x\in u_2\subseteq B,u_1\cap u_2 \neq \varnothing$

$so \ x\in u_1\cap u_2 \subseteq A\cap B,u_1\cap u_2\ is \ open\Rightarrow x\in (A\cap B)^o$

$therefore,A^o\cap B^o \subseteq (A\cap B)^o$

$A\cap B \subseteq A\Rightarrow (A\cap B)^o \subseteq A^o$

$A\cap B \subseteq B\Rightarrow (A\cap B)^o \subseteq B^o$

$therefore,(A\cap B)^o \subseteq A^o \cap B^o$

$In \ sum,A^o\cap B^o=(A\cap B)^o$

$Another \ proof \ of\ A^o\cap B^o \subseteq (A\cap B)^o:$

$A^o\cap B^o \subseteq A\cap B\Rightarrow \left (A^o\cap B^o \right ) ^o\subseteq \left (A\cap B \right )^o$

$A^o \ is \ open ,B^o \ is \ open \Rightarrow A^o\cap B^o \ is \ open\Rightarrow \left (A^o\cap B^o \right )^o=A^o\cap B^o$

$therefore, \left (A^o\cap B^o \right )=\left (A^o\cap B^o \right ) ^o\subseteq \left (A\cap B \right )^o$