浮点数存储规则

大家都知道整型数据是以补码的方式存放在内存中。以下几个概念是需要知道的：

• 原码，补码，反码都是以二进制形式表示的。
• 正整数的原码，反码，补码都相同。
• 负整数的补码=反码+1=原码的符号位不变，数值位按位取反。
  但是浮点数不同，浮点数有着一套自己的存储规则。

根据国际标准IEEE（电气和电子工程协会） 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

• (-1)^S * M * 2^E
• (-1)^S表示符号位，当S=0，V为正数；当S=1，V为负数。
• M表示有效数字，大于等于1，小于2。
• 2^E表示指数位。
• E是一个无符号整数。

小数点后数值的二进制转换

大家对于整数的二进制转换是了熟于心，但是往往会忽略了小数的二进制转换。

            7.25

例如上面的十进制数字7.25，小数点前的7可以转换为：
        $4+2+1=2^2+2^1+2^0=111$
小数点后的数值0.25转换为：
        $\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}=2^{-2}=.01$
所以：

          7.25=111.01

所以按照规则，用float来存储7.25的话：

7.25=111.01 = $(-1{)}^0\ast 1.1101\ast (2{)}^2$

• S=0
• M = 1.1101
• E = 2

float和double存储图示

  IEEE 754规定： 对于32位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

优化存储方案

前面提到的规则是0<=M<=1。这就导致当浮点数不为0时，M一定是1.***这样的格式的，小数点前面一定会有一个1。每次都存储这个1显得冗余浪费空间。因此IEE 754规定存储在内存中时，去除掉小数点前的1，只将小数点后面的二进制数值存进去。

下面我们来看一种情况：

         0.5的存储

$(0.5{)}_{10}$= $(0.1{)}_2$ = $(-1{)}^0\ast 1.0\ast (2{)}^{-1}$
  我们会发现一个特别的现象，E=-1，前面说过，E是一个无符号整数，那这个-1该怎么存储呢？
  IEE 754规定：
  存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。
所以这里是float类型，E=-1，存储时加上127，也就是真正存入内存的是：-1+127=126。
另外E从内存中取出还有三种情况值得我们注意：

E不全为0或不全为1

这就是上面我们讨论的那种情况，

• 如果是float类型的，取出来的数直接减去127，就可得到E的真实值。
• 如果是double类型的，取出来的数直接减去1023，就可得到E的真实值。

E全为0

这个作为特殊对待，如果E全为0，说明真实值为-127，也就是这个数是一个$\frac{1}{2^{127}}$的，这已经是一个很小很小的数了，无限接近于0了。
因此，IEEE 754规定，

• 如果是float类型的，E全为0时，E=1-127(可不是前面说的-127，那只是举例)。
• 如果是double类型的，E全为0时，E=1-1023
• 既然此时数值无限接近0，那么M也就不需要再加上1，但是S依旧需要，用来标识±0。

E全为1

这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；

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